以直线为载体的动点2_第1页
以直线为载体的动点2_第2页
以直线为载体的动点2_第3页
以直线为载体的动点2_第4页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、以直线为载体的动点、静点求最短 宝鸡市 岐山县 罗局初级中学 陈军利 郑建宁 邮编:722404 标题:以直线为载体的动点、静点求最短 内容提要:以直线为载体的动点、静点求最短问题在平时的教学中都是单个讲解,即遇到那个讲那个,缺少对知识的的系统性学习,因此学生也很难从整体上把握这一类问题的解法,鉴于以上原因,本人结合自己的教学实践总结并归纳了以直线为载体的动点、静点求最短问题的三种类型,期望从知识系统的角度阐述如何解决以直线为载体的动点、静点求最短问题,使学生对这类问题认识更清晰,理解更透彻,方法更具体,这也是本人的写作的初衷所在。 关键词:一动一静。两静一动。两动一静。 正文:以直线为载体的

2、动点、静点求最短在初中数学教学中,常常会遇到求直线外一点到直线上某一点的最短距离。也会遇到一条直线的同侧有两点,在该直线上找一点,使得这一点到直线同侧两点的距离和最短。本人从这两个数学模型出发,结合自己的教学实践,以部分典型习题为情境探究以直线为载体的的动点、静点问题。模型基本一:一动一静。如图(1),已知直线l和直线l外一点P(静点),在直线l上找一点A(动点),使得PA的距离最小。如图(1)要确定的A的位置,可根据直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短来做。作PA l于A,则垂足A就是要找的点A且PA最短。知识应用:例1、如图(2),在ABC中,有一点M在AC边上移动,若AC=AB=1

3、0,BC=12,求AM+BM+CM的最小值,实际上可转化成求AC+BM的最小值,即求10+BM的最小值,由此可知只要求出BM的最小值,问题便可解决,根据一动一静找最短可得,作BM AC于M,则可确定M点,结合等腰三角形的性质并利用等积法可求出BM的长度,继而求出AM+BM+CM的最小值。例2、如图(6),点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,求点B的坐标。例2也是一动一静在数学问题中应用的一个特例,解及分析略。基本模型二:两静一动。如图(3),已知A、B两点(两个静点)在直线 l的同侧,在直线l上找一点P(动点),使得PA+PB之和最短。找P的方法是:作A关于直线

4、l的对称点A。连接AB交直线l于P。连接PA,则PA+PB之和最短。证明PA+PB之和最短略去。知识应用:例3、如图(4),在正方形ABCD中,AB=4,E是AB的中点,点P是对角线AC上的一个动点,求PE+PB的最小值。分析及解答,这个问题可看作两静一动找最短。点P(动点)在直线AC上,B、E(两静点)在直线AC的同侧,要使PE+PB之和最短,关键是在对角线AC上确定P点,根据找点P的方法,到底是作点B关于对角线AC的对称点好还是作点E关于对角线AC的对称点好呢?要视具体情况而定,这道题选点B关于对角线AC的对称点好,理由是根据正方形自身的性质得B、D关于对角线AC对称 ,再连接DE交AC于

5、P,由点关于直线的性质得PB=PD,PB+PE=PD+PE=DE,到此将PE+PB之和最短问题转化成求DE的长度,有勾股定理得DE= = = ,则PE+PB的最小值为。例4、如图(5),抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点。(1)求抛物线表达式。(2)设(1)中的抛物线与y轴交于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得QAC的周长最小,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由。解及分析:(1)要得到抛物线解析式,可利用待定系数法来完成。这个抛物线有两个待定系数b和c,只需将A(-1,0),B(3,0)两点分别代入y=x2+bx+c中,得到关于b、c的二元一次

6、方程组,然后得到b=-2,c=-3,y=x2-2x-3。(2)有(1)可得,抛物线为y=x2-2x-3,由此可得抛物线与y轴的交点c的坐标为(0,-3),对称轴为直线x=1,A,C为两静点,Q是直线x=1上的一动点,要,QAC的周长最小,线段AC的长度为定值,只要QA+QC之和最小,就能保证QAC的周长最小,那么要QA+QC之和最小,关键是确定Q点应该在直线x=1的什么位置,由图形可得A,C两静点在直线x=1的同侧,动点Q点在直线x=1上,因此可将问题转化成两静一动找最短,利用基本模型二的方法,易得A和B关于直线x=1对称,在连接BC,设BC和直线x=1交与点Q,到此确定了Q点的位置,下面的环

7、节就是确定点Q的坐标,可利用两种方法完成。代数法:易得b=-3,设直线BC解析式为y=kx-3(k0),将B(3,0)代入y=kx-3中得k=1,直线BC为y=x-3,Q(1,yQ)也在直线y=x-3上,yQ=1-3=-2,点Q的坐标为(1,-2)。几何法:设对称轴与x轴交与D点,易得BDQ与BOC相似,则, DQ=2,D点的坐标为(1,-2)。通过此题的讲解,主要探究了两静一动求最短在实际问题中应用,体会数学知识的嫁接及转化思想在数学中的应用。例5、如图(7),菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,BDAC,点P是对角线AC上一个动点,点M,N分别为边AB、BC的中点,求PM+PN的最小值。

8、例5也是两静一动在数学问题中应用一个特例。解及分析略。基本模型三:两动一静。例6、如图(8)1在锐角ABC中,AB=,BAC=45,BAC的平分线交BC与D,M,N分别是AD和AB上的动点,求BM+MN的最小值。解及分析:此题中的B为静点,M是AD=上一个动点,N是AB上一个动点,可看作两动一静问题,如图(8)2,过B作BEAD于E,延长BE交AC与B,易得AEBAEB,BE=BE,则B和B关于直线AD对称,连接BM、BM、MN,由对称得,MB=MB,要MB+MN最短,问题可转化为MB+MN最短,点B一固定,而M、N是两个动点,要两个动折线距离之和最短,只要B、M、N三点共线时,才能使MB+M

9、N最短,而此时的MB+MN=BN,问题又转化为求线段BN的最短值,这时的问题再次转化为一动一静求最短问题,问题的解答已豁然开朗,只需过点B作BNAB于N,垂足N能保证BN最短,见图(8)3,此时的点M是BN与AD的交点,由AEBAEB得AB=AB=,易得ANB是等腰直角三角形,BN=4。在解答例6时用到了数学上三次转化的思想,是一道比较难操作的习题,需要学生有较强的基础知识和应变能力。例7,如图(9),在ABC中,AB=,CAB=15,M、N分别是AC,AB上的动点,求BM+MN的最小值。例7也是两动一静在数学问题中应用一个特例。解及分析略。从以上探究可得,初中阶段以直线为载体的动点、静点求最短有三类,一动一静:其规律是找最短,垂线段,找垂足,定动点。两静一动:其规律是找最短,作对称,作连线,找交点,定动点。两动一静:找静点,作对称,作连线,善转化。相对而言,第三种比较难掌握,

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论