现代控制理论：第1章_控制系统状态空间表达式

1、第1章 控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式1.2 模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）1.4 状态空间表达式的建立（二）1.5 状态向量的线性变换1.6 从状态空间表达式求传递函数阵1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式1.1 状态变量及状态空间表达式经典控制理论：对线性定常系统，用输入输出关系的常微分方程或传递函数描述外部描述；实际系统还包含其它独立的变量，无法描述。现代控制理论中的状态空间分析法：用一组状态变量所构成的一阶微分方程组来描述系统的动态特性，能反映全部独立变量变化内部描述；且可方便处理初始条件；可应用于非

2、线性系统和时变系统、多输入多输出系统及随机过程。本节学习内容及目标学习、理解和掌握状态空间方法的基本概念状态变量(状态向量)状态空间状态方程输出方程状态空间表达式掌握状态空间表达式的书写形式(特别是向量矩阵形式）输入输出关系不同的两类系统 动力学系统：能够储存输入信息的系统。一类系统只要知道输入信息即可获得输出信息(系统的输出和输入之间是简单的代数方程的关系）；另一类系统除了输入信息外，还必须知道系统的一组初始信息才可获得确定的输出信息(输出和输入之间的关系通常用微分方程描述)，这组初始信息是初始时刻以前系统所存储的输入信息的体现。1、动力学系统的状态、状态变量 所谓动力学系统的状态，是指完全

3、地描述(表征)系统时域行为的一个最小变量组，该变量组中的每个独立的变量称为状态变量，通常用 xi(t) (i=1, 2, 3, .）来表示(简写为 xi ) 。该变量组写成向量形式时称为状态向量。所谓完全描述，是指如果给定这组状态变量在初始时刻t = t0时的值，以及输入在t t0时的时间函数u(t)，那么系统状态在tt0的任意时刻的时域行为 xi(t) 都能够完全确定。所谓最小变量组，是指可完整描述系统时域行为的这个变量组中的变量最少，即变量之间相互独立(满足线性无关条件：任一变量不能被其它变量线性表示)。系统建模时如何确定独立状态变量的个数？对于n阶微分方程描述的系统，通常只需n个独立变量

4、即可完整描述系统。即：当该组变量t = t0初始条件已知时，在给定tt0时刻的输入作用下，便能完全确定系统在任何tt0时刻的行为。这n个独立变量可选为系统的状态变量。(单输入单输出系统传递函数存在零极点相消时，独立变量少于n个，属于特殊情况)对动力学系统，其微分方程阶数由独立储能元件个数决定，则：独立状态变量个数 = 独立储能元件个数。关于最小变量组：系统独立状态变量的个数若系统状态包含n个独立的状态变量 x1(t), ., xn(t)，将这些状态变量作为分量写成向量形式 x(t)，则称为状态向量(或状态矢量)；2、状态向量(状态矢量)、状态空间、状态轨线状态空间中的任一点代表各个状态变量在某

5、特定时刻下的一组特定值，即系统在某时刻t的特定瞬时状态x(t) 。随着时间推移，各瞬时状态在状态空间中可连成一条轨迹，称为系统的状态轨线，也称为系统的运动轨迹。以n个状态变量 x1、x2、.、xn为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间。状态方程是指由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，体现状态向量变化率与状态向量x及输入向量u的函数关系：输出方程：体现系统输出y与状态向量x及输入向量u的函数关系：状态方程与输出方程综合起来即为系统的状态空间表达式。3、状态方程、输出方程和状态空间表达式若用 u(t) 表示系统输入(信息)，用 y(t) 表示输出(信息)，则： 状态空间表达式是现代控制理论中用于描

6、述控制系统数学模型的重要手段，也是状态空间分析法的数学基础。 输入u和输出y均为标量；各个状态变量(分量)为x1, x2, ., xn，则状态空间表达式可写为（aij、bi、ci均为常系数）：A：nn维方阵，b：n1维，c：1n维，d：11维(标量)(1)单输入单输出定常系统(SISO)状态空间表达式状态方程输出方程(2)多输入-多输出定常系统（r个输入，m个输出）“状态空间表达式”向量矩阵形式书写练习：关于状态空间表达式的几点说明系统的状态与系统的输出：两者在概念上不同，前者是完全描述系统动态行为的一组变量信息，后者是人们希望从系统中获得的结果信息。通常，输出是关于状态的函数(在线性系统中，

7、输出常常是状态向量中某一个分量或几个分量以及输入量的线性组合）。对于系统输出，通常要求是物理上可以测取的，而状态变量则不要求一定是可以测取的(而且通常是不能完全测取的)；但在工程实践中，为便于构造状态反馈，应尽量选择物理上易于测取的变量作为状态变量。对于仅描述输出与输入关系的动力学系统(以微分方程或传递函数描述)，其状态变量的选取具有非唯一性。这种非唯一性是由系统结构的未知性或不确定性造成的。对同一系统，状态变量选取不同，状态空间表达式也会不同(实现的非唯一性)。 4、状态空间表达式的系统框图单输入单输出系统多输入多输出系统 信号传递：单线箭头：标量双线箭头：向量1.2 状态空间表达式的模拟结

8、构图 在状态空间分析中，采用模拟结构图来反映系统中各个状态变量之间的信息传递关系；模拟结构图是一种以方块图形式简化表示的系统框图，可用于描述系统的状态空间表达式。本节学习内容及学习目标：1、理解模拟结构图的作用；2、学习和掌握模拟结构图的绘制方法(三种情形：根据系统的微分方程、状态空间表达式或传递函数绘制模拟结构图)。积分器加法器比例器 模拟结构图：用于反映系统内部各状态变量之间信息传递关系的框图。 系统模拟结构图由积分器、加法器、比例器这三种基本部件组成。 模拟结构图不仅可直观反映状态变量之间的信息传递关系，也是一种建立系统状态空间表达式的有效方法。 单输入系统(u) 一个独立状态变量(因其

9、为一阶系统) 若取状态变量 x1 = x，则右图为描述系统状态变量传递关系的一个模拟结构图。系统模拟结构图11.根据系统的微分方程绘制模拟结构图系统模拟结构图2x1x2x3例2：已知系统高阶微分方程 单输入系统(u) 3个独立状态变量(3阶系统)变换为：选择状态变量系统模拟结构图其它模拟结构图形式？例3：已知单输入单输出系统的状态空间表达式如右所示：系统模拟结构图2.根据系统的状态空间表达式绘制模拟结构图单输入：u单输出：y状态变量： x1 ， x2 ， x3例4：已知某个多输入多输出系统的状态空间表达式如右所示：系统模拟结构图两输入：u1，u2两输出：y1，y2状态变量： x1 ， x2关于

10、模拟结构图的绘制方法总结 根据系统的状态空间表达式或微分方程(组)绘制模拟结构图的步骤： (1)确定系统的输入、输出以及各个状态变量； (2)确定积分器的数量(通常由状态变量个数或高阶微分方程的阶数决定)； (3)绘制积分器，并确定各状态变量在积分器后的位置； (4)根据系统的状态空间表达式或微分方程(组)，完成其它部分(加法器、比例器、信号流等)。 微分方程模拟结构图：不唯一(同一系统，状态变量选取方法不唯一不同选取方法下的模拟结构图可能不同)； 状态空间表达式模拟结构图：唯一(状态变量已确定，故模拟结构图只有唯一形式)。 如何根据系统的传递函数绘制模拟结构图？对于一维标量微分方程：若取系统

11、输出为x，则上述微分方程所描述系统的传递函数为：因此，对于该传递函数所描述系统，可用上述模拟结构图表示其状态变量的信息传递关系(此时所选的状态变量x恰为系统输出)。按前述方法，若取 x 为状态变量，则其模拟结构图如图所示：推导基础：模拟结构图所体现的系统输出与输入之间关系能够反映原传递函数！利用前述分析结果：(1)对于积分环节(传递函数如下)，可用如右所示模拟结构图描述(系统的输出为状态变量x)：微分方程为：(2)对于一阶惯性环节(传递函数如下)，可用如右所示模拟结构图描述(系统的输出为状态变量x)：微分方程为：注意：由传递函数绘制模拟结构图，结果同样不是唯一的。负号也可移出三种途径:1、由系

12、统的结构图写出(即根据系统各环节的连接情况通过结构图的等效变换建立状态空间表达式);2、根据系统的物理或电路机理进行推导得到;3、由描述系统运动的微分方程或传递函数推导得到(主要针对单输入单输出系统)1.3/1.4 状态空间表达式的建立本节学习内容及学习目标: 理解与掌握上述三种建立系统的状态空间表达式的方法。途径1：结构图等效模拟结构图选择每个积分器的输出作为状态变量(积分器的输入即是该状态变量的变化率)写出系统的状态方程和输出方程。各环节等效变换分别选择三个积分器的输出作为状态变量x1, x2, x3教材例1-1例1例1-1 根据结构图建立状态空间表达式分别选择三个积分器的输出作为状态变量

13、x1, x2, x3，则有：例1对于含零点的环节,先将其展开为部分分式之和：分别选择三个积分器的输出作为状态变量x1, x2, x3教材例1-2例2例1-2 根据结构图建立状态空间表达式分别选择三个积分器的输出作为状态变量x1, x2, x3，则有：例2 根据系统的结构图或模拟结构图建立状态空间表达式的基本步骤： (1)利用合理方法(如将复杂环节分解为简单环节的和式或乘式)，先将结构图转换为等效的模拟结构图(由积分器、加法器、比例器等组件构成)； (2)选择积分器的输出作为状态变量，再根据模拟结构图中状态变量间的信息传递关系写出系统的状态空间表达式。 注意：必须先在模拟结构图中标注出各个状态变

14、量(x1, x2, ., xn)的位置(即确定各个积分器后的状态变量)后再书写状态空间表达式；因为状态变量选取的位置不同，得到的状态空间表达式的系数矩阵(A、B、C、D)也可能不同。小结尤昌德教材例1-5途径2：从系统的机理出发建立状态空间表达式(KVL)(KVL)(KCL)整理得系统的状态空间表达式例1若选i1、i2分别为输出y1、y2 ？尤昌德教材例1-7(牛二定律) 系统输入u=f，选择弹簧拉伸量y和质量块速度v为状态变量，即：x1=y，x2=v；设输出为弹簧拉伸量y，则：fKfB例2v教材例1-3整理得：分析系统，得：K2的拉伸量=？作用于B2的速度=？例3教材例1-3(续）系统状态方

15、程写成向量矩阵形式：若指定x1(M1位移)和x2(M2位移)分别为输出y1和y2，则输出方程：若指定x2 (M2位移)和x4 (M2速度)分别为输出y1和y2，则输出方程：例3教材例1-4向量矩阵形式： J为刚体转动惯量; T为外部作用力矩; K为扭转轴弹性系数; B为粘性阻尼系数;例4教材例1-5R为电枢回路电阻；e为电机的反电动势；Ka和Kb分别为电机的转矩常数和反电动势常数；B为粘性摩擦系数；J为刚体转动惯量；为刚体的转速。整理得：即：系统的状态空间表达式例5教材例1-5(续)例5若指定刚体旋转角度为输出？尤昌德教材例1-6例6即：指定v1和v2为输出，则：尤昌德教材例1-6(续)例6

16、根据系统机理建立状态空间表达式的一般步骤： 1.合理选择相关物理量作为状态变量。经验做法：选择储能元件上的物理量，如电感上的电流、电容两端电压、质量块的速度、弹簧的位移、刚体的旋转速度、扭转轴的旋转角度等，因为可以较容易建立这些物理量的一阶微分方程(从而建立状态方程)。 2.确定输入，并建立状态变量的一阶微分方程组：目的是找出各状态变量的导数与各状态变量和输入间的函数关系。小结 注意：对于某些特殊情形，独立状态变量的数量不一定等于储能元件数量，需具体问题具体分析。途径3：由系统的输入输出关系(微分方程或传递函数)建立状态空间表达式注意：并非任意微分方程或传递函数都能建立其实现。对给定传递函数W

17、(s)，系统实现存在的充要条件为mn： (1) 当m状态空间表达式/实现(不唯一) 传递函数无零点的情形：两种实现的推导及具体结论(教材中只给出一种实现的结论，本课件补充一种) 传递函数有零点的情形：两种实现的推导及具体结论(与教材结论相同) 多输入或多输出系统(本节仅讨论简单系统推导)： 微分方程组/传递函数阵状态空间表达式/实现(不唯一) 简单系统的推导（本节内容） 多输入或多输出系统的状态空间表达式建立(相关结论)在第三章学习基于系统的输入输出关系建立状态空间表达式(1)传递函数无零点时的实现(第1个结论，教材):模拟结构图推导xnxn-1x3x2x1若取 y/b0 及其各阶导数（1 n

18、-1阶）作为各个积分器的输出，由系统微分方程可绘制系统的模拟结构图如下：可取各个积分器的输出为状态变量，如图所示。写成向量矩阵形式:写成矩阵形式:(1)传递函数无零点时的实现(第1个结论，教材)：数学方法推导(n-1)(n-1)单位阵 友矩阵(2)传递函数无零点时的实现(第2个结论:补充)：模拟结构图推导xnxn-1x3x2x1若取输出y及其各阶导数（1n-1阶）作为各个积分器的输出，可得系统的模拟结构图如下：可取各个积分器的输出为状态变量，如图所示。写成向量矩阵形式:(2)传递函数无零点时的实现(第2个结论：补充)：数学方法推导小结I：传递函数无零点时，建立系统状态空间表达式的两个结论第2个

19、结论:第1个结论:关于d阵： d = 0前提：分母多项式为首一多项式(3)传递函数有零点时的实现：教材第1个结论的推导过程为分析方便，又不失一般性，先从三阶微分方程着手研究：教材P26：图1-14(3)传递函数有零点时的实现(三阶系统)：教材第1个结论推导(续)(3)传递函数有零点时的实现(三阶系统)：教材第1个结论选择各个积分器输出作为状态变量，则有：传递函数有零点时的实现(推广到高阶系统) ：教材第1个结论可化为bn与严格真分式之和(后者可确定C阵元素)传递函数有零点的实现:2阶系统推导过程,尤昌德教材(自学内容)传递函数有零点时的实现:2阶系统推导过程(续,自学)传递函数有零点时的实现:

20、2阶系统结论(自学内容)写成矩阵形式:传递函数有零点时的实现:高阶系统结论(分母多项式不须首一)(自学内容)(4)传递函数有零点时的实现：教材第2个结论(模拟结构图推导)(4)传递函数有零点时的实现：教材第2个结论的推导(续)i=?(4)传递函数有零点时的实现：教材第2个结论推导(续)由图(b)得：i的推导(根据图1-16b)方框图等效变换(4)传递函数有零点时的实现：教材第2个结论(续)比较同类项，可得：的推导(根据图1-16b)或(4)传递函数有零点时的实现(3阶系统结论)：教材第2个结论补充内容：利用图1.16 a)推导待定系数的求解公式(自学内容)以上微分方程整理可得：补充内容：利用图

21、1.16 a)推导待定系数的求解公式(自学内容)(4)传递函数有零点时的实现(高阶系统结论)：教材第2个结论式中，i与bi 的关系为：传递函数有零点时，建立状态空间表达式有两种结论可用：小结II第1种结论:第2种结论:关于d阵： 若bn0，则d0； 若bn0，则dbn。应用结论时传函需满足前提条件：分母多项式化为首一多项式。无零点是有零点的特例x2x1x3(1)模拟结构图推导方法2、多输入-多输出系统微分方程的实现例:教材3032页选择各积分器的输出作为状态变量x1，x2，x3，易写出系统的状态空间表达式多输入-多输出系统微分方程的实现(续)(1)模拟结构图推导方法(续)即：(2)多输入-多输

22、出系统微分方程的实现(数学推导方法)(2)多入多出系统的实现(数学推导方法):续 根据多入多出线性定常系统的微分方程组建立状态空间表达式的基本方法： (1)将各输出的最高阶导数写在等号左边，其余项移到等号右边，并将右边的项按导数的阶次分别归类； (2)对等式两边取积分(积分次数与等式右边的最高阶导数的阶次相同),使等式左边的项变为输出的原函数； (3)整理等号右边的多重积分形式，将所有导数项变为原函数形式或原函数的积分形式； (4)考察各重积分项，按积分重数从高到低顺序，逐个将不同重数的积分选为状态变量，则可写出各个状态变量的一阶微分方程，以及各个输出分量的方程，从而可得到系统的一个状态空间表

23、达式。小结III1.5 状态向量的线性变换(坐标变换)本节学习内容及学习目标：1、理解和掌握有关的概念：线性变换(非奇异变换)；系统的特征值、特征多项式、特征方程及系统的不变量；系统特征值对应的特征向量；约当块、约当矩阵、约当标准型。2、掌握求取系统特征值及特征值所对应特征向量的方法；3、学习和掌握建立具有约当标准型的状态空间表达式的两种方法：(1)构造合适的变换阵，对原状态空间表达式进行线性变换，从而获得约当标准型；(2)根据传递函数特点，采用并联型实现，从而获得约当标准型(也是一种建立实现的方法)。一.系统状态空间表达式的非唯一性：对一给定的线性定常系统，通过选取不同的状态变量，系统的状态

24、空间表达式有多种形式。不同状态空间表达式的状态向量之间实际为线性变换关系。如何求？二.系统的特征值、系统的不变量及特征向量1.系统的特征值：即系统矩阵A的特征值，也即特征方程det(IA)=0的根；det(IA)为系统的特征多项式.2.系统特征值的不变性:线性非奇异变换不改变系统特征值 特征多项式的系数a0, a1, ., an-1称为系统的不变量。3.矩阵的特征向量(与矩阵的特征值有关) 对同一特征值i ，满足上述定义的特征向量pi不唯一；在这些特征向量构成的特征向量组中，特征向量个数最多且满足线性无关条件的一组特征向量，称其为i的独立特征向量组。 对于给定特征值i ，其最多有K= n -

25、Rank(i I - A)个独立特征向量能够构成一个独立特征向量组。为便于叙述，有时将独立特征向量组中的特征向量的个数K简称为该特征值的独立特征向量个数，或简称该特征值只对应K个独立特征向量。 若i为单重根，则其独立特征向量个数必为1；若为重根(设为q重)，则其独立特征向量个数可能范围为1q，由前式决定。例1-9续注：特征向量pi 不唯一！但独立特征向量组的最大向量个数是确定的.三.状态空间表达式的约当(约旦，Jordan)标准形约当矩阵：由一个或若干个约当块组成的(准)对角线矩阵。约当块：具有如下形式的矩阵约当矩阵：具有如下形式的矩阵其中Ji (i=1,.,m)为约当块如：如：约当矩阵范例(

26、两种形式：对角线形式和准对角线形式)(1)是否为约当矩阵？约当块数量？矩阵的特征值？各特征值对应的独立特征向量的数量？矩阵所有独立特征向量总数？可从约当矩阵中直接观察得出！ 若A阵为约当矩阵，则有如下结论：A阵的特征值即为主对角线上元素(部分特征值可能有重根)；A阵各个特征值的独立特征向量个数等于该特征值在A阵中对应的约当块数量；A阵的独立特征向量总数等于A阵中的约当块总数。三.将状态空间表达式变换为约当标准型(对角线标准型)(1)当A阵的特征值1, 2, ., n互异时，必存在一个非奇异阵T，使得线性变换后的系统矩阵J为对角线矩阵：约当标准型：系统矩阵A具有约当矩阵形式的状态空间表达式。通过

27、选择合适的非奇异变换阵可将非约当标准型变换为约当标准型。对角线矩阵J的主对角线上的元素即为系统的特征值1, 2, ., n。(2)当A阵的特征值有重根，且每个重特征值只对应一个独立特征向量时，必存在一个非奇异变换阵，使得线性变换后的系统矩阵J具有约当矩阵形式。例：若系统的特征值1为q重(且对应一个独立特征向量)，其他n-q个特征值q+1, q+2,., n为单重 (互异)，则其约当阵形式为：qq维J主对角线元素为各特征值；q重特征值i 对应一个qq维的约当块；若存在多个重特征值且它们都只对应一个独立特征向量，则这些特征值在J阵中都只对应一个约当块(约当块维数与该特征值重数相当)。状态空间表达式

28、变换为约当标准型的方法：1、A阵为任意形式时(1) 若A阵的各特征值互异特征向量在T中的顺序决定其对应特征值在J阵对角线上的位置关键在求取非奇异变换阵T！pi不唯一，且顺序任意，故T不唯一，故变换后的A,B,C可有多种！例1-9,例1-10直接写出，无需计算例1-10续若改变T阵中特征向量pi的顺序，线性变换结果有何变化？pi不唯一，若选另一pi ，对变换后的A,B,C的影响？(2) A阵存在重特征值时(且重特征值只有一个独立特征向量情形)注意：T阵中各特征向量顺序与变换后J阵在形式上的对应关系.对应于重根1的q个特征向量对应于单根q+1,., n的n-q个特征向量T不唯一！例1-11p1、p

29、2、p3不唯一！例1-11(续)(1)若令T=p3 p1 p2，可否得到约当阵J？(2)若令T=p1 p3 p2，可否得到约当阵？尤教材p46例变换阵T的求法(续):2.A阵为友矩阵时：(1)若系统特征值两两互异，可选如下变换阵:称为范德蒙阵线性变换后的J阵为：各特征值在J阵对角线上的位置与其在范德蒙阵中的位置有关！例1-10求导后除以阶乘.变换阵T的求法(续):2.A阵为友矩阵时：(2)若A有重特征值:设1为q重特征值且对应一个独立特征向量，其余特征值q+1, q+2,., n为单重根，则变换阵T为：各特征值在J阵对角线上的位置与其在范德蒙阵中的位置有关！线性变换后的J阵为：例1-11四.系

30、统的并联型实现：约当型实现1.当系统的n个极点(特征根)互异时：(1)并联型实现之一根据实现一的模拟结构图等效变换1.当系统的n个极点(特征根)互异时：(1)并联型实现之二尤教材例1-152.系统极点(特征根)有重根时的并联型实现教材图1.192.系统极点(特征根)有重根时的并联型实现1.6 从状态空间表达式求传递函数(阵)本节学习内容及学习目标：1、学习和理解传递函数阵的概念。2、学习和掌握根据系统的状态空间表达式求传递函数(阵)的方法；3、学习和掌握根据子系统联接情况求取组合系统的传递函数(阵)的方法；多输入多输出系统的传递函数矩阵：0 ，1 n均为mr矩阵尤教材例1-24两子系统输入维数相同、输出维数相同二、 两子系统联接时的传递函数阵 1.并联联接W1(s)W2(s)1.两子系统并联联接(续)W1(s)W2(s)组合系统的状态空间表达式：2.两子系统串联联接W1(s)W2(s)组合系统的状态空间表达式：子系统W1输出维数与子系统W2输入维数相同2.