平面直角坐标系及轴对称变换专题

1、-. z.第三讲 平面直角坐标系与轴对称变换专题第一节：直角坐标系与轴对称变换知识点回忆知识点一：轴对称、轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿*条直线对折，对折的两局部是 重合 的，则就称这样的图形为轴对称图形。这条直线称为 对称轴 ， 对称轴 一定为直线。2、轴对称：把一个图形沿着*一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，则这两个图形成 轴对称 ，两个图形中的对应点叫 对称点 。知识点二：轴对称图形的性质1、轴对称图形的对应线段 相等 ，对应角 相等 ，对应点的连线被对称轴 垂直平分 。轴对称的两个图形，对应线段或延长线相交，交点在 对称轴 上。2、轴对称图形变换的特征是不改变图形的

2、 大小 和 形状 ，只改变图形的 位置 ，新旧图形具有对称性。例2：2009*如图，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB =A40 B30 C20 D10解析：有关折叠问题是中考常考的题型，必须要区分清楚折叠前后图形和数量关系。此题中，将A折叠，出现了轴对称，CAD=A，因为A=50，所以CAD=50。在RtABC中，ACB=90，B=90-A=40。CAD是 AB D的一个外角，等于ADB与B之和，所以ADB=ADB -B=50- 40=10。应选择D。2.2009*点关于轴对称的点的坐标为A B C D【答案】D知识点三：中心对称、中

3、心对称图形1、中心对称图形：一个图形绕着*点旋转一定角度 后能与自身重合 ，这种图形叫中心对称图形，该点叫作旋转中心 。2、中心对称：把一个图形绕着*一点旋转一定角度后 ，如果它能与另一个图形重合 ，则，这两个图形成中心对称，该点叫作对称中心 。知识点四：中心对称图形的性质在中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过 对称中心 且被对称中心 平分。1、如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCD,其ABCDEy中(0,0),B(8,0),C(0,4,) 假设将ABC沿AC所在直线翻折,点B落在点E处,则E点的坐标是_.2、如图，将正六边形放在直角坐标系中中心与坐标原点重合，假设A点的坐标为-1,

4、0)，则点C的坐标为_.3、：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 4.对任意实数，点一定不在 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限1当0*2时，*0，*2-2*=*-20，故点P在第四象限；2当*2时，*0，*2-2*=*-20，故点P在第一象限；3当*0时，*2-2*0，点P在第二象限故对任意实数*，点P可能在第一、二、四象限，一定不在第三象限，应选C5如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为(1,0)、(2,0) 假设在没有滑动的情况下，将此

5、正五边形沿着*轴向右滚动，则滚动过程中，以下会经过(75 , 0)的点是 A A B B C C D DC、D两点坐标分别为1，0、2，0按题中滚动方法点E经过点3，0，点A经过点4，0，点B经过点5，0，点75，0的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，可知经过5，0的点经过75，0，点B经过点75，0应选B6、当b=_时,点B(3,|b-1|)在第一.三象限角平分线上.点在角平分线上的特点：一、三象限的角平分线上的点：横纵坐标相等；二、四象限的角平分线上的点：横纵坐标互为相反数7.2013*如图，在ABC中,CAB70。.在同一平面内,将ABC绕点A旋转到ABC的位置,使得AB/

6、CC,则BABA.30.B.35.C.40.D.50.8、如图，已经四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，假设DE:AC=3:5,求AD/AB的值第二节：最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时点C是直线l与AB的交点(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C

7、，使CACB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B，则点C是直线l与AB的交点为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C，连接AC，BC，BC，证明ACCBACCB.如下：证明：由作图可知，点B和B关于直线l对称，所以直线l是线段BB的垂直平分线因为点C与C在直线l上，所以BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以ACBCACBC，所以ACBCACCB.【例1】 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B；(2)连接AB

8、交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用两点之间线段最短解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的根本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上*点的距离和最小这个核心，所有作法都一样警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比拟来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问3利用平移确定最短路径

9、选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题 【例2】 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建

10、一自来水厂向A村与B村供水(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到两点之间线段最短，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等也可分别以A、B为圆心，以大于eq f(1,2)AB为半径画弧，两弧交于两点

11、，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A，连接AB交EF于P，则P到A，B的距离和最短【例3】 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引：从A到B要走的路线是AMNB，如下图，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽(2)连接BC与河岸的一边交于点N.

12、(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置4生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AOBOAC的长所以作点关于*直线的对称点是解决这类问题的根本方法【例4】 (实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计

13、一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，则小明沿CPQD的路线行走，所走的总路程最短5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值破疑点 解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法【例5】 如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A(或B)，作直线AB(AB)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A，AB的连线交l于点C，则点C即为所求理由：在直线l上任找一点C(异于点C)，连接CA，CA，CA，CB.因