数字信号处理与DSP器件：第11章 DFT和FFT处理

1、第11章 DFT和FFT处理DFT基础与傅里叶变换关系与傅里叶级数关系DFT窗效应频谱图FFT基础discrete Fourier transform (DFT) 离散傅里叶变换inverse DFT 逆离散傅里叶变换phase spectrum 相位频谱frequency spacing频率间隔resolution分辨率smear模糊spectral leakage 频谱泄漏spectrogram频谱图fast Fourier transform (FFT) 快速傅里叶变换butterfly 蝶形11.1 DFT 基础DTFT定义所需采样点是无限的，在计算机上无法实现DFT定义输入和输出个数

2、都等于N幅度频谱是偶函数相位频谱是奇函数二者都是周期函数，周期为NIDFT逆变换也具有N为周期的周期性。FIGURE 11-1 Relationship between DTFT and DFT, signal and IDFT.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 11-1 Relationship betw

3、een DTFT and DFT, signal and IDFT.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 11-1 Relationship between DTFT and DFT, signal and IDFT.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signa

4、l ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 11-1 Relationship between DTFT and DFT, signal and IDFT.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jers

5、ey 07458All rights reserved.当它们对同一组采样值进行运算时，必有：当K从0-(N-1)时，相应数字频率从0- 那么，DFT的前N个点覆盖了0到采样频率fs之间的模拟频率。Review Correlations of sequencesIt is a measure of the degree to which two sequences are similar. Given two real-valued sequences x(n) and y(n) of finite energy,CrosscorrelationAutocorrelationThe index

6、 l is called the shift or lag parameter.The special case: y(n)=x(n)由欧拉恒等式：信号与正弦越相关，频谱分量就越大。DFT的每个分量可看成是窄带滤波器的输出，窄带滤波器中心位于 弧度。DFT整体可看成是由窄带毗邻滤波器构成的滤波器组。Crosscorrelation频率采样点以fs/N为间隔，该频率间隔被称为DFT的分辨率，因为它描述了DFT分辨相邻信号频率的程度。频率间隔越小，分辨率越好。DFT频率间隔=DFT分辨率=fs/N假定采样频率保持不变，当采样点越多时，DFT分辨率越好。DFT分量Xk位于以下频率处：K=0到k=N/

7、2的DFT点携带了DFT全部必要的幅度和相位信息。其余点只是基带重要信号频率的镜像副本，是采样的人为结果。例：为了强调DFT的滤波器组解释。下图给出了两个40秒的余弦波，这两个信号叠加并与随机噪声一起构成了信号x(t)该信号实质上包含了两个主要的频率成分1/16Hz和3/8Hz,现以fs=6.4Hz进行采样。采样信号中两个主要频率分量的数字频率为： FIGURE 11-9 Two cosine signals for Example 11.4.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by

8、 Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 11-11 First 16 DFT frequency components of Example 11.4.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.F

9、IGURE 11-13 DFT magnitude spectrum from k = 0 to k = N/2 for Example 11.4.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.由于dft可看成是一组毗邻窄带滤波器，每个滤波器以数字频率 弧度为中心，因而频谱峰值应位于 k=2.5和k=15处。由于k 必须是整数， k

10、=2.5处的峰又分为k=2和k=3处的两个小峰。频谱后半部分的峰是基带频率的镜像。DFT不能超过分辨率所允许的范围而去准确定位频率。当DFT中没有频率与所分析信号的重要频率相符时，DFT就导致了真实频谱的模糊。DFT并不区分周期和非周期信号。但有助于揭示信号是否具有周期性。非周期信号的DFT频谱包络将呈现大小变化以及间隔变化的许多凸起，但没有清晰的尖峰。周期信号的幅度频谱中固定间隔上有确定的窄的尖峰。与傅里叶变换的关系傅里叶变换给出了模拟信号的频谱特性，不受采样和量化的影响，计算中需要准确的信号数学函数，多数情况下难以实现数字域傅里叶分析的目的是尽可能的逼近傅里叶变换所给出的信息DTFT提供了

11、模拟信号采样形式的频谱信息，但受频谱混叠和量化等误差的影响DFT只是获得DTFT采样形式的适合处理器的方法,DFT也接近原始傅里叶变换FIGURE 11-28 Deriving the DFT from the Fourier transform.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 11-28 Derivin

12、g the DFT from the Fourier transform.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 11-28 Deriving the DFT from the Fourier transform.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal P

13、rocessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 11-28 Deriving the DFT from the Fourier transform.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458A

14、ll rights reserved.DFT计算的三个主要步骤: 1时域采样 2时域加窗 3频域采样例:一段音乐以44.1kHz进行采样,DFT窗的长度为23.22毫秒.求:窗内将有多少个时域采样点?这些时域采样点将产生多少个DFT采样值？DFT的分辨率是多少？与傅里叶级数的关系定义式完全相同实质区别仅是解释不同DFS分析的是自然的周期信号DFT分析的是周期或非周期信号的加窗部分，不过它的IDFT总是周期的周期信号的幅度频谱用这两种方法计算过程和结果都相同DFT窗效应当所研究的信号是时不变信号，而且采样频率一定时，用长的窗可以给出非常准确的信号频谱，DFT分辨率尽可能小时，模糊会最小如果信号的

15、特性随时间变化，长的窗可能会使计算结果发生混淆DFT处理数字数据，不可避免地将出现由采样引起的频谱混叠和量化误差加窗是DFT误差的另一主要来源FIGURE 11-31 Ideal magnitude spectrum for pure sinusoid.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 11-32 Spec

16、trum of sinusoid using rectangular windows of different lengths.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.对于特性不随时间变化的信号，窗口越长对频谱的近似越好对一定的采样频率，窗加长，DFT的分辨率改善，标志正弦频率的峰变窄；而窗口越短，峰越宽所有对数频谱表明旁瓣值

17、大约比主峰值小13dB.这些旁瓣就是频谱泄漏的实例窗函数的边沿越陡峭，泄漏越大频谱泄漏有时又称为振铃它是由采样信号的频谱和窗的频谱卷积引起的可用边界平滑的窗来减小振铃FIGURE 11-33 Spectrum of sinusoid using nonrectangular windows.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserve

18、d.加窗没有使得频谱峰变窄，事实上反而将其加宽了，但它们极大的减小了峰两边的频谱泄漏要使峰变窄，可用能集合大量采样值的更长的窗口FIGURE 11-34 Approximation to ideal cosine spectrum.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.当旁瓣比主瓣值至少小40dB时，才可获得清晰正弦峰的较好

19、近似11.5 频谱图单个DFT只能提供信号的有限信息，更有帮助的是DFT的集合，每个DFT给出不同时间间隔的信息频谱图就是这样的集合它是频谱对时间的图形FIGURE 11-36 Spectogram of “Mary Had a Little Lamb.”Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved. 图中每一个竖段包含了时间上的一个窗的DFT幅度幅度越大显示越黑，幅度越小显示越浅每一间隔中的最低频率处的条纹为基频各间隔中基频上方等间距的条纹为其他谐波11.6 FFT基础FFT与DFT的输出相同，但运算量要小得多最常用的FFT是基2时域抽取法FFT.这种FFT的基本原理是将一个N点的计算分解为两个N/2点的计算，每个N/2点的计算在进一步分解为N/4点的计算，