2022新高考总复习《数学》(人教)第九章　统计与统计案例9.1　随机抽样

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI9.1随机抽样第九章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.总体、个体、样本、样本的容量的概念统计中所考察对象的全体构成的集合看做总体,构成总体的每个元素作为个体,从总体中抽取的所组成的集合叫做样本,样本中个体的叫做样本的容量.一部分个体数目2.简单随机抽样(1)定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个地抽取n个个体作为样本(nN),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)常用方法:和.(3)应用范围:总体中的

2、个体之间差异程度较小和数目较少.(4)注意事项:利用随机数表抽样时,选定的初始数和读数的方向是任意的;对各个个体编号要视总体中的个体数情况而定,且必须保证所编号码的位数一致.不放回机会都相等抽签法随机数法3.系统抽样(1)定义:当总体中的个体比较多时,首先把总体分成均衡的若干部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分中抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样.(2)系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.先将总体的N个个体;编号分段间隔k分段在第1段用确定第一个个体编号l(lk);按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号,再加k得到第3个个

3、体编号,依次进行下去,直到获取整个样本.(3)应用范围:总体中的个体数较多.简单随机抽样(l+k) (l+2k) 4.分层抽样(1)定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫分层抽样.(2)应用范围:适用于总体由差异比较明显的几个部分组成.(3)注意事项:利用分层抽样要注意按比例抽取,若各层应抽取的个体数不都是整数,则应当调整各层容量,即先剔除各层中“多余”的个体.一定的比例常用结论1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.2.系统抽样一般也称为等距抽样,入样个体的编号相差分段间

4、隔k的整数倍.3.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.()(2)在抽签法中,先抽的人抽中的可能性大.()(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.()(4)用系统抽样从102名学生中选取20名,需剔除2名,这样对被剔除者不公平.()(5)在分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()2.为客观了解上海市民家庭存书量,上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查,成功访问了2 007位市民,在这项调查中,总体、样本及样本的容量分别是()

5、A.总体是上海市民家庭总数量,样本是2 007位市民家庭的存书量,样本的容量是2 007B.总体是上海市民家庭的存书量,样本是2 007位市民家庭的存书量,样本的容量是2 007C.总体是上海市民家庭的存书量,样本是2 007位市民,样本的容量是2 007D.总体是上海市民家庭总数量,样本是2 007位市民,样本的容量是2 007答案 B解析 根据题目可知,总体是上海市民家庭的存书量,样本是2 007位市民家庭的存书量,样本的容量是2 007,故选B.3.有200人参加了一次会议,为了了解这200人参加会议的体会,将这200人随机编号为001,002,003,200,用系统抽样的方法(等距离)

6、抽出20人,若编号为006,036,041,176,196的5个人中有1个没有抽到,则这个编号是()A.006B.041C.176D.196答案 B解析 由题意,从200人中用系统抽样的方法抽取20人,所以抽样的间隔为 =10,若在第1组中抽取的数字为006,则抽取的号码满足6+(n-1)10=10n-4,其中nN*,其中当n=4时,抽取的号码为36;当n=18时,抽取的号码为176;当n=20时,抽取的号码为196,所以041这个编号不在抽取的号码中,故选B.4.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,其中某月生产的产品数量之比依次为m32,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知

7、A种型号产品抽取了45件,则m=()A.1B.2C.3D.4答案 C解析 用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,A种型号产品抽取了45件,又某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,某月生产产品数量之比依次为m32,根据分层抽样的性质得 ,解得m=3.故选C.5.(2018全国3,文14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.答案 分层抽样解析 因大量客户且具有不同的年龄段,分层明显,故根据分层抽样的定义可知采用分层抽样最为合适.关键能力 学案突破考点1

8、简单随机抽样【例1】 (1)用随机数法从100名学生(其中男生25人)中抽取20人进行评教,某男生被抽到的概率是()(2)某班有40位同学,座位号记为01,02,40,用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的5位同学的座位号,495444548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921207675086选取方法是从随机数表第一行的第11列和第12列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个志愿者的座位号是()A.09B.20C.37 D.38答案 (1)C(2)B(2)由题意结合随机数

9、表可得由左到右依次选取的两个数字为17,37,23,35,20,故选出来的第5个志愿者的座位号是20.故选B.解题心得应用简单随机抽样时应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本的容量都较小时可用抽签法.(2)在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,将超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.对点训练1(1)用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中,抽取一个容量为2的样本,某一个体a“第一次被抽取”的可能性、“第二次被抽取”的可能性分别是(

10、)(2)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,699,700.从中抽取70个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()32 21 18 34 2978 64 54 07 3252 42 06 44 3812 23 43 56 7735 78 90 56 4284 42 12 53 3134 57 86 07 3625 30 07 32 8623 45 78 89 0723 68 96 08 0432 56 78 08 4367 89 53 55 7734 89 94 83 7

11、522 53 55 78 3245 77 89 23 45A.623B.328C.253D.007答案 (1) A(2)A解析(1)由于简单随机抽样中每个个体每次被抽到的机会均等,所以个体a“第一次被抽取”的可能性与“第二次被抽取”的可能性是相同的,都为 .故选A.(2)从第5行第6列开始向右读取数据,第一个数为253,第二个数是313,第三个数是457,下一个数是860,不符合要求,下一个数是736,不符合要求,下一个是253,重复,第四个是007,第五个是328,第六个是623,故选A.考点2系统抽样【例2】 (1)某学校为响应“平安出行号召”,拟从2 019名学生中选取50名学生加入“交

12、通志愿者”,若采用以下方法选取:先用简单随机抽样方法剔除19名学生,剩下的2 000名再按照系统抽样的方法抽取,则每名学生入选的概率()A.不全相等 B.均不相等(2)某学校从编号依次为01,02,90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本,已知样本中相邻的两个组的编号分别为14,23,则该样本中来自第四组的学生的编号为()A.32B.33C.41D.42答案 (1)D(2)A(2)因为由题可知相邻的两个组的编号分别为14,23,所以样本间隔为 23-14=9,所以第一组的编号为14-9=5,所以第四组的编号为5+39=32,故选A.解题心得1.系统抽样适用的条件是总体容量较

13、大,样本的容量也较大.2.使用系统抽样时,若总体容量不能被样本的容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.3.起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.4.系统抽样是等距抽样,利用系统抽样抽取的样本编号通常构成等差数列,但如果抽样规则另有说明(非等距抽样),得到样本编号则不一定成等差数列.对点训练2(1)某校高三年级共有学生900人,编号为1,2,3,900,现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本,若在第一组抽取的编号是5,则抽取的45人中,编号落在区间479,719的人数为()A.10B.11C.12D.13(2)某校校园艺术节活动中

14、,有24名学生参加了学校组织的唱歌比赛,他们比赛成绩的茎叶图如图所示,将他们的比赛成绩从低到高编号为124号,再用系统抽样方法抽出6名同学周末到某音乐学院参观学习.则样本中比赛成绩不超过85分的学生人数为()A.1B.2C.3D.不确定答案 (1)C(2)B解析 (1)900人中抽取样本容量为45的样本,样本组距为:90045=20,又第一组抽取的编号为5,则编号落在区间479,719的人数为(719-479)20=12,故选C.(2)根据题意知抽样比例为246=4,结合图中数据知样本中比赛成绩不超过85分的学生人数为 =2(人).故选B.考点3分层抽样【例3】 已知某地区中小学生人数和近视情

15、况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则抽取的高中生近视人数分别为()A.5B.10 C.15 D.20思考在分层抽样中抽样比是什么?每一层是按什么比来抽取的? 考向1已知总体数量,求各层抽取数量 答案 D解析抽取的高中生人数为2 0002%=40(人),则近视人数为400.5=20(人),故选D.考向2已知抽取人数,确定总体或各层数量【例4】 (1)用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,已知该校高二年级共有学生300人,则该校学生总数是人.(2)某林场共有白猫与黑猫1 00

16、0只,其中白猫比黑猫多400只,为调查猫的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中黑猫有6只,则n=.思考在分层抽样中,每个个体入样的可能性与抽样的个数和总体数量之比有怎样的关系?答案 (1)900(2)20 解题心得1.在分层抽样中,抽样比= ,每一层都是按抽样比的比例来抽取的.2.在分层抽样的过程中,各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比,即niNi=nN.3.分层抽样适用于总体是由差异明显的几部分组成的情况,这样更能反映总体的情况,是等可能抽样.对点训练3(1)某学校高一学生有720人,现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法,抽取180人进行英语水平测试,已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项,且高二年级抽取65人,则该校高三年级学生人数是.(2)某校高一、高二、高三分别有学生1