可为线性的多元非线性回归模型

1、3.5可化为线性的多元非线性回归模型一、模型的类型与变换二、例题讲解1一、模型的类型与变换1、解释变量是非线性的 在微观经济学中，我们学习了商品的价格与需求量的关系如下图所示 P Q 2在计量经济学中，通常用 （1）来表示。而（1）是一个非线性回归模型，通常作数学变换，将它转换为线性回归模型。对于（1）， 令则模型（1）变成 （2）对（2）进行最小二乘估计，即可得到未知的参数估计值。2、参数是非线性的如果在计量经济学模型中，参数是非线性的，那么通常采用函数变换方法。3例如，在Cobb-Dauglas 生产函数将产出量Q与投入要素（K，L）之间的关系描述为幂函数形式：在上式两边进行对数变换，得

2、（3）在（3）式中， 表示产出量Q对资本K的弹性，即资本K增加1%，产出量Q增加的百分数。 表示产出量Q对劳动L 的弹性，即劳动L增加1%，产出量增加的百分数（在其他条件不变的情况下）。3、复杂函数模型（解释变量与参数都是非线性的）对于复杂函数模型，通常采用幂级数展开方法，将复杂函数模型转化成线性模型。例如在CES生产函数将产出量Q与投入要素（K，L）之间的关系描述为 （4）4或者 （5）的形式。将（4）和（5）两边去对数，并展开成幂级数，得 （6） （7）（6）是（7）的特殊情况（m=1），适合规模报酬不变的企业 。（7）是一般形式，若估计的结果是m1,表明企业处于规模报酬递增阶段；若m=1

3、,表明企业处于规模报酬不变阶段；若m1,表明企业处于规模报酬递减阶段。5关于对（4）或（5）式的幂级数展开问题， 往届有一些学生问到这个问题，我把展开的过程给大家做个介绍。以（4）为例吧。先介绍一下幂级数展开问题。假设是实数域上一个函数，并且是n次可导的，则有则 可以近似写成 6像这样， 我们把比较复杂的函数 ，用一个n次的多项式来近似地表示它，这样的方法叫做把函数 进行幂级数展开。对函数进行幂级数展开的目的是让我们对复杂函数的研究转化为对多项式的研究，而多项式比较简单，它的性质我们也比较熟悉，这样我们研究问题就容易进行了。从函数 的幂级数展开的定义知道， n越大，用多项式近似表示函数 ， 其

4、精确度也就越高，同时多项式也就越复杂了，因此我们要根据实际问题的需要， 选择适当的n . 在经济学中，遇到复杂的函数需要进行幂级数展开时，通常取n=2就够了，即展开到2次就够了。 下面对（4）进行幂级数展开。 （4）7对（4）两边去对数，得 （8）在（8）中， 令所以，有 8所以有所以9同样的展开式是10例3.5.1建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。根据需求理论，居民对食品的消费函数大致是 （10）其中，Q为居民对食品的需求量， X为消费者的消费支出总额， 为食品的价格指数， 为居民消费价格总指数。根据需求理论， 上述函数应该有零阶其次性，即当所有商品的价格和消费者货币支出总额按同一比例变

5、动时，需求量保持不变。也就是消费者无货币幻觉。这时，（10）满足 （11） 11根据微观经济学原理中需求函数理论，（10）中函数可以设为 （11）其中 为参数。取对数后，得 （12）其中下面以课本中例3.5.1中数据 12646.1659.1672.2690.4772.6826.6899.41085.51262.51278.91344.11459.71694.72118.42474.32692.02775.52758.92723.02744.82764.0XC(1990年价）Q（1990年价）318.3325.0337.0350.5408.4437.8490.3613.8702.2693.87

6、31.3809.5943.11265.61564.31687.91689.61637.21566.81529.21539.9 （1990年为100）70.771.575.381.087.196.798.3101.795.9100.0108.2114.5124.6134.6143.0145.6150.8157.0169.5182.1192.1 （1990年为100）132.1132.9137.7146.786.195.796.592.494.0100.0107.0109.3112.2112.4112.9112.8115.0117.7123.3128.1130.819811982198319841

7、9851986198719881989199019911992199319941995199619971998199920002001年 份13VariableCoefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -0.567311 0.228663 -2.480987 0.0239LOG(P0)-0.1834330.081424-2.2527960.0378LOG(P1)-0.1426220.043879-3.2503660.0047LOG(XC)1.2094460.04443027.221100.0000R-squared 0.998242 Mean depe

8、ndent var6.664917Adjusted R-squared0.997932S.D. dependent var0.627249S.E. of regression0.028522Akaike info criterion4.106626Sum squared resid0.013830Schwarz criterion3.907669Log likelihood 47.11957 F-statistic3218.543Durbin-Watson stat0.934935Prob(F-statistic)0.000000(1981年2001年数据作的模型)14 VariableCoe

9、fficient Std. Errort-StatisticProb.C -1.2228380.279825-4.3700020.0014LOG(P0)0.1308190.0866131.5103820.1619LOG(P1)-0.0808000.035337-2.2865480.0453LOG(XC)1.0551690.04197425.138500.0000R-squared 0.998689Mean dependent var6.308220Adjusted R-squared0.998296S.D. dependent var0.439774S.E. of regression0.01

10、8152Akaike info criterion4.945127Sum squared resid0.003295Schwarz criterion4.762539Log likelihood 38.61589 F-statistic2540.199Durbin-Watson stat1.519224Prob(F-statistic)0.000000 (1981年1994年数据) 15VariableCoefficient Std. Errort-StatisticProb.C 2.6191890.3376547.7570100.0000LOG(XC/P0)1.6030610.1339001

11、1.972060.0000LOG(P1/P0)-0.6257880.112140-5.5804290.0000R-squared 0.974387Mean dependent var6.664917Adjusted R-squared0.971541S.D. dependent var0.627249S.E. of regression0.105816Akaike info criterion1.522662Sum squared resid0.201547Schwarz criterion1.373445Log likelihood 18.98795F-statistic342.3788Du

12、rbin-Watson stat0.876407Prob(F-statistic)0.000000 (1981年1994年数据）16VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C 5.5319500.09310759.414890.0000LOG(X)0.5399170.03653014.780150.0000LOG(P0)-0.2885610.205184-1.4063500.1766LOG(P1)-0.2580120.178186-1.4479940.1648R-squared0.977345 Mean dependent var7.4939

13、09Adjusted R-squared 0.973569 S.D. dependent var 0.193147S.E. of regression0.031401 Akaike info criterion-3.921001Sum squared resid 0.017748 Schwarz criterion-3.722630Log likelihood47.13101 F-statistic258.8448Durbin-Watson stat 0.696202 Prob(F-statistic) 0.00000017补充例题(li 3.5.2)用Cobb-Dauglas生产函数研究云南

14、白药集团股份有限公司的生产情况，我们只由1971年到1999年的数据，因此研究的结论是云南白药1999年以前的情况。有关数据如下：18年份固定资产原值（90年不变价）净产值（90年不变价）劳动人数19711972197319741975197619771978197919801981198219831984198519861987198819891990199119921993199419951996199719981999460.71479.11708.89750.13875.251348.41248.21231.71317.51287.31315.21307.31561.81660.516

15、31.11778.82319.32270.62019.819902828.328494883.34371.63863.54083.66887.27630.411705262.032535.721695.626525.274610.493323.526569.441902.138944.607776.896706.14910.552870.707817.0361058.77916.1441261.61871.341937.122202039.092136.032999.393461.672406.542892.852445.713349.862846.4954565672169268669069

16、473370069967870273374777076975074174778780677966663663065165967569219Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 0.954806 0.628154 1.520019 0.1401LOG(K) 0.809472 0.082653 9.793631 0.0000R-squared 0.780336Mean dependent var7.074610Adjusted R-squared0.772201S.D. dependent var0.723132S.E. of regressio