高中数学题型全面归纳（教师版）：8.7空间角与距离37

1、第七节 空间角与距离考纲解读掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别 ，弄清他们各自的取值范围 。细心体会求空间角的转化和数形结合思想，熟练掌握平移，射影等方法。命题趋势探究 异面直线所成角，线面角，二面角时高考中考查的热点，解答与空间角有关的问题时既可用传统法，又可用向量法。在新课程标准下，对立体几何的基本理论知识要求有所降低，因此应用向量这一工具解题更为重要，特别是要熟练掌握利用空间图形的特殊性，构造适当的空间直角坐标系解决问题的方法，并能灵活应用。空间角是立体几何中的一个重要

2、概念，它是空间图形的一个突出量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故以高频的考点出现在历届高考试题中，在选择题，填空题及解答题中均有出现。知识点精讲空间角的定义和范围两条异面直线所成角的范围是，当=时，这两条异面直线互相垂直。斜线AO与它在平面内的射影AB所成角叫做直线与平面所成的角。 平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为；斜线和平面所成的角的范围为从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的

3、棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为，两个平面分别为，的二面角记做- -，二面角的范围是一个平面垂直于二面角的公共棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，则AOB叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。点到平面距离的定义点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。题型归纳及思路提示题型118 空间角的计算思路提示求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的平面角的大小；常用的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法；（3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。一、异面直线所成的角 方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的

4、两直线的夹角来求解，但要注意两条异面直线所成角的范围是。 方法二：向量法，设异面直线a和b的方向向量为和，利用夹角余弦公式可求得a和b的夹角大小，且。例8.59 【2016高考新课标理】平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为A B C D解析:本题主要考查点、直线、平面的位置关系。如图所示，因为/平面CB1D1，若设平面平面，则，又因为平面平面A1B1C1D1，结合平面CB1D1平面，所以，即，同理可得：，所以m，n所成角的大小与，所成角的大小相等，即的大小，因为，所以，即。故本题正确答案为A。变式1

5、如图8-219所示,在长方体中,是棱的中点,求异面直线和所成的角的正切值. 分析因为CDAB,所以异面直线AM和CD所成的角为BAM. 解析依题意，异面直线AM和CD所成的角为BAM.，在长方体ABCD-ABCD中，ABBM,故ABM为直角三角形，tanBAM=.所以AM和 CD所成角的正切值为 变式2 如图8-220所示,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,求异面直线AC与所成角的余弦值.变式2 解析如图8-379所示，点B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-,则A(，0，0),B(0，0，0),C(,.),则=(,),=(,0.0),所以异面直线AC,AB所成角的余弦值为例8.60（2017全

6、国卷理）已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【解析】，分别为，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为）可知，作中点，则可知为直角三角形，中，则，则中，则中，又异面线所成角为，则余弦值为变式如图所示，已知正方体，点是正方形的中心，点是棱的中点，设分别是，在平面内的正投影。求异面直线与所成角的正弦值。变式1 解析解法一由题意知EGAB，所以EAB即为EG,与EA所成的角，连接EB设正方形的棱长为由题意知EB=，因为AB平面BCCB，所以EBA为直角三角形，所以EA=，所以，即异面直线EG与EA所成角的正弦值为。解法二：如图8-380所示，以D为原点，建

7、立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则A（，0,0），E(，)，E（0.，），G(0，0，),=(,),=(0，,0),所以cos=,所以sin=,故异面直线EG与EA所成角的正弦值为变式2 如图8-225所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD,E是PC的中点。已知AB=2,AD=,PA=2.求异面直线BC与AE所成的角的大小.解析如图8-381所示，建立空间直角坐标系，则A（0,0,0），B(2，0，0,),C(2，,0),P(0，0,),E(1，,1),=(1，,1),=(0，,0),设与的夹角为，（0，则cos=，所以异面直线BC与AE 所成角的大小是二、直线

8、与平面所成的角方法一:(垂线法)直线与平面所成的角就是直线与此直线在平面内的射影直线所成的角.过直线上一点作出平面的垂线,得到垂足,而射影直线就通过斜足与垂足,因此作出平面的垂线是必要的一步.具体步骤是:先作出该角;在直角三角形中求解.方法二:(向量法)直线与平面所成的角为直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角的余角.如图8-226所示，设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l和平面所成的角为，则+=,或-=,因为的取值范围是，所以.方法三：（点面距法）利用相关方法求出直线上一点到平面的距离d，再求出此点与斜足间的距离l,设直线和平面所成角的大小为，则. 例8.61 （2017天津文17）

9、如图，在四棱锥中，平面，（）求异面直线与所成的角的余弦值（）求证：平面（）求直线与平面所成角的正弦值【考点】空间中点线面位置关系、异面直线夹角、线面垂直判定、直线与平面所成的角【解析】（）因为，所以等于异面直线与所成的角因为平面，所以，（）证明：因为平面，所以，又因为，所以因为，且，所以平面（）取上三分点，平面，所以等于直线与平面所成角，变式1 如图8-229所示，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.求DE与平面ABCD所成角的正切值. 解析如图8-382 所示，去BC D 中点O，连接EO，因为E为BC的中点，故EOCC,又CC平面ABCD,则EO平面ABCD,EDO为DE与平面ABCD所成

10、角，在RtDEO中，EO=CC=1，DO=,所以tanEDO=，即DE与平面ABCD所称的角为评注这里取BC的中点O，连接EO，其本质就是构造平面ABCD的垂线变式2 如图8-230所示，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，点D是AB的中点，且AC=BC=，VDC=.当变化时,求直线BC与平面VAB所成角的取值范围. 分析求直线BC与平面VAB所成的角的关键是找出直线BC在平面VAB的射影解析如图8-383所示，过点C在平面VAB内作CHVD于H,由VCAB,CDAB,VCCD=CAB平面VCD,AB平面VAB,所以平面VAB平面VCD，平面VAB平面VCD=VD，所以CH平面VA

11、B，连接BH,于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角。在RTCDH中，CH=，设CBH=，在RTBHC中，CH=,所以=因为0,所以，即，又，故，即直线SC与平面VAB所成的角取值范围为（0，）。变式3 如图8-231所示,在RtAOB中，AOB=,斜边AB=4,RtAOC可以通过RtAOB以AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上，求CD与平面AOB所成角正切的最大值. 分析 CD在平面AOB上的射影为CD，CD与平面AOB所成的角即为CDO，解析依题意平面AOB所以CDO为直线CD与平面AOB所成的角，tanCDO=.当OD最小时，CDO最大，此时ODAB，

12、垂足为D，OD=,tanCDO=,所以CD与平面AOB所成的最大角的正切值为评注直线CD与平面AOB所成的角为锐角，所以tanCDO的值随CDO的增大而增大，故当tanCDO取最大值是CDO取得最大值三、二面角的平面角求二面角的平面角的方法有：(1)根据定义，即在公共棱上取一点分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角即为二面角的平面角；（2）利用三垂线定理及其逆定理；（3）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底边的额两条中线；（4）求正棱锥侧面夹角时利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面与底面夹角时，用二面角的面积射影定理，其中为二面角的大小;(6)利用空间向量求解二面角，转化为两个平面

13、的法向量夹角，公共棱不明显的二面角常用此法来求，但应注意法向量，的夹角与二面角的大小是相等或互补的（需要根据具体情况判断想等或互补）。例8.62 .（2017全国卷理）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点。（1）证明：直线CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直接BM与底面ABCD所成角为450，求二面角的余弦值.分析：（1）先找线线平行，证先线面平行；（2）利用法向量求二面角。解析（1）令中点为，连结，为，中点，为的中位线，又，又，四边形为平行四边形，又，（2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系设，则，在底面上的投影为，为等腰直角三角形为直角三角形，

14、设，设平面的法向量，设平面的法向量为，二面角的余弦值为变式1 如图8-234所示,在四面体OABC中，OCOA, OCOB,AOB=120，且OA=OB=OC=1,求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. 分析利用三垂线定理作出二面角的平面角解析如图8-384所示，过点O作ONOA,交AB与点N，过O作OHAC与点H,连接NH,因为OCOB,，OCOA,的OC平面OAB，OCON,ONOA,OAOC=O,因此ON平面OAC,ONAC,OHAC,故OHN为二面角O-AC-B的平面角，在RTOHN中，ON=,OH=,得tanOHN=，所以cosOHN=，即二面角O-AC-B的平面角的余弦值为。变式2

15、 如图8-235所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD，SD=，AD=。点E是SD上的点，且DE=。设二面角C-AE-D的大小为，直线BE与平面ABCD所成角为，若，求 值。分析利用三垂线定理作出二面角的平面角解析如图8-385所示，过点D作在平面SAD内，作DFAE于点F,连接CFAE，故CFD=，由SD平面ABCD知，DBE=.在RTBDE中，因为BD=，DE=，所以=,在RTADE中，因为AD=，DE=，所以AE=，从而DF=在RTCDE中，=,由，解得，即为所求变式3 如图8-236所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC,AB,CE

16、,二面角A-BE-D的大小.分析将几何体逐一还原成简单的形式，再求二面角的大小解析如图8-386所示，过点C作CHBE于点H,连接DH,由三垂线定理得BEDH,故DHC为二面角D-BE-C的平面角，由BC=,CE=1，CH=,在RTCDH中，tanCHD =,所以CHD=60，又二面角A-BE-D的大小与二面角D-BE-C的大小和为90，所以二面角A-BE-D的大小30.评注对于比较复杂的几何体，要善于抓住核心要素，逐步思考，变为简单的形式（模型）求解例8.63（2017天津理）如图，在三棱锥中，平面，点分别为棱的中点，是线段的中点，（）求证：平面 （）求二面角的正弦值（）已知点在棱上，且直线

17、与直线所成的角的余弦值为，求线段的长【考点】空间中点线面位置关系；线面平行的判定；二面角；异面直线所成的角【解析】因为平面，所以两两垂直，所以可以以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间坐标系，点分别为棱的中点，是线段的中点，各点坐标分别为， ，（）证明：，所以平面的法向量为，所以平面（），平面的法向量为，平面的法向量为，（）设，解之得：变式1 如图8-239所示，四棱锥S-ABCD中，SD平面ABCD,ABDC,ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SD上的一点，平面EDC平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。解析如图8-387所示，连接BD，取DC的中点G，连接BG，由已知DG=G

18、C=BG=1，即DBC为直角三角形，故BCBD,又SD平面ABCD，故BCSD,所以BC平面BDS.BCDE.作BKEC,K为垂足，因为平面EDC平面SBC,故BK平面EDC,BKDE,DE与平面BCE内两条相交直线BK,BC都垂直，DE平面SBC, DEEC, DESB, SB=,DE=EB=SE=SB-EB=,SE=2BE,知AE=1，YOU 按到，故ADE为等腰三角形，取DE中点F，连接AF,则AFDE,AF=连接FG，则FGEC,FGDE，所以AFG为二面角A-DE-CD的平面角，连接AG,AG=,FG=,所以二面角A-DE-C的大小为120变式2 如图8-240所示，已知正三棱柱的各

19、棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱上，且不与点重合，设二面角C-AF-E的大小为，求的最小值。变式2 解析解法一：过E作ENAC与N，连接EF，如图8-388（）所示，连接AC，过N作NMAF于M，连接ME，由正三棱柱ABC-ABC，知EN侧面AC,根据三垂线定理得EMAF，所以EMN是二面角C-AF-E的平面角，即EMN=,设FAC=,，在RTCNE中，NE=ECsin60=,CN=1，在RTAMN中，MN=ANsin=3sin,故=，又，所以，故当，即当时，达到最小值，=，此时F与C重合解法二：建立如图8-388（b）所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0，0，0)，B(,2，0)

20、,C(0，4，0),E(,3，0),设CF=,(0),.则F（0,4，），平面AEF的一个法向量为=（），=(,3，0),（0,4，），于是由，可得,即，取=4，得=（，-，4），又由直三棱柱的性质可取侧面AC的一个法向量为=（1，0，0），于是由为锐角可得=，所以，由0，得，即故当=4时，即点F与点C重合时，取得最小值变式3 如图8-241所示，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上.若BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角B-AP-C的大小.解析如图8-389所示，在平面PAB内，作BMPA于M，连接CM,因为AB=AC，D为BC的

21、中点，所以ADBC,又因为PO平面CAB，所以POBC，又POAD=O,所以BC平面PAD，又AP平面PAD，所以APBC，因为MBBC=B，所以AP平面BMC，所以APCM，故BMC为二面角B-AP-C的平面角，在RtADB中，=41，得AB=,在RtPOD中,PD=PO+OD，在RtPDB中，PB= PD+BD，所以PB= PO+OD+ BD=36，得PB=6，RtPOA中,PA=AO+OP=25,得PA=5，从而故BM=PB=4因为BM+MC=BC,所以BMC=90，即二面角B-AP-C的大小为90例8.64（2016年新课标I理18）如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面

22、ABEF为正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（= 1 * ROMANI）证明平面ABEFEFDC；（= 2 * ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值解： = 1 * GB2 为正方形面面平面平面 = 2 * GB2 由 = 1 * GB2 知平面平面平面平面面面四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设 ，设面法向量为.，即设面法向量为.即设二面角的大小为.二面角的余弦值为变式1 如图8-244所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD,PD底面ABCD。若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.解析因为AB=2

23、AD,DAB=60，由余弦定理可得BD=AD,所以AD+BD=AB,即ADBD，如图8-390所示,以D为坐标原点，以AD长为单位长度，射线DA为轴正半轴，建立空间直角坐标系，D-,则A(1，0，0),B(0，,0)，C(,0)，P(0，0，1)，=(,0)，=(0，,)，=(,0，0)，设平面PAB的法向量为=（），则即，令=，则=（，1，），设平面PBC的法向量为=（），则即令=，则=（0，-），cos=,由图可知二面角A-PB-C为钝角，故二面角A-PB-C的余弦值为变式2 如图8-245所示，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为棱形，AB=2，,当平面PBC与平面PDC

24、垂直时，求PA的长。解析如图8-391所示，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-，A(0，,0)，B(1，0，0)，C(0，,0)，D(,0，0)，知=(,0)，设P（0，），则=(,)，设平面PBC的法向量为=（），则所以，令=，则=3，=，所以=（3，），同理，平面PDC的法向量=（-3，），因为平面PBC平面PDC，所以=0，即6+=0，解得=，所以PA=时，平面PBC与平面PDC垂直变式3 如图8-246所示，四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，BC=CD=2,AC=4,F为PC的中点，.求PA的长；求二面角B-AF-D的正弦值。分析先建立空间直角坐标系，再利用点的坐标和向量的坐标求

25、解距离和二面角的正弦值解析（1）如图8-392所示，连接BD交AC于点O，因为BC=CD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD,故ACBD，以O为坐标原点，,的方向分别为轴轴轴建立空间直角坐标系O-，则OC=CD=1，而AC=4，所以AO=AC-OC=3，又OD=CD=，故A(0，,0)，B(,0，0)，C(0.1.0)，D(0，0)，因为PA底面ABCD可设P(0，,).由点F为PC边中点，得F（0，），则=（0,2，）=(,3，-),因为AFPB，故=0，即6-=0，=2，（=舍），所以2，所以PA的长为2（2）由（1）知，=(,3，0)，=(,0，0)，=(0,2，).设平面PAD的法

26、向量为=（），平面FAB的法向量为=（），由=0,=0得,因此可取=(3,),由=0,=0,得,故可取=(3,2),从而法向量,的夹角余弦值为cos=,故二面角的正弦值变式4 如图8-247所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，,证明：;求平面与平面的夹角的大小。分析 (1)根据题目条件建立空间直角坐标系, 并用坐标来表示点和向量,再利用直线的方向向量与平面个内的向量垂直证明线面垂直;（2）先求出法向量，再进一步求解两个平面所成的角，要注意角的范围解析（1）解法一：由题设知OA,OB,OA两两垂直，以O为原点，建立如图8-393所示的空间直角坐

27、标系，因为AB=AA=,所以OA=OB=OA=1，所以A(1，0，0),B(0，1，0)，C(,0，0),D(0，,0),A(0，0，1),由=,易得B(,1，1)因为=(,0，),=(0，-2，0),=(,1，0),所以=0，=0所以ACBD, ACBB，BD BB=B,所以AC平面BBDD.解法二：因为AO平面ABCD,所以AOBD,又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，AOAC=O，AO、AC平面AOC，所以BD平面AOC，所以BDAC,又OA是AC的中垂线，所以AA=AC=,且AC=2，所以AC=AA+AC，所以AAC是直角三角形，所以AA AC，又AABB,所以AC BB，又BBB

28、D=B所以平面.设平面的法向量因为所以所以取，由（1）知，是平面的法向量，由于平面与平面所成的二面角为锐角，所以又所以.评注本题中的坐标不易表示，可通过求出点的坐标，或者运用向量的线性运算表示=.题型119 点到平面距离的计算思路提示 求解点到平面的距离，常用方法有:定义法，作出点到免的垂线，垂线段的长度就是点到平面的距离，通常是借助某个直角三角形来求解。转化法，利用等体积法或者线面平行的位置关系，将点A到平面的距离转化为与其相关的点B到平面的距离。向量法，点P为平面外一点，点Q为平面上的任一点，为平面的法向量，点P到平面的距离。例8.65 如图8-248所示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC

29、=2,AP=BP=AB,求点C到平面PAB的距离。分析 利用定义法直接作出点C到平面PAB的距离。解析 如图8-249所示，取AB的中点D，连接CD,PD。因为AP=BP，所以，又因为AC=BC,所以。又,所以平面PCD，面APB，所以平面PAB面PCD。过C作CHPD，垂足为H。因为平面,所以CH平面APB。所以CH的长即为点C到平面PAB的距离。由于平面PCD，面PCD，所以PCAB。又PCAC,故PC平面APB,又面ABC.所以PCCD，在直角三角形PCD中，CD=.所以.所以.评注 这里直接作出点C到平面APB的垂线CH（H为垂足），CH的长即为所求点面距离。变式1 如图8-250所示

30、，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的棱形，,OA=2,求点B到平面OCD的距离。分析利用AB/平面OCD，将点B到平面OCD的距离转化为点A到平面OCD的距离来求解.解析因为AB/平面OCD，所以点A和点B到平面OCD的AP相等.如图8-394所示，过点A作APCD于点P，连接OP，因为APCD,OA底面ABCDOACD，OAAP=A,所以CD平面OAP.过点A作AQOP于点Q，则线段AQ的长度就是点A到平面OCD的距离，因为AP=DP=,所以OP=，所以AQ=,所以点B到平面OCD的距离为.变式2 如图8-251所示，四棱锥P-ABCD为矩形，求直线AD与平面PBC的距离。解析

31、如图8-395所示，在矩形ABCD中，AD/BC,从而AD/平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，因为PA平面ABCD,所以PAAD，又在矩形ABCD中，ADAB，所以AD平面PAB，所以BC平面PAB,又BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC.取PB中点E，连接AE，因为PA=AB=,所以AEPB,且AE=.例8.66 如图8-252所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求点C到平面A1BD的距离。分析 利用等体积转化法求点C到平面A1BD的距离。解析 在三角形A1BD中，BD=A1D=。在三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为。

32、设点C到平面A1BD的距离为d。由得,解得，所以点C到平面A1BD的距离为。评注 本题利用了等体积法转化，该方法是求解点到面距离的重要方法。变式1如图8-253所示，在四棱锥P-ABCD中，,点A到平面PBC的距离.分析利用等体积转化法求点A到平面PBC的距离.解析由得得因为BCD=90，AB/DC,所以ABC=90，故则PBC为直角三角形，,则故点A到平面PBC的距离为.变式2 如图8-254所示，三角形BCD与三角形MCD都市边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB面BCD，求点A到平面MBC的距离。解析如图8-396所示，取CD的中点O，连接OB，OM=,又平面MCD平面BCD,则

33、MO平面BCD，又AB平面BCD，故OM/AB,AB平面ABC,则点M,O到平面ABC的距离相等，过点O作OHBC于点H,连接MH，则MHBC,OH=OC设点A到平面MBC的距离为,由得故点A到平面MBC的距离为例8.67 如图8-255所示，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，且AC=2，,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点。求点A1到平面AED的距离。分析 利用向量法求解点到平面的距离。解析 以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz。如图8-256所示，A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1),E(1,1,1),A1(2,0,2).所以,

34、设平面的法向量为由得，所以点A1到平面AED的距离.变式1 如图8-257所示，已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1 的交点，若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高。解析解法一：如图8-397所示，连接AC,过点C作于.因为平面所以平面，所以平面,故又,在中，所以所以，即正四棱柱的高为2.解法二：建立如图8-398所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为由取得所以点到平面的距离为，则.变式2 如图8-258所示，四棱锥P-ABCD中四边形ABCD中，ADAB,AB+AD=4,AB=AP。若直线PB与平面PCD所成的

35、角为，求线段AB的长；在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P,B,C,D的距离相等？说明理由。解析解法一：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图8-399所示）.在平面内作交于点，则.在中，设，则，由得，所以,设平面的法向量为，由得取，得平面的一个法向量，又，故由直线与平面所成的角为30得,即，解得或4（舍去，因为），所以.（2）假设在线段上存在一点，使得点到点的距离都相等（如图8-400所示）.设（其中），则由得，即，由得，即，由消去，化简得.由于方程没有实数根，所以在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等.解法二：（1）同解法一.假设在线段上存在一点，使得点到点的距离都相等（如

36、图8-401所示）.由,得,从而,即,所以.设，则,在中，这与矛盾.所以在线段上不存在一个点一点，使得点到点的距离都相等.最有效训练题37（限时45分钟）正方体ABCDA1B1C1D1中AB=A1A=2,AD=1,E为CC1 的中点，则异面直线BC1 与AE所成角的余弦值为（ ） 如图8-259所示，在正三棱柱ABCA1B1C1 中，AB=A1A，则AC1 与平面BCC1 B1所成角的正弦值为（ ） 已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（ ） 二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直与AB，已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的

37、大小为（ ） 如图8-260所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O为底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1 的距离为（ ） 6.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，E,F分别为PC,PD的中点，则异面直线AC与 EF的距离为（ ） 7.如图8-261所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为CD,CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小为 8.如图8-262所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1 的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1CD所成角的正弦值为 9.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为A1A的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为 .10.如图8-263，三棱柱ABCA1B