研究生线性系统理论

1、2014级研究生线性系统理论作业2015.03已知系统的状态方程为0 1 0 0 1? 10 01 02 30 000 x +1100 u22求2个不同的反馈阵 K,使得系统的特征值为：-43j, -54j ;通过仿真结果说明，取不同反馈阵 K值时，系统的阶跃响应情况。解： 由于rankB AB A2B=4可知系统完全能控。方法一：使用直接算法求解反馈阵k：首先求取系统的特征多项式Ms)=det(sI-A)=sM-2*sA3-sA2-6*s-6.* 一一 _ _ _ _ _ _ . _ _二(s)=sA4-18*sA3-146A2-578*s-1025.p=2；1令 b=Bp=0;0;4;2

2、TOC o 1-5 h z 64003210640P=A b A b A b b*1 0 0 0; 1 0 0; a2 a31 0;的 ”2 31= 0064N 2-42 _0.1866 -0.1045 0.0299 - 0.0597 -0.0299 0.1567 -0.0448 0.0896 c-1 = P 0.0448 0.0149 0.0672 -0.1343-0.0672 - 0.0224 0.1493 0.2015_K=“0*-如 ”1*-“1 ”2*-“2 ”3*-a3P-1=-178.455215.0149-356.9104 30.0299 -33.8657 51.7313K1=

3、pk=_-178.4552 15.0149 -16.9328 25.8657方法二：龙伯格能控规范型法：B AB A2B A3B=b1 b2Ab Ab2 A2b1 A2b2 A3b1 A3b2= 0 0001202基于此，组成预变换阵 P-1并且求出P,有-16.932825.86570 0122 1012210 5 2221052218660012414P-1=b1 Ab1 A2b1 A3b1=0012012512518P=一味P2P3Pl2-1.5I 2-0.5-21-310-0.500-1000.5由此，导出变换矩阵 S1及其逆S,有s-1=-P4-P3P2-0.51I 0J-00100

4、0010.50001 0 00 1 00 0 11 0 00g 10推出S=02从而，可以定出给定系统状态方程的龙伯格能控标准形为:0 10 010 0 10a=sas=0 0 0 1f 6 1 2_01a 00B=S B=00一12 一由此可得状态反馈阵 K为：200 _对此有 * 1031 584 147K= 一二。， -：-1,:-2 -：-2,:-3 -： 3 L TOC o 1-5 h z _ 000最后，对原系统确定实现指定特征值配置的状态反馈阵K2。1 68.5 147 20 515.5 K2=kS = I HYPERLINK l bookmark40 o Current Doc

5、ument ：0000已知系统的状态方程为-2 0 0 1-1*= 101 x+0u, y = H -1 0 xJ -2 -2JJ J求能控标准型和能观测标准型；求等价状态方程，使所有状态变量的最大值几乎等于输出的最大值；若要求所有信号在阶跃响应时的最大值在10以内，确定阶跃函数允许的最大幅值a,并用仿真曲线验证结果的正确性。解：首先求取系统的特征多项式:det(sI-A)=s3+4s2+6s+4和一组常数：B2=cb=1B1 =cAb+ a2cb=0Bo=cA 2b+ a2cAb+ oci cb=-2则系统的能控规范型为： TOC o 1-5 h z 010010Ac=001= 001-01

6、a0%c(24 64Bc=Cc=：0：1-2 1= 1-2 0 1 1系统的能观测标准型为:0 0-4A0=Act= 1 0 -60 1 -4_一-21B0=cC= 0J 一C0=BcT= b 0 i1绘制各变量及输出的阶跃响应如图12可知 max(|y|) = 0.55 , max(|x1|) =0.5 , max(|x2|)=1.05 , max(|x3|)=0.5 。三.已知系统的状态方程为 TOC o 1-5 h z 2 11 HYPERLINK l bookmark9 o Current Document x=| x+| u y = H1】x 1一112，求状态反馈阵K,使极点配置在

7、 -1,-2；若状态不能测量，为实现状态反馈，设计全维状态观测器，极点为-22j ;若状态不能测量，为实现状态反馈，设计降维状态观测器，极点为-3;计算上面3问所得系统的传递函数，由计算结果可以得到什么结论？解：已知观测器的特征多项式为：&s)=s2-3s+3.观测器期望特征多项式 ：；(s)=s 2+3s+2变换阵P=Ab b*11。=；4 1 I； 11/2-30=J 1111-5 2一10.2857 -0.1429 1P- = I:0.7143 0.1429 _状态反馈阵 k= a 0- 00, a 1- ociP 1 = 4 1 .观测器期望特征多项式为 a (s)=s 2+ oci

8、s+ 00 =s2+4s+8令 L=J; 0*=-12;19A-LC=14 13_-20 -18x x 14 13 1x ；4 I ；1 I 所以全维状态观测器 x =(A-LC)x +Ly+Bu= 1 20 1gJx+ |gJy+ ju TOC o 1-5 h z .令 PC;R=，1 P-11|0 101-1 -111A=PAP1 =/ 2B=3;2由于配置期望的特征值为-3,定出-3=( A22 - L A12 )L =5.A22 - L A2 =-3A21 - L A11 =6(A22 - L A12 ) L +( A21 - L A11 )=-9B2-L B1 =-13降维观测器为Z

9、 =-3Z-9y-13uX 的重构状态为：X =Q1y+Q2(Z+Ly)=| z 4ylIL z 5y(4)计算可得上述系统的传递函数的分子均为3S-4,可知状态反馈不改变系统的零点配置。四.已知系统的传递函数阵G(s) =s2 +13sI s + 2丁2s+1 I2s2MATLAB验证结果的正确性。1s2 1解：由题可知:G(s)=N(s)D1(s)=_s(s 2)2s + 1s3*2s _ 一02s012s(2)根据传递函数，由 matlab函数minreal求出系统的最小实现为:-0.25320.5028-0.013870.2009-0.6357A=0.00780.05237-0.083

10、530.47820.13150.1922B= 2.8220.1004-0.13422.2990.5862 0.3653 0.8049C二 | 0.4092 0.4155 0.8859_D=0;五.已知系统的状态空间模型为-2 -2.5 -0.51一1一A= 100 ,B= 0 ,C = 0 1.5 1,D =0.010 J -0试求：系统的脉冲响应和阶跃响应；在初值X犬态为x(0) = 1 0 2的条件下，输入u(t)状态变量的响应曲线。0.50MtM2t 2时,epnk乏(1)如图所示3S系统在此条件下的I回应曲城time/s sec)六.系统状态方程为000 gi00000029.401一

11、0101x + u100 一支y -|0采用Simulink构造系统的仿真模型，分析系统的稳定性；采用状态反馈使系统的调整时间3s ,阻尼比0=0.5,在Simulink中验证设计结果。解：(1)如图所示:系统的两个输出全部发散。,4 -ln 1 - 2(2).由 ts小二 n=3s当误差为2%。、一，,1 .1 -2王导极点为：Si S2=-自主 j 71 / =-1.39 j 2.41TT取次要极点为：S3,S4=-7 j 2.41(S)=S 4-也 S25a(S)=S 4+16.78S 3+101.5S 2+260.7S+424.2-1P=A3b A2b A1b b* %2IL二 100

12、10二 31-2-30-29.40-29.4001 00 13 00 3求得状态反馈阵:K= 00 - 0C0 0C1 - 0C1 22 - 22 03 - O3P 1=-14.4490-8.867328.84978.5491一 014.4490A-BK=043.34691008.8673-28.8497-8.549100126.6020 -57.1490 -25.6473仿真如图所示:七.PWM变换器-直流电动机调速系统结构图如下:其中，直流电动机（它激）的额定参数为：R =17kW,nN =1500r/min, IN =90A,UN =220V，电势常数 Ce=0.1377V min/r

13、,转 矩常数Cr =1.3147N m/A,允许过载倍数 九=1.5。PWM控制与变换器的放大系数 Kpwm =86.8,开关周期Tpwm =0.1m10“s。电枢回路 总电阻R=0.45C ,电枢回路电磁时间常数 T1a =2.1M10,s。系统总飞轮惯量 GD2为： 2 22.8 N m 。图中，Ud为PWM装置输出理想空载电压（ V）； Id为电枢回路直流电流（ A）； n为 电动机转速（r/min ）; TL为负载转矩（N m）； uc为PWM控制器的控制电压。采用状态反馈加积分器校正的输出反馈系统，要求系统满足如下性能指标：超调量8 8% ,调节时间ts 0.3s,当负载转矩阶跃变化

14、时，系统跟踪阶跃输入信号的稳态误差 为零。（1）设计状态反馈增益矩阵和积分增益常数，并在Simulink中建立控制系统动态仿真模型，对系统的动、静态性能进行仿真分析；（2）设计对状态向量进行估计的全维状态观测器以实现状态反馈，并保证控制系统的性能 满足要求，在Simulink中建立采用状态观测器实现状态反馈的控制系统动态仿真模型，对系统的动、静态性能进行仿真分析，并研究状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的关系及其对系统性能的影响；（3）设系统转速可精确测量，试设计实现状态反馈的降维观测器，并建立利用降维观测器 实现状态反馈的控制系统动态仿真模型，对系统的动、静态性能进行仿真分析。解：如图系统

15、可知，令 Ud=X1,Td=X2,n=X3则系统的微分方程为: .Xi =1000X1 86800 uc .X2=-1057X1 476X2 145.5X3X3 = 0.9486X2 -0.7214TL推出系统的状态方程为：01- i0产16.4 1TJ TOC o 1-5 h z -10000.X = 1058-476021.6y = 0 0 1 X086800-145.5 X +00 j - 0搭建仿真系统后进行仿真如图:原系统明显不稳定。4 - ln 1 _ 2 ,由调节时间ts一1=0.3s当误差为2%。，n.2、超调量a =e/ -)=8%得：Wn= 22.6058= =0.6266

16、I2 = -15.6 土j9.1主导极点为：SiS2= -1 , _j 1 . 11 T T取次要极点为：S3=-78(S)=3147.1S+3147000a(S)=S 3+109S 2+2760S+25441令 P=2;1,b=B*p一1P= A2b A1b b*产2La101011 *=10 *1.7415-2.71100.0397-0.0017-0.001801求得状态反馈阵:K= 00 - oc0 oci - oc1“2*-2”= 0.00060.00060.0121状态反馈阵为:0.0013K1=p*K=0.00060.0012 0.02420.0006 0.0121仿真结果如下图:wpnaEd 专Step ResponseA JjfiV.*UTime(see)调节时间明显下降。说明:1、本作业要求用 MATLAB编程完成。2、请在2015.04.08前将完成的作业发到我的邮箱中( HYPERLINK mailto: ).请在邮件主题中 注明是线性系统理论的作业，并请注意接受收到回函，否则请确认邮件是否收到。3、邮件为一个压缩包，名字为：张三 .rar (以自己的名字为文件名)。该压缩包中应至少包 含一个文本文彳若干个.m及.mld文件(请注明题号，可在MATLAB中直接运行)。(1)文本文件以自己的名字命名，如：张三