数学建模B题解答-供参考

1、钢管订购和运输摘要： 本文建立了一个运输问题的最优化模型。通过分析题图一，我们利用Floyd算法求出铁路网和公路网各点间最短路线，然后转化成最少运输，去掉了铁路和公路的性质，使运输网络变成一张供需运输价格表，然后建立了一个以总费用为目标函数的非线性规划模型，利用Lingo 软件，求出问题一的最优解为1278632万元通过对问题一中lingo运行结果的分析，我们得出S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，S1钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三模型的建立原理和问题一的相同，利用Lingo 软件，求得最优解为1407149万元.关键词：Floyd算法，非线性规

2、划，0-1规划一 问题重述有7个生产厂，可以生产输送天然气主管道的钢管。要沿着的主管道铺设, 如题图一所示。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，如下表：1单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)300301350351400401450451500运价(万元)2023262932里程(

3、km)5016006017007018008019009011000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就

4、这种更一般的情形给出一种解决办法，并对题图二按（1）的要求给出模型和结果。二 问题分析问题一，首先，所有钢管必须运到天然气主管道铺设路线上的节点，然后才能向左或右铺设。必须求出每个钢管厂到每个节点的每单位钢管的最小运输费用。对最小运费的求解，我们采用Floyd算法。先求出铁路网上钢管厂到铁路上任意两点，的最短路线的长度,用matlab求得对应的铁路单位运费；同理用Floyd 算法求出公路网上的任意两点， 的最短公路路线的长度，结果乘以0.1得到公路运费。，j表示所有运输中转点，于是就得到从某钢厂到某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。每个铺设点分别向两个方向展开，通过Lingo编程求出最小铺设费

5、用。运输费用加上购买费用再加上铺设费用就是我们所要求的总费用。问题二，通过问题一里面Lingo编程运行得出的结果，分析哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三，如铺设的管道是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络对于题图二，我们可以延用问题一里面的思想，在题图一的基础上多几条铺设路段，9，11，17节点的铺设方向变为 三个方向，其他不变。三 模型的假设与符号说明1) 基本假设: eq oac(,1)钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计中转费用； eq oac(,2)所需钢管均由 钢厂提供； eq oac(,3)假设运送

6、的钢管路途中没有损耗。 eq oac(,4)把“钢厂钢管的销价和产量上限变化对总费用和运购计划的影响”理解为在最优解附近的微小变化对总费用和运购计划的影响。销价最小变化是1万元，产量上限的最小变化是1个单位。 eq oac(,5)沿管道或者原来有公路或者建有施工公路。 eq oac(,6)一个钢管厂如果承担制造钢管，至少要生产500个单位。 eq oac(,7)公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元，不足整公里按整公里计算。2) 符号说明 : 钢厂的最大生产能力;: 钢厂 的出厂钢管单位价格(单位: 万元) ;: 公路上一单位钢管的每公里运费( = 0. 1 万元) ;：铁路网上两点间的单位

7、钢管最少运输费用；：题图一公路网上两点间的单位钢管最少运输费用；：题图二公路网上两点间的单位钢管最少运输费用；: 铁路上一单位钢管的运费(分段函数见表1) ;: 1 单位钢管从钢厂运到的最小费用(单位: 万元) ;: 从 到之间的距离(单位: 千米) ;: 钢厂运到的钢管数;: 运到地的钢管向左铺设的数目;: 运到地的钢管向右铺设的数目;：运到地的钢管向第三个方向铺设的数目;: = : 问题一中所求钢管订购、运输的总费用(单位: 万元) ; : 问题二中所求钢管订购、运输的总费用(单位: 万元) ;四 模型的建立与求解问题一的模型：针对题图一，我们采用Floyd算法，用matlab编程求出单位

8、钢管从运输到的最小运输费用，具体数据如下表1：表1 单位钢管从运输到的最小运输费用（单位：万元）对表1的数据进行分析，我们得到一个非线性规划模型：目标函数是总费用W , 它包含三项: 钢管出厂总价Q , 运输费P , 及铺设费T. 即W = Q + P + T其中 ， ， 目标函数为： 约束条件为: 生产能力的限制: 运到的钢管用完: 与之间的钢管: 变量非负性限制: , 运到的钢管整数限制: 运用数学软件Lingo编程求解 最优最小费用万元问题二的模型通过分析问题一中关于销价的约束，Lingo运行后得到的结果得影子价格表示在最优解下“资源”增加一个单位时“效益”的增量，即每个钢厂销售价格每减

9、少一万元，对总费用的影响。从表中数据分析，S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用的影响最大。通过分析问题一中关于产量的约束，Lingo运行后得到的结果得分析表中数据，得S1钢厂钢管的产量上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三的模型题图二为树形图，采用Floyd算法，用matlab编程求出单位钢管从运输到的最小运输费用，具体数据如下表2：表2 单位钢管从运输到的最小运输费用 （单位：万元）由于树形图的出现，则某些管道处会出现多支路。 则模型一中模型的 ，不再适用，此时可考虑多增加一些支路变量，并增加约束，在目标函数中增加相应的铺设费。目标函数： 约束条件： 生产能力的限制: 运到的钢

10、管用完: 与之间的钢管: 变量非负性限制: , 运到的钢管整数限制: 运用数学软件Lingo编程求出 最优最小费用万元五 模型优缺点1. 本文先从简单的角度着手建立模型，采用Floyd算法，简化运输网络。过程严谨，理论性强，逻辑严密，而且易于理解。2. 在计算最短路径时，我们采用Floyd算法，相比与Dijkstra算法，减少了大量的重复计算，提高了工作效率。3. 本文大量运用了计算机程序，所有数据均由计算机处理，故误差由计算机精度产生，模型据有良好的稳定性。参考文献：1 谢金星,薛毅.优化建模与LINGO/LINGO软件.北京：清华大学出版社,20052 宗容,施继红,尉洪,李海燕.数学实验

11、与数学建模.云南：云南大学出版社，2009附录用matlab建立Floyd函数的M文件，编程如下：function D,path=floyd(a)n=size(a,1);D=a;path=zeros(n,n);for i=1:n for j=1:n if D(i,j)=inf path(i,j)=j; end endendfor k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)D(i,j)+D1(k,j+8) c(i,k)=D(i,j)+D1(k,j+8);%对于所有中转点，在铁路网和公路网上的下标相差8 end end endendfor i=1:7for

12、 k=1:15 if c(i,k)D(i,1)+D1(k,33) c(i,k)=D(i,1)+D1(k,33);%33代表第一个钢管生产厂S1点 end if c(i,k)D(i,6)+D1(k,34) c(i,k)=D(i,6)+D1(k,34);%34代表第六个钢管生产厂S6点 end if c(i,k)D(i,7)+D1(k,35) c(i,k)=D(i,7)+D1(k,35);%35代表第七个钢管生产厂S7点 endend%因为S1,S6,S7这三个钢管厂有公路直接连接到铺设节点，所以把这三个点单独处理end 运行结果如下：问题一用Lingo软件求解的编程：model: sets: s

13、upply/S1.S7/:p,s,t; need/A1.A15/:L,R,b; links(supply,need):c,x; endsets data: s=800 800 1000 2000 2000 2000 3000; b=104,301,750,606,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,; c=170.7 160.3 140.2 98.6 38.0 20.5 3.1 21.2 64.2 92.0 96.0 106.0 121.2 128.0 142.0 215.7 205.3 190.2 171.6 111.0 95.5 86.0 71.

14、2 114.2 142.0 146.0 156.0 171.2 178.0 192.0 230.7 220.3 200.2 181.6 121.0 105.5 96.0 86.2 48.2 82.0 86.0 96.0 111.2 118.0 132.0 260.7 250.3 235.2 216.6 156.0 140.5 131.0 116.2 84.2 62.0 51.0 61.0 76.2 83.0 97.0 255.7 245.3 225.2 206.6 146.0 130.5 121.0 111.2 79.2 57.0 33.0 51.0 71.2 73.0 87.0 265.7

15、255.3 235.2 216.6 156.0 140.5 131.0 121.2 84.2 62.0 51.0 45.0 26.2 11.0 28.0 275.7 265.3 245.2 226.6 166.0 150.5 141.0 131.2 99.2 77.0 66.0 56.0 38.2 26.0 2.0; enddata min=sum(links(i,j):(p(i)+c(i,j)*x(i,j)+0.05*sum(need(j):L(j)2+L(j)+R(j)2+R(j); for(supply(i):sum(need(j):x(i,j)=500*t(i); for(supply

16、(i):sum(need(j):x(i,j)D(i,j)+D2(k,j+8) h(i,m)=D(i,j)+D2(k,j+8); end end m=m+1; endendfor i=1:7 m=1; for k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,24,27,28,29,30,34 if h(i,m)D(i,1)+D2(k,33) h(i,m)=D(i,1)+D2(k,33); end if h(i,m)D(i,6)+D2(k,34) h(i,m)=D(i,6)+D2(k,34); end if h(i,m)D(i,7)+D2(k,35) h(i,m)=D(

17、i,7)+D2(k,35); end m=m+1; endend运行结果如下：问题三用软件Lingo编程：model: sets: supply/S1.S7/:p,s,t; need/A1.A21/:L,R,Z,b; links(supply,need):c,x; endsets data: p=160 155 155160 155 150 160; s=800 800 1000 2000 2000 2000 3000; b=104,301,750,606,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,42,10,130,190,260,100; c=170.

18、7, 160.3, 140.2, 98.6, 38, 20.5, 3.1, 21.2, 64.2, 92, 96, 106, 121.2, 128, 142, 60, 95, 100, 105, 115, 125215.7, 205.3, 190.2, 171.6, 111, 95.5, 86, 71.2, 114.2, 142, 146, 156, 171.2, 178, 192, 110, 145, 150, 155, 165, 175230.7, 220.3, 200.2, 181.6, 121, 105.5, 96, 86.2, 48.2, 82, 86, 96, 111.2, 118

19、, 132, 44, 85, 90, 95, 105, 115260.7, 250.3, 235.2, 216.6, 156, 140.5, 131, 116.2, 84.2, 62, 51, 61, 76.2, 83, 97, 80, 50, 55, 60, 70, 80255.7, 245.3, 225.2, 206.6, 146, 130.5, 121, 111.2, 79.2, 57, 33, 51, 71.2, 73, 87, 75, 32, 45, 50, 65, 75265.7, 255.3, 235.2, 216.6,156, 140.5, 131, 121.2, 84.2, 62, 51, 37, 16.2, 11, 28, 80, 50, 37, 36, 10, 0275.7, 265.3, 245.2, 226.6, 166, 150.5, 141, 131.2, 99.2, 77, 64, 56, 38.2, 26, 2, 95, 63, 50,