南昌大学第五届高等数学竞赛试题

1、南昌大学第五届高等数学竞赛南昌大学第五届高等数学竞赛（理工类）试题 工填空题（每空3分，共15分）1、ex sin x 1lim2 =x 0 arcsin x2、设f x在X0处可寻,f X0 mt f X0 nt limt 0t3、设f x是连续函数，且f x11x 20ft dt，则 1fx dxx 14、已知两直线方程是L1： 1y 2 z3- x 2 y 1 z一一 工- 与L2 : - ,则过Li且平行L2的平01211面方程为5、由方程 xyzx2 y2 z2点所确定白函数z z x,y在点1,0, 1处的全微分二、单项选择题（每题3分，共15分）1、0,幼有理数 x为无理数,则f

2、（x）可导点的个数为（(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D)无穷.2、设 t是正值连续函数，a 0, f xt dt,y f x ,下列说法正确的是（）（A）在 a,0上是凹的，在0,a上是凸的.（B）在 a,0上是凸的，在 0,a上是凹的.（C）在 a,a上是凹的.（D）在 a,a上是凸的.3n 2n 3、级数 一-2 xn的收敛域为（）n 1 n n(A)(B)(C)(D)4、设C为圆周x2y2ax, a 0 ,贝1 c/xy2ds TOC o 1-5 h z 12_2_2_2(A) 2a2. (B) a2.(C)4a2.(D) 2a2.5、设 un4 tann xdx ,则 1 0u

3、j )n 0n、n 1(A)发散.(B)条件收敛.(C)绝对收敛.(D)无法判断.三、(本题满分8分)22122x y sin , x y 0;设二元函数f x,yxx y2试解答220,x2 y2 0,(1) f x,y 在点 0,0 是否连续？(2)求 fx 0,0 , fy 0,0 .（4） f x, y在点0,0是否可微？(3) fx x,y , fy x,y在点0,0是否连续?四、（本题满分6分）sin xcosx计算定积分值 ：dx.0 sin x cosx五、（本题满分计算曲线积分I7分)ydx (x 1)dyVL (x 1)2 y22 x,其中L为椭圆一 92y1的正向.4六、

4、（本题满分7分）设连接两点A 0,1与B 1,0的一条凸弧，点P x,y为凸弧AB上的任意一点，已知凸弧与弦AP之间的面积为x3,求此凸弧的方程.七、（本题满分6分）设k为非零常数，试判断级数sin n21k2的敛散性（发散、条件收敛还是绝对收敛）八、（本题满分7分）设函数f x连续，且F tz2 f x2 y2 dv,其中空间区域为：0 z h,t2,求导数dFdt和极限九、（本题满分7分）2设z f x2 y, xy ,其中f u,v具有二阶连续偏导数，二阶可导，求 一zx y（本题满分7分）it必2n计算lim n n 122，1 n 2IIIn2n1 . n n十一、（本题满分8分）n

5、 21 n n 1求级数的和.n 02n十二、（本题满分7分）1设f x在0,1上有连续的导数，求证：当 x 0,1 ,有f x o f t f t dt南昌大学第五届高等数学竞赛（理工类）试题答案二 1.2,2. m n f Xo , 3. 2,24. x 3y z 2 0, 5. dx 2dy.二、1、B 2、C 3、A 4、D 5、B由于xlim0,y 0y20,1 sin,x2因此limx 0,yx20y21sin 0 = f 22.x y0,0 x,y在点0,0连续.fx 0,0f limX,0f 0,0lim xsin x 00,同理fy0,00.求得fx X,y2xsin 22x

6、 yx x21 y2coS.x20；当 x 0,y0,0,0时，fx x, y不存在，因此fx x, y在点0,0不连续，同理fy x, y 在点 0,0不连续.limx 0, y于是fz fx 0,0 xfy 0,0 y10my0-，x221sin .x2=02yx, y在点0,0是可微.一 ,1四、原式二1204 sin x cosx dx12.240sindx1一 sin x cosx 2cot1In 2 12、22x 12x 12y2 ，2y21212y2 2y由格林公式得a2其中l为x 1PdxQdy0,于是 PdxQdyPdxQdy ，1的正向，令x 1 cossinsin sin

7、2 coscos cos2 sin六、设凸弧的方程为依题意得两边对x求导得通解为xytdt I16x2 1,2cx 6xi,5.故所求曲线为一425x 6x21.七、ansin.n2 k2 n nsin n2 k2 nk sin .n2k2 n当n充分大时，级数an是交错级数.n 1limnk sin .n2一 二0, k2 n且当n充分大时anan因此级数an收敛.n 1limnk22其次，考虑级数nk2nsin -.n k n因此级数a发散,八、所以级数sin1Jn2 k2条件收敛z2dvdvhz2dz0dxdyt2hdz02 x2 .2y t2y dxdy2,r rdrrdr ,33t2 33t2dr 2 h3t 2由罗毕达法则得h33tf t2 lim 2 ht 0 2th33hf 0九、令 u x2 y,v xy ,f2，2xf1xyf22xf112x2f12xy2f22十、因为i2ni2nii2ni2nn i2n .i 1limni2n12xdx0ln2limni2nlimnn .lim1ni2n1ln21、/口2n由夹逼准得lim -n n 1 TOC o 1-5 h z 2n二 III 二 J n 2nin -n n 1 ln2,2n