语音信号数字处理：5 语音信号的同态分析

1、第5章语音信号的同态分析5.2广义叠加原理5.1概述 5.4复倒谱和倒谱5.3卷积同态系统 5.5类语音信号的复倒谱分析5.6复倒谱的计算方法5.7语音信号的倒谱分析第5章语音信号的同态分析5.1概述语音的数学模型：由准周期脉冲（浊音）或白噪声（清音） 激励一个线性时变系统产生的输出。时变性：在一帧内认为是不变的。一帧语音信号 = 激励源 (卷积) 线性时不变系统的冲激响应语音分析的目的：将激励源与线性时不变系统的冲激响应分 开来分别进行研究（即解卷积问题）。 激励源：区分清音和浊音（浊音时还应确定基音频率）。 线性时不变系统：了解声道 特性、谐振参数。第5章语音信号的同态分析 5.1概述两类

2、解卷积算法： 参数解卷：为线性系统建立模型，用估计的模型参数表示 。 线性预测分析就属于参数解卷算法。 非参数解卷：无需建立线性系统模型的一类方法。 同态滤波就是其中的一种技术。同态滤波是一种非线性滤波，服从广义叠加原理。分离非加性组合信号（如乘性、卷积性组合），常采用同态滤波技术。本章内容：广义叠加原理、卷积同态系统， 复倒谱分析及其应用第5章语音信号的同态分析 5.1概述第5章语音信号的同态分析5.2广义叠加原理线性系统：是由叠加原理定义的，同态系统：由广义叠加原理来定义。 叠加原理是广义叠加原理的特例。广义叠加原理： H ：系统变换； ：系统的输入矢量之间的运算，（加法、乘法、卷积等）

3、： 标量与输入矢量之间的运算，（乘法、幂、开方等） 和：系统的输出矢量空间中系统的相应运算。 若下式成立，称系统H 满足广义叠加原理。定义：满足广义叠加原理的系统为同态系统。第5章语音信号的同态分析 5.2广义叠加原理分类：同态系统以输入、输出矢量空间中的运算来分类。 例：输入运算、输出运算的同态系统称为,同态系统本章只讨论输入和输出运算相同的同态系统， 例：卷积同态系统，输入和输出运算都为卷积运算。线性系统：同态系统的特例。 ,为矢量加法运算， ,为标量与矢量乘。图5.1：输入运算,、输出运算,的同态系统框图。系统变换H ：从输入到输出的矢量空间的代数线性变换。线性矢量空间理论应用于同态系统

4、，输入、输出运算需满足矢量加法和标量乘法的代数公设。第5章语音信号的同态分析 5.2广义叠加原理图 5.1同态系统的一般表示x(n) y(n) H 图5.2：同态系统的规范形式。同态系统表示成三个子系统（皆同态系统）级联。服从下列的广义叠加原理：式中， 第5章语音信号的同态分析 5.2广义叠加原理图 5.2同态系统的规范形式x(n) y(n) + + + + D L D-1 运算的特征系统运算的特征系统的逆系统 线性系统，决定该同态系统的特性.设计的重点 第5章语音信号的同态分析5.3卷积同态系统卷积同态系统：运算和为卷积运算的同态系统。图5.3：卷积同态系统的规范形式。将卷积组合信号分离，分

5、别处理后，再组合成卷积运算。组成：卷积特征系统（固定特性） 线性系统（与系统性能有关） 卷积特征系统的逆系统（固定特性）第5章语音信号的同态分析 5.3卷积同态系统 图5.3卷积同态系统的规范形式x(n) y(n) + + + + D L D-1 卷积特征系统（固定特性）（图5.4a）：将卷积运算变为加法运算，即：式中， X1(z), X2(z) 分别为x1(n), x2(n)的z变换； 分别为 ln X1(z), ln X2(z)的反z变换。作用：将卷积运算组合信号转换成它们的复倒谱之和。 （复倒谱的定义见下节）第5章语音信号的同态分析 5.3卷积同态系统 图5.4a卷积特征系统构成图x(n

6、) * + + + Z ln Z-1 线性系统 L ：依应用领域的不同要求和复倒谱 的特点设计： 或加强其中之一，削弱另一个信号； 或取出其中之一同时滤掉另一个信号。对 进行线性滤波，即：式中， 经线性系统L 滤波后的输出。第5章语音信号的同态分析 5.3卷积同态系统 卷积特征系统的逆系统（固定特性） （图5.4b）：将加法运算变为卷积运算，即：式中， 为 的z变换； 为 的反z变换。第5章语音信号的同态分析 5.3卷积同态系统 图5.4b卷积逆特征系统的构成图 x(n)+ + + *Z exp Z-1 介绍两种卷积同态系统的典型应用实例： 语音信号分析 解混响。语音信号分析 语音等于激励源与

7、声道冲激响应的卷积（数字模型）： 分析目的：由语音信号估计激励源和声道冲激响应参数。 卷积同态系统适于这种分析。 解混响 混响环境中录音，记录下有用信号和若干回波信号，即： 式中，nk 第 k 个回波相对于有用信号 s(n) 的时延； ak 第 k 个反射系数； 回响特性。第5章语音信号的同态分析 5.3卷积同态系统 仅讨论叠加一个回波信号的简单情况， 相关表达式： 若 n1 小于 s(n) 的持续时间，采用卷积同态滤波器去掉回波。 将上式代人模型式，然后两边求 z 变换后再取对数，得： 两边再求反 z 变换，最后得： 式中， 滤除回波，设计梳形滤波器（特性如图5.5所示）经梳形滤波器过滤，留

8、下信号 ；经图5.4的卷积特征系统的逆系统处理，得到有用信号s(n) 。第5章语音信号的同态分析 5.3卷积同态系统 幅度迅速衰减的冲激序列，相邻冲激之间相隔为n1 。图5.5梳形滤波器特性 h(n) 0 n1 2n1 3n1 n第5章语音信号的同态分析5.4复倒谱和倒谱定义： x(n) 的复倒谱（Cepstrurn）为： 时间序列的复倒谱是时间序列。实序列的复倒谱是一个实的时间序列。复倒谱：也称为复倒频谱或对数复倒谱。复倒谱的英文原文为Complex Cepstrum，Cepstrurn是词，由Spectrum的前四个字母倒置而成。有时，称 所处的时域为“复倒谱域”。定义： x(n) 的倒频

9、谱（对数倒频谱）为 复倒谱：复对数运算；倒谱：实对数运算。倒谱（复倒谱）量纲：quefrency（倒频），新词。第5章语音信号的同态分析 5.4复倒谱和倒谱注意比较复倒谱和倒谱的异同: 定义式：复倒谱 倒 谱 关系式：设 则 一个信号序列经正、反两个特征系统变换后， 复倒谱时，能还原信号序列； 倒谱时，不能还原信号序列。因计算时，丢失相位信息。复倒谱涉及两个待解 决的理论问题， 复对数的多值性； 复对数的解析性。第5章语音信号的同态分析 5.4复倒谱和倒谱复对数的多值性和解析性： x(n) 的 z 变换表示为： 因 ( k 为整数)是周期函数，故有： 即：X(z) 对应于无穷多个 。不满足变换

10、的唯一性。解决办法：取主值，将幅角对取模得到主值相位，即 式中， 表示对求模运算。复倒谱式可改写为： 上式满足唯一性，但单位圆上不是的连续函数， 与 的解析性相违复对数的。第5章语音信号的同态分析 5.4复倒谱和倒谱关于 的连续性：为使 是的连续函数，要求 X(z) 在单位圆上无零、极点。为了避免复对数的多值性，采用了主值相位ARG X(ej)，致使的连续性得不到保证。可在黎曼曲面上，重新定义复对数，幅角在（-,+ ）范围内可以连续取值而无间断点。（细节参见数学教科书）第5章语音信号的同态分析 5.4复倒谱和倒谱第5章语音信号的同态分析5.5类语音信号的复倒谱分析两类序列的复倒谱：有理 z 变

11、换序列、周期脉冲序列。5.5.1有理 z 变换序列一类序列的有理 z 变换： 在单位圆上无零极点。 A 系数，假定为正。 z-r 序列相对于时间原点的延时，假定该项可估计并去掉将上式求复对数，得：（见下页）第5章语音信号的同态分析 5.5类语音信号的复倒谱分析单位圆内的零点， 单位圆外的零点， 单位圆内的极点， 单位圆外的极点， 取对数：对数展开式：利用对数展开式，改写上式为 z 的幂级数的形式， 其系数为逆 z 变换。因此，可得与有理 X(z) 有关的复倒谱：（见下页）第5章语音信号的同态分析 5.5类语音信号的复倒谱分析有理 z 变换序列的复倒谱： 的结论：双边序列，定义(-,+)。 衰减

12、序列， 随 的增大而减小。衰减的速度至少比 快。 故， 比 更集中于原点附近（更具短时性）。用短时窗提取声道响应序列的复倒谱是很有效的。 最小相位序列的复倒谱是因果序列。 若 x(n) 是最小相位序列（零极点均在 z 平面单位圆内）。此时，n0，有值（因果序列）。最大相位序列的复倒谱是反因果序列。若x(n) 是最大相位序列，（零极点均在 z 平面单位圆外）。此时， n 0，有值（反因果序列）第5章语音信号的同态分析 5.5类语音信号的复倒谱分析5.5.2脉冲序列脉冲序列:加权值变化的等间距单位抽样脉冲串 式中，m，k，N正整数，k幅度因子；求 p(n) 的复倒谱：先进行 z 变换若 p(n)

13、是最小相位，假定，利用对数展开式 ，上式改写为：第5章语音信号的同态分析 5.5类语音信号的复倒谱分析对上式进行逆 z 变换，得到复倒谱：上式是间隔 N 个样点的单位抽样无限长右边序列。可证：非最小相位序列，其复倒谱是均匀间隔的双边脉冲串。结论：间隔 N 的冲激序列的复倒谱是间隔为 N 的冲激序列。 第5章语音信号的同态分析 5.5类语音信号的复倒谱分析第5章语音信号的同态分析5.6复倒谱的计算方法计算复倒谱的方法：按定义计算、最小相位序列计算、导数计算、递推计算等。5.6.1按复倒谱定义计算图5.6：用复倒谱定义计算的方框图。 用DFT代替 z 变换。 x(n)是 N 长时间序列， X(k)

14、x(n)的N 点DFT， N 长序列， 由于 是 在一个周期内 N 个等间隔频点的样本， 其逆DFT（IDFT）是 以 N 为周期的延拓序列， 用 表示：第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法图5.6根据定义计算复倒谱的方框图DFTln IDFTx(n) X(k) 由于 是 在一个周期内 N 个等间隔频点的样本， 其逆DFT（IDFT）是 以 N 为周期的延拓序列， 用 表示：图5.6：计算得不到真正的复倒谱，是复倒谱周期延拓。 有混叠失真。 由于 的幅度衰减很快（至少以 的速度衰减）， 当 N 值较大时混叠失真很小。 若 N 值不够大，可在序列后面添加零样本， 以使 能够较好地逼近

15、 。第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法按定义计算复倒谱时需注意问题： (1) DFT、IDFT常用FFT算法，以提高速度。 (2)相位展开。设 则： 幅角主值间断，需恢复瞬时相位 （相位展开），相位展开方法很多； 瞬时相位是的连续函数， 图5.7：主值相位叠加校正相位法。 简单分析，可得下页的校正方法， 推导过程（略）。第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法图5.7相位展开原理图 arg X(k) 0 N/2 k-3 ARG X(k) 0 N/2 k- COR (k) 0 N/2 k-2-4相位展开公式： (3)符号校正。计算复倒谱时，需判明 A 的符号。 计算式为：

16、推导过程（略）。第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法 (4)线性相位的贡献有规律，为简化计算，常将其移去。 方法：得到 X(k) 后乘以 ，即 需确定 r 值，经推导可得（过程略）：综上，按定义 计算复倒谱的 方框图如图5.8。第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法图5.8按定义计算复倒谱的原理性框图x(n) X(k) ARG Xr(k)DFT0.5ln IDFTXr(0)符号相位展开相位校正-2r/N确定r5.6.2最小相位序列的复倒谱的计算信号为最小相位序列时，按定义计算复倒谱法可简化。 设 x(n) 是实最小相位序列，则其复倒谱必为实因果序列。将序列 表示成偶序列和

17、奇序列之和，即：式中，由于 是因果的，即 ；因此，可得 ，式中 可由其偶序列或奇序列（包含 在内）恢复出。第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法设 的Fourier变换用 表示，显然有： 由Fourier变换性质知， 与 构成Fourier变换对。图5.9：给出最小相位序列时的复倒谱计算方法。 各计算式为：式中， 第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法图5.9最小相位序列的复倒谱的计算方法x(n) X(ej) u+(n)DFTln IDFT 注：用DFT计算， 不同于 ， 因而 不同于 。差别： 由连续函数变换得到， 是由离散序列 求IDFT得到的， 是在等间隔频率点上对

18、取样得到， 所以， 是 以周期 N 进行延拓结果，即 必产生混叠失真。由于 随 n 值增加而迅速衰减，只要 N 值选择得足够大， 则混叠失真可忽略。 是近似解。 第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法5.6.3复对数求导数计算法对定义式 的两端求导数并乘以 z，得： 由时域序列的线性加权与 z 域导数的关系及对上式右边用围线积分法求逆 z 变换，得：于是有： 式中，c 是收敛域中的闭合曲线。若收敛域包括单位圆，则有：第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法由于 ，令n = 0，得：综上，计算复倒谱的步骤归纳如下：(1) 计算(2) 计算 (3) 计算 第5章语音信号的同态分析

19、 5.6复倒谱的计算方法在应用中，x(n) 是有限长序列，要用DFT代替Fourier变换。 设x(n)是长为 N 的序列，上面的计算步骤改变如下：(1) 计算(2) 计算 (3) 计算算法避免了计算复对数，代价是产生了更严重的混叠失真。 可证，这种方法的计算结果是： 结论：若精确计算相位特性，用定义法计算复倒谱，性能好。第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法5.6.4递推计算方法上节式 改写成：考虑到 z 变换的关系式 及 z 域乘等于时域卷积的性质，对上式两边取逆 z 变换，得：由上式可导出递推计算方法。分： 最小相位序列的复倒谱递推计算； 最大相位序列的复倒谱递推计算 。第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法最小相位序列的复倒谱递推计算 最小相位序列为因果序列，则 代入上页递推式，得 结合式 ，由上式可解出：第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法最大相位序列的复倒谱递推计算 采用与最小相位的类似推导方法，可得最大相位的 递推公式： 第5章语音信号的同态分析 5.6复倒谱的计算方法mi+mo+1长的有限长序列，其 z 变换为：采用类似的推导方法，可得递推公式