课件概率论三、矩协方差和相关系数

1、第三章 随量的数学特征一、数学期望二、方差三、矩，协方差和相关系数1第一节 数学期望一、数学期望的概念二、随量函数的数学期望三、数学期望的性质四、小结2一、数学期望的概念数学期望是指用概率分布算得的一种平均.例 分赌本甲,乙两个赌徒相约用掷硬币赌钱,谁先赢三次得全部赌本100法甲赢了两次,乙赢了一次,不再赌下去了,如何分赌本?再玩二次结束这次.3结果1 2 3 4次数甲甲乙乙甲乙甲乙四种结果是等可能的,甲赢法郎数为XX100P3 4甲期望得到 75 (法郎)定义 设离散型随 量 X 的分布律P X xk pk ,k 1,2,3,如 xk pk 绝对收敛,k 1则称级数 xk pk 的和为X 的

2、数学期望,记作E (X).k 1E( X ) xk pkk 11* 也称为X 的均值或分布的均值;E(X)是一个实数,而非变量,它是一种 平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随 量 X 取可能值的真正的平均值.2* 级数 xk pk收敛,则 xk pk 绝对收敛,k 1k 1级数的和与各项的次序无关;3* xk pk 不是绝对收敛, xk pk 发散,k 1k 1称 X 的数学期望不存在;c.r .v. X f ( x ),称 xf ( x)dx 为X 的数学期望,记作E (X)E( X ) xf ( x)dx1* f ( x)k ;如 xf ( x)dx 绝对收敛,则称X 的数学期

3、望存在,2* 几何意义:平面图形重心的横坐标.例1 离散型随量 X 的分布律为：X1234P0.40.30.20.1求 E(X)解：E( X ) 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 2例2 X () ,求E (X)k 解: X 的分布律 P X k k! e , k 0,1,2, k kE( X ) ke ek 0 k!k 1(k 1)! t e t!e et 0例3 随量X 的分布律X1 23 42n1 2n c ccccPc223242(2n1)2 (2n)2 1 1c 2 求证E (X)不存在. n1 n c c 1证明: xn pn n 2 c n1n1 nn1 nn1 n

4、发散,E (X)不存在.例4 已知 X f ( x ) ax b0 x 10elseE( X ) 7 ，求a 和 b 的值.12解: f ( x)dx 1(ax b)dx a b 102E( X ) x f ( x)dx 1 x(ax b)dx a b 703 2 12 a 1, b 12例5 X U (a,b) , 求E (X) 1 , a x b，解: X 的密度函数是 f ( x) b a 0,其他，E ( X ) xf ( x )dx1x2b b xdx a b a2(b a)a a b2例6 设有5个相互独立的元件,其服从参数为的指数分布,其概率密度为：1 xf ( x) e x 0

5、 0 0 x 0将这5个元件组成一个串联系统,求该系统的平均寿命；将这5个元件组成一个并联系统,求该系统的平均.解：Xk 表示第 k 个元件的， k 1,2,3,4,5X1 , X 2 ,5 相互独立,同服从参数为的指数分布.(1) 记 Y 为串联系统的,Y min( X1 , X 2 ,5 )f( y) 51 F ( y) 51 f ( y)min1 y 5 (e y )51 e y 00y 0 5 5 y e y 00y 05 5 yE(Y ) y fY ( y)dy 0 y e dy 5(2) 记 Z 为并联系统的，Z max( X1 , X 2 ,5 )f(z) n F (z) n1

6、f (z)max5 z e (1 e z )4z 0 0z 05 z E( Z ) z fZ (z)dz z e (1 e z )4 dz0 137 60例7 某电子元件的使用为X 1 x f ( x) e 1000 x 0X1000 0 x 0若规定使用在500小时以下为废品,产值为0元;在500 1000小时为次品,产值为10元;在1000 1500小时为二等品,产值为30元;在1500小时以上为一等品,产值为40元;求平均产值.解: 设产值为Y,Y 的取值为0,10,30,40,500 1 x PY 0 P X 500 0e 1000dx 1 e0.51000PY 10 P500 X 1

7、000 e0.5 e1 PY 30 P1000 X 1500 e1 e1.5 PY 40 e1.5Y00103 40P 1 e0.5 e0.5 e1e0.5 e1e1.5E(Y ) 10e0.5(1 e0.5 )2 15.65（元）二、随量函数的数学期望定理 设 Y 是随量 X 的函数, Y = g(x) ( g 是连续函数).1. d .r .v.X，P X xk pk , k 1,2,若 g( xk ) pk 绝对收敛,则 Y 的数学期望存在,k 1E(Y ) E g( X ) g( xk ) pkk 12. c.r .v. X f ( x)若 g( x ) f ( x )dx 绝对收敛,

8、则 Y 的数学期望存在,E (Y ) E g( X ) g( x ) f ( x )dx定理的重要意义: 求E(Y) 时,不必知道Y 的分布,只要知道 X 的分布就可以了.证明:f ( y) f X h( y) h( y) y Y0elseE(Y ) y f ( y)dy y f h( y) h( y) dyYXh( y) 0,E(Y ) y f h( y) h( y)dy g( x ) f ( x )dxXh( y) 0,E(Y ) y f h( y) h( y)dy g( x ) f ( x )dxX g( x ) f ( x )dx例8 设随量X 的分布律为X1234P0.4 0.30.

9、20.1Y X 2 ,求 E(Y )解：E( X ) 2,E(Y ) (0.4 4 0.3 9 0.2 16 0.1) 5E ( X 2 ) ( EX )2例921例9 风速V 在 ( 0, a ) 上服从均匀分布,概率密度是 1 , 0 v a f (v) a 0,其他设机翼上受到的压力W 是V 的函数, W kV 2 , k 0,求W 的数学期望.E(W ) kv2 f (v)dv a kv2 1 dv 1 ka20a3推广 设 Z 是二维随量( X,Y )的函数, Z g( X ,Y ) ( g 是二元连续函数).1. d.r.v (X,Y) 的分布律为:P X xi ,Y y j pi

10、j , i, j 1,2,3, 若 g( xi , y j ) pij 绝对收敛,则 Z 的数学期望存在,j1i 1 E( Z ) E g( X ,Y ) g( xi , y j ) pijj1i 12. c.r.v (X,Y) f ( x, y),若 g( x, y) f ( x, y)dxdy 绝对收敛,则 Z 的数学期 望存在,E( Z ) E g( X ,Y ) g( x, y) f ( x, y)dxdy 例10 设X ,Y 的联合分布律为求E( X ), E(Y ), E( XY ).解: E( X ) (1) 0.25 0.75 0.5E(Y ) (1) 0.75 0.25 0.

11、5E( XY ) (1) (1) 0.25 (1) 1 0 1 1 0.25 1 (1) 0.5 0XY 11P0.50.5E( XY ) 0例11 设 二维随量(X,Y) 的概率密度为15 x2 y, 0 x y 1f ( x, y) 0其他Z XY , 求 Z 的数学期望.解:yE( Z ) E( XY )1 xyf ( x, y)dxdy Dx y 1dy y xy 15 x2 ydx0001x 115 y6dy 150 428例1227三、数学期望的性质C 是常数， E (C ) CC 是常数，X 是随量， E (CX ) CE ( X )X,Y 是任意两个随量，E ( X Y ) E

12、 ( X ) E (Y )证： c.r .v.( X ,Y ) f ( x, y)E ( X Y ) ( x y) f ( x, y)dxdy xf ( x, y)dxdy yf ( x, y)dxdy E ( X ) E (Y )推广：E(n ) E( X1 ) E( X 2 ) E( Xn )E(C1 X1 C2 X 2 Cn Xn ) C1 E( X1 ) C2 E( X 2 ) Cn E( Xn )E 1 n X 1 n E( X ) n i n i i1i 14. X 与Y 相互独立,则E( XY ) E( X )E(Y )证： c.r.v.( X ,Y )E( XY ) xyf (

13、 x, y)dxdy xy f ( x) f ( y)dxdy XY x f ( x)dx y f ( y)dyXY E( X )E(Y )推广: X1, X2, Xn相互独立E(n ) E( X1 )E( X 2 )E( Xn )YX11pi10.2500.2510.50.250.75p j0.750.25例13机场的送客车载有20名乘客从机场开出,乘客有10个车站可以下车,如到达一个车站无乘客下车就不停车,假设每位乘客在各个车站下车是等可能的,且乘客之间在哪一个站下车相互独立.以 X表示停车的次数,求平均停车次数E (X).解：设 X 1, 第i 站有人下车，i 1,2,10i0, 第i

14、站无人下车，X 10Xi012020pk 9 1 9 10 10 Xi012020pk 9 1 9 10 10 9 20E( Xi ) 1 10 i 1,2,10E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X10 ) 9 20 10 1 8.784 10 例14 设 X,Y 相互独立,分别服从参数为,的指数分布. 1 x 1 yf ( x) e x 0 e y 0XfY ( y) 0 x 0 0y 0试求 Ee(cX dY ) (c 0,d 0).解： X,Y 相互独立， Ee(cX dY ) E(ecX ) E(edY ) 1 x1 y1 e cx e dx e d ye dy 0

15、0(c1)(d1)例15 某公司为开发一种新产品市场需要确定产量,他们估计出售一件产品可获利 m 元,而积压一件产品导致 n 元损失.他们预计销售量 Y (件)服从指数分布,其概率密度是1 e y y 0f ( y) , 0Y 0y 0为使获利润期望值最大,应该生产多少件产品?解：设产量为 x 件, 则利润Q( x) mY n( x Y )Y xmxY xQ( x) mY n( x Y ) Y x (m n)Y nx Y xmxY x mxY xE(f ( y)dy Q 1 e y dyY0 x(m n) y nx1 e y dy mx 1 e y dy0 x (m n) (1 e x ) n

16、xd E(Q) (m n)e x n 0, x lnn ,dx m n d 2 (m n) x dx2 E(Q) e 0,x ln n 时,所获利润期望值最大. m n 当=10 000, m = 500元, n = 2000元时,x 10 000ln 2000 2231.4, 500 2000 生产2231件产品时,使获利润期望值最大.例16 商店的销售策略某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后付款的方式 ,记使用为 X (以年计), 规定 :X 1, 一台付款 1500元;1 X 2, 一台付款 2000元; 2 X 3, 一台付款 2500元; X 3, 一台付款 3000元.设X 服

17、从指数分布 ,概率密度为 1 e x 10 , x 0,f ( x ) 10 0,x 0.试求该商店一台家用电 器Y 的数学期望 .37解P X 1 1 e x 10 d x 1 e0.1 0.0952,10 10P1 X 2 1 e x 10 d x21 10 e0.1 e0.2 0.0861,P2 X 3 1 e x 10 d x32 10 e0.2 e0.3 0.0779,38P X 3 1 e x 10 d x3 10 e0.3 0.7408.因而一台Y 的分布律为Y1500200025003000pk0.09520.08610.07790.7408得 E(Y ) 2732.15,即平

18、均一台家用电器收 费 2732.15 元.39例17 分组验血在一个人数很多 的团体中普查某种疾病 ,为此要抽验 N 个人的血, 可以用两种方法进行 .将每个人的血分别去化 验, 这就需化验 N 次.按 k 个人一组进行分组 , 把从 k 个人抽来的血混合在一起进行化 验, 如果这混合血液呈阴性反应, 就说明 k 个人的血都呈反应 , 这样,这 k 个人的血就只需验一次 . 若呈阳性, 则再对这 k 个人的血液分别进行化 验,这样, k 个人的血共最多需化验 k 1 次.0假设每个人化验呈 阳性的概率为 p, 且这些人的化验反应是相互独立 的.试说明当 p较小时, 选取适当的k ,按第二种方法

19、可以减少 化验的次数.并说明 k 取什么值时最适宜 .解 由于血液呈阳性反应的概率为 p,所以血液呈反应的概率为 q 1 p,因而 k 个人的混合血呈反应的概率为 qk ,k 个人的混合血呈阳性反 应的概率为 1 qk .设以 k 个人为一组时, 组内每人的血化验的次数为 X ,则 X 为一随量, 且其分布律为1X1k 1kkpkqk1 qkX 的数学期望为E( X ) 1 qk (1 1 )(1 qk ) 1 qk 1 .kkkN 个人平均需化验的次数为 N (1 qk 1 ).k2因此,只要选择 k 使1 qk 1 1,k则 N 个人平均需化验的次数 N .当 p 固定时,选取 k 使得L

20、 1 qk 1 小于1且取到最小值 ,k此时到最好的分组 方法.3例18 ( 卖报问题) 设某卖 的潜在卖报数 服从参数为 的泊松分布. 如果每卖出一份报a , 卖不掉而退回则每份赔偿b , 若某日报卖人买进 n 份报, 试求其期望所得.进一步, 再求最佳的卖报份数.解 若记其真正卖报数为,则与的关系如下: , n ,n, n则的分布为k k! e ,k n,P k i e , k n. i n i!记所得为 , 则 与 的关系如下: g( ) a b(n ), n,an, n.因此期望所得为M (n) E g( )5n1 k k e k)b (e )nak 0 k!k n k!n2 kn1

21、k (a b) e n(a b)e nak 0 k!k 0 k!当 a,b, 给定后, 求 n 使 M (n) 达到极大.6利用包求解,并演示计算结果.单击图形/暂停 ESC键退出789四、小结数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随量 X 取可能值的真正的平均值.数学期望的性质1o E(C ) C;2o E(CX ) CE( X );3o E( X Y ) E( X ) E(Y );4o X ,Y 独立 E( XY ) E( X )E(Y ).50思考题：X 服从分布f ( x) 1 x (1 x2 )期望存在吗?思考题：期望不存在1 dx 发散

22、 1 x2练习题：0 x 0r.v.的分布函数为 F ( x) x30 x 11x 1则 E ( ) ()(1) 13 x3dx(2) 13 x2dx 00(3) 1 x4dx xdx(4) x4dx 010袋中有6个红球,4个白球,任取一球记住颜色后再放回,这样一共进行了四次,记X为红球出现的次数,则 E( X ) =()(1) 1.6(2) 0.4(3) 2.4(4) 9.63. 已知离散型随量X 的分布函数为0 x 10.3 1 x 0F ( x) 0.60 x 10.81 x 31x 3则E( X ) x4.已知离散型随量X服从参数为2的泊松分布,则随量Z 3 X 2 的数学期望 E(

23、 Z ) 5. b(5,0,2), U (0,2),则E( ) 设随量的密度函数 x0 x 1f ( x) 2 x1 x 2求E()0其他cxex 2 ,x 0设X 的密度函数 f ( x) 0,x 0求常数 c 及E(X).8.结果表明,某地区外贸X 的概率密度函数为k( x 24)(84 x)2 24 x 841f ( x) , k 0其它2 605求该地外贸的平均.9. X U (0,2 ), 求 E(sin X ), E( X 3 ).10.设随量X 的密度函数为f ( x) cos x 2x 20else求： E ( X ), E (2 X 3), E ( X 2 ).一家商店采用科学管理,由过去的销售知,某商品每月销售6件,而且销售件数服从泊松分布.为了以 95%以上的把握保证这种商品不脱销,问商店在月底至少应进这种商品多少件?某与工厂约定,用船把一箱货物运到目的地,按期无损毁