线性控制14章课件

1、第14章 线性时不变系统的综合 控制系统的分析和综合是控制系统研究的重要内容。 控制系统的分析是建立数学模型的基础上分析系统的各项性能及其与系统的结构、参数和外部作用间的关系。 控制系统综合的任务是设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标都满足要求。 根据综合目标提法的不同，可将系统综合分为两类：通常把综合目标仅是为了使系统性能满足某种笼统指标要求的，成为常规综合；综合目标是要确保系统性能指标在某种意义下达到最优的，称为最优综合。 本章只讨论常规综合。第14章 线性时不变系统的综合2 14.1 反馈控制系统的基本结构1 14.2 状态反馈系统的极点配置 14.3 状

2、态重构与状态观测器的设计 14.4 带观测器的状态反馈系统的综合3234第14章 线性时不变系统的综合414.1.1 状态反馈14.1.2 输出反馈 14.1 反馈控制系统的基本结构14.1.3 反馈控制系统的能控能观性 状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。 图14-4 多输入-多输出系统状态反馈结构示意图14.1.1 状态反馈5以单输入-单输出系统为例，其状态空间描述为： 状态反馈控制规律为 状态反馈K的引入，没有引入新的状态变量，也不增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获

3、得所要求的性能。经过状态反馈后，系统的传递函数为： 闭环特征多项式: 14.1.1 状态反馈6 输出反馈有两种形式，最常见的是将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控对象的控制输入。经典控制理论中所讨论的就是这种反馈。 多输入-多输出系统的输出反馈系统的这种形式见教材 P244 图14-2所示。图14-2 多输入-多输出系统输出反馈结构II示意图14.1.2 输出反馈7输出反馈控制规律为 由此可见,经过输出反馈后,闭环系统同样没有引入新的状态变量,仅仅是系统矩阵A变成了A-BHC。 14.1.2 输出反馈8输出反馈的另一种形式是输出量乘以相应的系数反馈到状态微分处。

4、图14-1 多输入-多输出系统输出反馈结构 I 示意图14.1.2 输出反馈9 不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改变系统矩阵A，但这并不表明两者具有等同的功能。 输出反馈HC相当于状态反馈中的K，但是mn,故H可选择的自由度比K小，只相当于部分状态反馈，仅当C为nn时，HC的作用才和K的作用相当。 14.1.2 输出反馈101114.1.3 反馈控制系统的能控能观性 由于引入反馈，系统状态的系数矩阵发生变化，对系统的能控性、能观测性、响应特性、稳定性等都有影响。定理14-1 状态反馈不改变受控系统 的能控性，但却不一定能保持系统的能观测性。1.加入状态反馈不影响系统的能控性 14.1.3 反

5、馈控制系统的能控能观性12证明：为简单起见，以单输入-单输出系统为例。 原系统 和状态反馈系统 的能控性判别阵分别为：这表明 的列向量可以由 的列向量的线性组合来表示。 1314.1.3 反馈控制系统的能控能观性 若原来系统能控，则加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也能控；若原来系统不能控，则无论用什么K阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不能控。这一性质称为状态反馈不改变系统的能控性。14.1.3 反馈控制系统的能控能观性14关于状态反馈不一定能保持系统的能观测性举一反例说明：其能观测判别阵：原系统能观测 a.引入状态反馈k= 其能观测判别阵：反馈系统不能观测15b.引入状态反馈k=0 1

6、其能观测判别阵：反馈系统能观测 这表明状态反馈可能改变系统的能观测性。14.1.3 反馈控制系统的能控能观性16例 设系统的状态空间表达式为: 试分析系统引入状态反馈K=3 1后的能控性和能观测性。 14.1.3 反馈控制系统的能控能观性17解：容易验证原系统是能控又能观测的。引入状态反 馈K=3 1后系统的状态空间表达式为： 系统能控 系统不能观测 状态反馈不改变受控系统 的能控性，但却不一定能保持系统的能观测性。这反映在传递函数上出现了零极点相消现象 1814.1.3 反馈控制系统的能控能观性经过状态反馈后，系统的传递函数为： 14.1.3 反馈控制系统的能控能观性192加入输出反馈不改变

7、系统的能观测性，对系统的能控性的影响因输出反馈的位置不同而不同。 定理14-2 输出至参考输入反馈引入的输出反馈不改变受控系统 的能控性和能观测性。 图14-2 多输入-多输出系统输出反馈结构II示意图14.1.3 反馈控制系统的能控能观性20证明：因为这种输出反馈中的HC等效与状态反馈中的K，那么输出反馈也保持了受控系统的能控性不变。 关于能观测性不变，可由能观测性判别矩阵（仍以单输入-单输出系统为例）。 仿照定理14-1的证明方法，同样可以把 看作 经初等变换的结果，而初等变换不改变矩阵的秩，因此能观测性保持不变。 14.1.3 反馈控制系统的能控能观性21 极点配置方法在某种程度上类似与

8、根轨迹法，它们都是把闭环极点配置在希望的位置上。它们的基本区别在于：根轨迹法只把主导极点配置到希望的位置，而极点配置设计是把所有闭环极点都配置到希望的位置。 极点配置：就是通过选择反馈矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。这里需要解决两个问题：第一：极点可任意配置的条件； 第二：确定极点配置所需要的K阵。 14.2 状态反馈系统的极点配置222314.2.1 极点配置定理14.2.2 系统极点配置 14.2 状态反馈系统的极点配置14.2.3 状态反馈的应用状态反馈下闭环系 统的镇定问题一.任意配置闭环极点的充分必要条件 定理14-3 教材P249 采

9、用状态反馈使闭环系统的极点配置在任意位置的充分必要条件是受控对象 完全能控。 14.2.1 极点配置定理24二.极点配置的设计步骤 P250 第一步，判断系统 是否完全能控，只有完全能控，才能任意配置极点,计算原系统的特征方程：化 为能控标准型： 14.2.1 极点配置定理25第二步，加入状态反馈阵 ，计算 的特征多项式 14.2.1 极点配置定理26第三步，由所给的n个期望特征值 ，计算 期望的多项式 第四步，比较两个特征值的系数，从中求出 第五步，把对应于 的变换，得 到对应于原状态x的反馈阵k。 14.2.1 极点配置定理27例14-2 教材P253 某受控对象的传递函数为： 试设计状态

10、反馈控制器，使闭环系统的极点为-2， ，闭环系统结构图见教材P253图14-7。14.2.2 系统极点配置28解： 因为传递函数没有零、极点对消现象，所以受控对象是能控的。可以任意配置极点。 加入状态反馈阵 ，计算的特征多项式 由所给的期望特征值-2， ，计算期望的多项式 14.2.2 系统极点配置29 比较 各项系数 14.2.2 系统极点配置30图14-7 闭环系统结构图14.2.2 系统极点配置31例 已知单输入线性定常系统的状态方程为：试设计状态反馈控制器K，使闭环系统的极点为-2，-1+j，-1-j。解： 系统的能控判别阵： 原系统能控，可以任意配置极点。14.2.2 系统极点配置3

11、2 由于原系统不是能控标准型，化为能控标准型。变换阵14.2.2 系统极点配置33加入状态反馈阵 ，计算的特征多项式 计算期望的多项式比较 各项系数 14.2.2 系统极点配置34 方法二：若不将原系统化为能控标准型14.2.2 系统极点配置35比较 各项系数 14.2.2 系统极点配置36 在极点配置定理中，“任意配置”是和系统可控是等价的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。 三.不完全能控系统的极点配置14.2.2 系统极点配置37推论：对n维不完全能控的线性定常系统 系统能控部分特征值： 系统不能控部分特

12、征值： 系统期望特征值组 那么，若 全部属于 则必存在状态反馈阵K实现指定的期望极点配置； 若 部分属于 则必不存在状态反馈阵K实现指定的期望极点配置。14.2.2 系统极点配置38 系统镇定是指，对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐进稳定。 系统镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况，只要求把极点配置在根平面的左侧，而不要求严格配置在期望的位置上。14.2.3 状态反馈的应用状态反馈下闭环系统的镇定问题39定理 采用状态反馈使不完全能控系统稳定的充分必要条件是系统的不能控极点都具有负实部。 例14-9 设被控对象的状态方程为： 试分析是否存在状态反馈,使得闭环系统稳定。解:14

13、.2.3 状态反馈的应用状态反馈下闭环系统的镇定问题40根据定理需要对该系统进行能控性分解来分析该不完全能控系统通过状态反馈是否稳定。 可见，不能控极点为-2，该系统能通过状态反馈使闭环系统稳定。414214.3.1 状态估计14.3.2 全维观测器设计14.3.3 降维观测器 14.3 状态重构与状态观测器的设计42 在很多情况下，只有被控对象的输入量和输出量能够用传感器测量，而多数状态变量不易测量或不可能测得，于是提出了利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器（又称状态估计器、状态重构器）来重构状态的问题。状态观测器的定义：14.3.1 状态估计4314.3.1 状态估计44状态观测器的

14、实现：定理 如果线性定常系统 完全能观，则其状态矢量x可由输出y和输入u进行重构。 14.3.1 状态估计45证明：14.3.1 状态估计46 根据定理可以构造一个新系统z，以原系统的y、u为输入，输出z经变换后得到状态矢量x。 由于x(t)是由输入和输出测量值及各阶导数组成，导致干扰放大，因此观测器无法准确。这样的观测器没有工程价值。14.3.1 状态估计47一.全维状态观测器的设计 全维(阶)观测器：重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数。 一个最简单直观的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统,用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值,如图(教材265 图

15、14-16)状态观测器的极点配置14.3.2 全维观测器设计4814.3.2 全维观测器设计49观测器估计误差 应满足方程式 定理14-9 教材P265 若n维线性定常系统是完全能观测的，则可用上图中所示的全维状态观测器重构出其所有的状态。反馈矩阵H可以按任意给定的极点位置来选择，所给定的极点位置将决定状态误差向量衰减到零的速度。14.3.2 全维观测器设计50例14-10 （教材 P266）已知受控对象传递函数为试设计状态观测器，极点配置在-10，-10。解：传递函数无零、极点对消，受控系统完全能观测。将传递函数转化成状态空间描述，并写成能控型实现，有 将观测器增益矩阵G写成： 14.3.2

16、 全维观测器设计51根据给定的期望极点，求出期望的观测器特征方程为：观测器方程为14.3.2 全维观测器设计52322uy322u322y14.3.2 全维观测器设计53 8.5 23.5322u322+14.3.2 全维观测器设计545514.3.3 降维观测器 全维观测器是建立在对原系统模拟的基础上，其维数和受控系统维数相同。实际上，系统的输出矢量y来产生部分状态变量，从而降低观测器的维数。可以证明，若系统能观，输出矩阵的秩是m，则它的m个状态分量可由y直接获得，那么，其余的（n-m）维的降维观测器进行重构即可。降维观测器设计方法有很多，下面介绍其一般设计方法。 降维观测器是设计分为两步。

17、首先，通过线性变换把状态按能检测性分解成 和 。其中（n-m）维 需要重构，而m维 可由y直接获得。然后，对 构造（n-m）维观测器。14.3.3 降维观测器例14-11 已知系统状态空间描述为试设计一降维观测器，其极点为-10。5814.3.3 降维观测器解： 该状态表达式已是标准形式，即 是可直接由y测量的， 是待重构的，其设计步骤如下： 因为F的期望极点 ，故它的期望特征多项式为 得即 再求出F,G,H。于是，系统的降维观测器状态空间表达式为595814.4.1 系统的描述14.4.2 闭环系统的基本特性 14.4 带观测器的状态反馈系统的综合引入了状态观测器的状态反馈系统如下：14-1

18、6 用全维状态观测器实现状态反馈原理结构图状态观测器部分受控系统 14.4 带观测器的状态反馈系统的综合59 由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方块图如图所示。通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器 14.4 带观测器的状态反馈系统的综合6014.4.1 系统的描述6114.4.1 系统的描述622. 当观测器被引入后，状态反馈系统部分是否会改变已经设计好的观测器极点配置，其观测器输出反馈阵G是否需要重新设计？ 疑问：1. 用观测器提供的估计值 代替真实状态x实现状态反馈，为保证系统的期望特征值，其状态反馈阵K是否需要重新设计？14.4.1 系统的描述63分离定理 若被控系统(A,B,C)既能控