动态线段长的最小值问题

1、动态线段长的最小值问题单动点类：线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，此类问题常用到两类几何原型：1.点到直线的距离，垂线段最短如图，在RtAABC中，匕A = 90, BD平分ZABC交AC于D点，AB=4, BD = 5,点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是已知。的半径为5，弦AB的长为8，点P在弦AB上，则OP的最小值 .如图，在AABC中，AB=6, BC=8, ZACB=30，将 ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 ABC.点 E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应 点是点P，则线段EP，长度的最小值为.【解析】E点为定点

2、，P在线段AC运动，这样可以化归为点到直线的最短距离问题，当且仅当ABLAC时，点P为AC与AC的交点.如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕 点B逆时针旋转60得到BM 连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是.【解析】如图，取BC的中点G，连接MG，可证得AMBG NBH (SAS)，则NH=MG，而根据垂线段最短，MG上CH时，MG最短，即HN最短，n 一 r1 一 一11-11 aa此时/ BCH=5x60 = 30，CG=5AB=x2a=a，MG=5CG=xa=，HN=S.一点到圆上各点的最小距离已知，。0的半径为5,

3、点P为。0内一点，且OP=3，则点P与圆上各点距离的最小值为于H,连接AH,则AH的最小值为,类似地，当点P在圆外时，最短距离如图所示等腰直角ABC中，匕C=90，AC=BC=4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CHLBD【解析】不论D如何动，CH始终与BD垂直，那么点H点的轨迹就是以BC中点M为半径的圆，这样动 线段AH的最小值，就顺利的转化为点A与。M各点的最小值问题.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动， 连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2,线段CP的最小值是【解析】速度相同，则意味

4、着DE=CF，存在 ADEADCF (SAS)，可进一步证得AEDF，于是点P 的轨迹是在以AD中点M为圆心的圆周上，CP的最小值就化归为点C到。M各点的最小值问题.变式1：如图，正方形ABCD中，AB=4，动点E从A出发向D运动，同时动点F从D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF.BE交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为.EFMAN，MB【解析】速度相同，则意味着AE=DF，存在 BAE*ADF （SAS），可进一步证得AFBE，于是点P的轨迹是在以AB中点N为圆心的2圆周上（如图所示），当P点在正方形对称中心的时候，P

5、到线段BC各点的距离最小，接下去线段和最小可转化为同直线的问题，作D关于BC的对D称点。，连接P。，则PQ就是MD+MP的最小值.变式2：如图，正方形ABCD中，AB=4，动点E从A出发向C运动，同时动点F从D出发向点B运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为.EFMAEDFNCB M【解析】变式2只是将上题P的轨迹变成半圆，这样就转化为点和圆上各点的最小值问题.变式3：直线y=x+4分别与x轴、y轴相交与点M、N，边长为2的正方形OABC 一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若

6、正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是D如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=6, E为AB边的中点，F是线段BC边上的动点.将MFB沿EF.（能力训练P67第11题）所在的直线折叠得到 EBF，连接BD，则BD的最小值为不论如何翻折，始终保持EB=EB，故，点B，的运动轨迹是在以E为圆心的圆周上，BD的最小值化归为点D到。E各点的最小值问题.11.双动点类：如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3），B（3, 4）为圆心，以1、3为半径作OAOB，M、N分 别是OAOB上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于.【解析】作。A关于x轴的对称。A，连接BA分别交OA和。B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM +PN最小.如图，OO是以原点为圆心，杈为半径的圆，点P是直线y=x+6上的一点，过点P作OO的一条切 线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为.【解析】VP在直线j=x+6上，.设P坐标为（m，6m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQLOQ，在RtAOPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2,.P0=m2+(6m)22=2m212m+34 = 2(m3)2+16,则当m = 3时，切线长PQ的最小值为4.如图，已知平面直角坐标系中，直线y=kx (k/0)经过点