立体几何几个题型理科

1、中占I 八、)(I )证明平面 ADE 平面ACC1A角且B1、如图，在四棱锥 P ABCD中，PD 平面ABCD, AD CD, DB 平分 ADC , E 为的 PCAD CD 1,DB 2.2(1)证明：PA平面BDE(2)证明：AC平面PBD(3)求直线BC与平面PBD所成角的正切值2、(本题满分15分)如图，平面PACABC , ABC是以AC为斜边的等腰直角三角E,F,O分别为PA,PB , AC 的中点，AC 16 ,PA PC 10 .(I )设G是OC的中点，证明：FG/平面BOE;(II )证明：在 ABO内存在一点M ,使FM 平面BOE ,并求点M到OA ,OB的距离.

2、3、如图，在五面体 ABCDE冲，FA 平面ABCD, AD 1图，在正三棱柱(底面是正三 2形，侧棱垂直底面)ABC AB1C1中，AB 无AA , D是AB1的中点，点E在A1C1上,DE AE 。(II ) 求直线AD和平面ABCi所成角的正弦值。5在四棱锥P- ABCDK 底面ABC的矩形，侧棱PL底面ABCD AB=后,BO 1, PA= 2, E为 PD的中点.(1)在侧面PAB内找一点N,使NEEL面PAC并求出(2)求(1)中的点N到平面PAC勺距离.6、如图，在棱长为1的正方体ABCD AB1c1D1 中，P是侧棱CC1上的一点，CP m。(I )、试确定m ,使直线AP与平

3、面BDDB所成 角的正切值为3,2 ;(11)在线段AC1上是否存在一个定点 Q使得对任意的m, DQ在平面APD1上的射影垂直于AP ,并证明你的结论。7、如图所示，等腰4ABC的底边AB 6乔，高CD 3,点E是线段BD上异于点B, D的动点，点F在BC边上，且EFLAB,现沿EF将 BEF折起到 PEF的位置，使PELAE,记BE x, V(x)表锥P ACFE的体积.(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线PF所成角的余弦值.8、 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，条侧棱的长都是底面边长的 点倍，P为侧棱上的点(I

4、)求证：AC SD ;(H)若SDL平面PAC求二面角P AC D的大小；(田)在(n)的条件下，侧棱 sc上是否存在一点E,使得BE/平面PAC若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由。答案：立体几何与空间向量解答题(理科)1、【解】 证明：设AC BD H ,连结EH在ADC中，因为AD=CD且DB平分ADC,所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EHPA, 又HE 平面BDE,PA 平面BDE ,所以PA平面BDE .ACAC(2 ) 证明：因平面ABCD ,所以PD由 (1 ) 知，BD平面PBD(3)解：由AC 平面PBD为 PD 平面ABCD ,AC可知，BH为BC

5、在平面AC , PD BD D,故BPBD内的射影，所以 CBH为直线与平面PB所成的角由 AD CD , AD CD 1, DB 2 五可得 DH CH ,BH 23.2在 Rt BHC 中，tan CBHCH 3,所以直线bc与平面pBD所成的角的正切值为132、证明:z(I )如图，连结OP标原点，分别以OB OC OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 系O xyz,则O 0,0,0 ,A(0, 8,0),B(8,0,0),C(0,8,0), P(0,0,6), E(0, 4,3), F 4,0,3 ,由题意得， uuuuuinrG 0,4,0，因 OB (8,0,0), O

6、E (0, 4,3),因此平面 BOE 的法向重为 n (0,3,4), uiurr uuurFG ( 4,4, 3得n FG 0,又直线FG不在平面BOE内，因此有 FG/平面BOE(II )设点M的坐标为xcyc0，则FMf (X0 4,%, 3),因为FM 平面BOE所以有FM月/n,因此有x0 4, y02,即点M的坐标为4, -,0 ,在平面直角44x 0坐标系xoy中，AOB的内部区域满足不等式组y 0 ，经检验，点M的坐x y 8标满足上述不等式组，所以在ABO内存在一点M ,使FM 平面BOE ,由点M的坐标得点M UOA, OB的距离为4,-.43、分析：本小题要考查异面直线

7、所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。【解】 方法-：(I ) 解：由题设知，BF/ / / / / a 60 DC DE且M为CE的中点，所以 DM CE.连结 MP,则 MP CE.-(III )解：设Q为CD的中点，连结PQ, EQ.因为CE DE,所以EQ CD.因为由(I)可得，EP PQ, EQ 立a, PQ -a. 22方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点。设 AB 1,依题意得 B 1,0,0 , C 1,1,0 ,D 0,2,0,E 0,1,1 ,1F 0,0,1 , M

8、 一,12(I)解:BF1,0,1, DE 0, 1,1 ,所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 .(H)证明:由而而1,0,1, AD 0,2,0,可得 CE?AM 0,(III )解：设平面CDE的法向量为u (x, y, z),则u?CEu?DE0,0.又由题设，平面ACD的一个法向量为v (0Q1).【点评】纯几何方法求角：求角的思路一般是将空间角的计算问题转化为平面角的计算问题，求异面直线所成的角时，需要选点平移，一般是设法 在其中一条直线 上选出一个恰当的点来平移另一条直线，然后计算其中的 锐角或直角；线面角的计算关键是找出直线在平面上的射影，通常需要由直 线上的某一点向平面

9、作垂线，求出的应当是一个锐角或直角；面面角的计算 通常找到平面角或面积射影定理来完成，找平面角的方法有定义法、三垂线 定理法(利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。)、垂面法，计算出来的角是可以是锐角、直角或钝角.向量法求角给解题带来了极大的方便， 其规律见后面的【温馨提示】。4、【解】(I)如图所示，由正三棱柱ABC ABCi的性质知AA 平面A1B1C1 又DE平面A1B1c1 ,所以DE AA.而DE ABAA AE=A所以DE平面ACGA ,又DE平面ADE故平面ADE点B平面AC GA。解法2如图所示，设O使AC的

10、中点，以O为原建立空间直角坐标系，不妨设A A产短，则AB=Z相关各点的坐标分别是 TOC o 1-5 h z A(0,-1,0) , B (褥，0, 0), Ci (0, 1,0)，D (火，,，声) 22易知丽=(非，1, 0), ac1 =(0 , 2, V2), AD=(虫，-1,22设平面ABC的法向量为n (x,y,z),则有uuur_n?得技 y 0，解得 x=-3, z=-”y,n?AC 2y .2z 03故可取n=(1,-姮,庶)。所以，cos(n,AD)=运=泠=也。n AD *10 *135由此即知，直线AD和平面AB G所成角的正弦值为 20。5【点评】本题主要考查面与

11、面之间的关系和线面关系，同时考查空间想象能 力和推理运算能力。本题着眼于让学生掌握通性通法几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来五步斜线和平面所成的角是 一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜 线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，用公式计算sin =PM ?n二一r(M直线l,P面，是与平面PM ? nv所成的角，n是平面 的法向量，有 -或=-) 226、【解】(1)建立空间直角坐标系 A BDP则A、B、C D P、E的坐标分别是

12、A(0, 0, 0) 、B(向，0, 0) 、C(而，1,0) 、D(0, 1,0) 、P(0, 0, 2)E(0, 1, 1),依题设 N(x, 0, z),则由=(x, 2, 1 z),由于 N口平面PACNE AP 0从而N到AB AP的距离分别为1,鲁.(2)设N到平面PAC的距离为d , Q NE是平面PAC的法向量,则d=|NA NE |NE|I,0,1) ( , -,0)| 62、3 1|( - , , 0) 1621 .3 里1212 1例93如图，在棱长为1的正方体ABCD的一点，CP m。(I )、试确定m ,使直线AP与平面BDD1B1 角的正切值为3,2;(n)、在线段

13、Aa上是否存在一个定点 QABQ1D1中，P是侧棱CG上所成对任意的m, DQ在平面APD1上的射影垂直于AP,并证明你的结论。【分析】本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力9、【解】法1: ( I )连AC设AC与BD相交于点O,AP与平面BDB相交于点，连名OG因为PC/平面BDDiBi,平面 BDD1B1 n 平面 APC= OG,故 OG/ PC 所以，OG= 1PG= m. 22又 ACL BD,AOL BB1,所以 AOL平面 BDD1B1 ,故/ AGO AP与平面BDDiBi所成的角. 2在 RtAA

14、OCG, tanAGO=也 ? 3啦，即 f -.GO m32所以，当m= 1时，直线AP与平面BDDiBi所成的角的正切值为3衣. 3(II)可以推测，点Q应当是AC的中点O,因为DQXAiG,且 DiOLAA ,所以 DiO,平面 AC8,又 AP 平面 ACGA,故 DiOAP那么根据三垂线定理知，DO在平面APD的射影与AP垂直。K例i0R如图所示，等腰4ABC的底边AB 6的，高CD 3,点E是线段BD上异于点B, D的动点，点F在BC边上，且EFLAB,现沿EF将4BEF折起CV (x)表至Ij/XPEF的位置，使PELAE,记BE示四棱锥P ACFE的体积.(i)求V(x)的表达

15、式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值.10、【解】(1)由折起的过程可知，Pn平面ABC Sabc 9展，Sbef，Sbdc噜x2V(x)在 x(9 x2)(0 x 3展)； 312，(2) V,(x)夸(9 *),所以 x (0,6)时，v,(x) 0 , V(x)单调递增；6 x 3/6 时 v,(x) 0 , V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值1276 ;MFBM BFAB BCBEBD-BE-, MB 2BE1 AB212cos84 72 2PFM 422 ,2 AC SD P7ACsd (n)设正方

16、形边长a,又OD a ,所以 SOD 60, 2作6 2 MF BF PF 6- BC3,6AC D SO AC AC BD贝U SD &a。36 54 942AC 平面SBD连OP,由(I )知AC 平面SBD,所以AC OP ,且AC OD,所以 POD是二面角P AC D的平面角。由SD 平面PAC,知SD OP,所以 POD 300,即二面角P AC D的大小为300(HI)在棱SC上存在一点 E,使BE/平面PAC由(n )可得PD a ,故可在SP上取一点N ,使PN PD ,过N作PC的4平行线与SC的交点即为E。连BZ在BDN中知BN/PO,又由于NE/PC ,故平面 BEN

17、/平面PAC ,得BE / /平面PAC ,由于SN: NP 21 ,故 SE: EC 21 .解法二：(I );连BD,设AC交于BD于 O ,由题意知SO平面ABCD .以O为坐标原 点，曲,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向， 建立坐标系O xyz如图。z于是S（0,ga），D（多,） C（,冬,OC(。片a,。）设底面边长为a,则高SO与故OC SD ,从而AC SD(口由题设知，平面PAC的一个法向量而 争,。亭)，平面DAC的一个法向量 OS (0,0, a), 2设所求二面角为，则cos酱DS 立，所求二面角的大小为300OS DS 2(田)在棱SC上存在一点E使BE/平面P