二次函数的应用中考题集锦最值问题

1、二次函数的应用中考题集锦最值问题二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用二次函数求最值（一般范围类）例1当时，求函数的最大值和最小值分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值 解：作出函数的图象当时，当时，例2当时，求函数的最大值和最小值解：作

2、出函数的图象当时，当时，由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：例3当时，求函数的取值范围解：作出函数在内的图象可以看出：当时，无最大值所以，当时，函数的取值范围是例4当时，求函数的最小值(其中为常数)分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解：函数的对称轴为画出其草图(1) 当对称轴在所给范围左侧即时：当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间即时：当时，；(3) 当对称轴在所给

3、范围右侧即时：当时，综上所述：在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值(经济类问题)例1为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益（元）会相应降低且与之间也大致满足如图所示的一次函数关系（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益与政府补贴款额之间的函数

4、关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益商场销售彩电台数每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为（元）；（2）依题意可设，有，解得所以，（3），政府应将每台补贴款额定为100元，总收益有最大值，其最大值为元说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼. 例2凯里市某大型酒店有包房100

5、间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.分析：（1）提价后每间包房的收入原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房

6、减少数每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入提价后每间包房的收入每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y取得最大值时x的值.解：（1），；（2）y，因为提价前包房费总收入为100100=10000，当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为1125010000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.例3某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价（元）

7、与销售月份（月）满足关系式，而其每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示2524y2（元）x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O（1）试确定的值；（2）求出这种水产品每千克的利润（元）与销售月份（月）之间的函数关系式；（3）“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析：（1）将点（3，25），（4，24）代入求b、c的值；（2）y-；（3）将（2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五一”之前的前提下求最大值. 解：（1）由题意：，解得；（2）；（3） .，抛物线开口向下在对称轴左侧随的增大而增大由题意，

8、所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润（元）说明：本题在x6，即6月份时取得最大值，但题目要求在“五一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解.例4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，又(2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下当时，当每件商品的售价定

9、为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元二次函数求最值(面积最值问题)例1.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cms的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cms的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动（1）运动第t秒时，PBQ的面积y(cm)是多少？（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3）t为何值时s最小，最小值时多少？答案：例2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回

10、了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为米，面积为平方米则长为：(米)则： ，与的二次函数的顶点不在自变量的范围内，而当内，随的增大而减小，当时，(平方米)答：可设计成宽米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大例3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2x4）易知CN=4-

11、x，EM=4-y过点B作BHPN于点H则有AFBBHP，即，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，当x5时，函数值随的增大而增大，对于来说，当x=4时，【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例4.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使

12、中间的阴影部分组成四边形EFGH(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH是正方形图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90后得到的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四边形EFGH是正方形 (2)设CE=x, 则BE=0.4x，每块地砖的费用为y元那么：y=x30+0.4(0.4-x)20+0.16-x-0.4(0.4-x)10 当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省经典习题：第1题已知：

13、，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点A()，B()求这个抛物线的解析式；设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和的面积；（注：抛物线的顶点坐标为）；是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标答案：解：（1）解方程，得，由，有，所以点，的坐标分别为，DHBEAOPMC将，的坐标分别代入，得解这个方程组，得所以抛物线的解析式为 （2）由，令，得解这个方程，得，所以点的坐标为由顶点坐标公式计算，得点 过作轴的垂线交轴于，则，所以 （3）设点的坐标为，因为线段过，两点，所以所在的直线方程为那么，与直线的交点坐标

14、为， 与抛物线的交点坐标为 由题意，得，即解这个方程，得或（舍去），即解这个方程，得或（舍去）点的坐标为或第3题某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量（万件）与销售单价（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支（万元）（不含进价）与年销售量（万件）存在函数关系3501030507090（元）（万件）（1）求关于的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品年获利（万元）关于销售单价（元）的函数关系式；（年获利年销售总金额年销售产品的总进价年总开支金额）当销售单价为何值时，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该种产品一年

15、的销售获利不低于万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？8057.58070100（元）（万件）答案：解：（1）由题意，设，图象过点，解得 （2）由题意，得当元时，年获利的最大值为万元 （3）令，得整理，得解得，由图象可知，要使年获利不低于万元，销售单价应在元到元之间，又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又使年获利不低于万元，销售单价应定为元第4题东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价元只，售价元只为了促销，专卖店决定凡是买只以上的，每多买一只，售价就降低元（例如，某人买只计算器，于是每

16、只降价元，就可以按元只的价格购买），但是最低价为元只（1）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出当一次购买只时（），利润（元）与购买量（只）之间的函数关系式；（3）有一天，一位顾客买了只，另一位顾客买了只，专卖店发现卖了只反而比卖了只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价元只至少要提高到多少？为什么？答案：（1）设顾客一次至少购买只，则，解得或设顾客购买只，由解得，或由解得，可同等给分（2）当时，当时，（3）方法（一）列表4041424344454647484950200200.9201.6202.1202.4202.5202.4202.1201.

17、6200.9200由表格可知，最低售价为元方法（二）利润，因为卖的越多赚的越多，即随的增大而增大，由二次函数图象可知，当时，最低售价为元第5题利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为元时，月销售量为吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用元设每吨材料售价为（元），该经销店的月利润为（元）（1）当每吨售价是元时，计算此时的月销售量；（2）求出与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；（

18、3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由答案：解：（1）（吨） （2）， 化简得： （3） 利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元 （4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，为210元，而对于月销售额来说，当为160元时，月销售额最大当为210元时，月销售额不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时，为210元，此时，月销售额为17325元；而当为200元时，月销售额为18000元，当月利润最大时，月销售额不是最大小静说的不对（说明：如果举出其它反例，说理正确，也相应给分）第6题

19、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为元时，月销售量为吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用元设每吨材料售价为（元），该经销店的月利润为（元）（1）当每吨售价是元时，计算此时的月销售量；（2）求出与的二次函数关系式（不要求写出的取值范围）；（3）请把（2）中的二次函数配方成的形式，并据此说明该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额

20、也最大”你认为对吗？请说明理由答案：解：（1）（吨）（2），化简得：（3）利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元（4）我认为，小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时，为210元，而对于月销售额来说，当为160元时，月销售额最大当为210元时，月销售额不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时，为210元，此时，月销售额为17325元；而当为200元时，月销售额为18000元，当月利润最大时，月销售额不是最大小静说的不对第7题在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价(元/千克)252423

21、22销售量(千克)2000250030003500（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断与之间的函数关系，并求出与之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润（元）与销售价（元/千克）之间的函数关系式，并求出当取何值时，的值最大？022232425（元千克）（千克）2000250030003500答案：解：（1）正确描点，连线由图象可知，是是一次函数设，022232425（元千克）（千克）2000250030003500点，在图象上，解之得：（2） 与的函数关系式为，当销售价为元千克时，能获得最大利润第8题如图，现有一横截面是抛物

22、线的水渠一次，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的点，另一端露出水面并靠在水渠内侧的点，发现标杆有1m浸没在水中，露出水面部分的标杆与水面成的夹角（标杆与水渠的横截面在同一平面内）（1）以水面所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（2）在（1）的条件下，当水面上升0.3m时，水面宽约为多少？（取2.24，结果精确到0.1m）xyOAB答案：解：（1）设与轴交于点，可知作轴于点则故；设抛物线的解析式为将点的坐标代入得，因而（2）当水面上升0.3m时，此时，代入可得，解得故此时水面宽为约为2.7m第9题为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的