初中数学竞赛——矩形及菱形

1、初中数学竞赛矩形及菱形初二数学联赛班 八年级第 2 讲矩形和菱形知识总结归纳一 . 矩形的定义：定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形，矩形也是我们平时所称的长方形. 矩形的性质：1）矩形拥有平行四边形的全部性质2）矩形的对角线相等3）矩形的四个角都是直角4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴三 . 矩形的判断：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2）对角线相等的平行四边形是矩形3）有三个角是直角的四边形是矩形. 直角三角形的一条重要性质：1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半2）性质可以用来解决有关线段倍分的问题五 . 菱形的定义：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形六 . 菱形的性

2、质：1）菱形拥有平行四边形的全部性质2）菱形的四条边相等3）菱形的两条对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角七 . 菱形的判断：1 / 31 1初中数学竞赛矩形及菱形思想的发掘 能力的飞驰 12 / 31 2初中数学竞赛矩形及菱形八年级 初二数学联赛班1）由定义判断：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2）由对角线判断：对角线相互垂直的平行四边形是菱形3）由边的关系判断：四条边相等的四边形是菱形典型例题一 . 矩形【例 1】已知矩形的对角线长为 13，周长为 34，求这个矩形的面积【例 2】如图， ABCD中，对角线 AC、 BD交于 O，在矩形 且长12cm，求AOD120，AC AB的A

3、 D3 / 31 3初中数学竞赛矩形及菱形O B2 思想的发掘 能力的飞驰C4 / 31 4O初二数学联赛班初中数学竞赛矩形及菱形八年级【例 3】 如图，在 ABC中， ABAC， D为 BC中点，四边形 ADCE是矩形CD EABDE是平行四边形求证：四边形BA【例 4】 如图，矩形ABCD的对角线 AC、 BD 订交于点 O， E、 F、 G、 H分别是 OA、 OB、OC、 OD的中点，试说明：四 边形 EFGH是矩形AEFBCDHG【例 5】 如图，在 ABC中， ABAC， AD、 AE分别是 BAC与 BAC的外角的均分线， CE AE，求证： AC DEC5 / 31 5初中数学

4、竞赛矩形及菱形思想的发掘 能力的飞驰D E3BAF6 / 31 6中，初中数学竞赛矩形及菱形八年级 初二数学联赛班D【例 6】如图，在矩形 ABCDABAB交于点 F，求 AF的 长C16 8，若将 AC折叠，点 D落在点 E 处， BC 矩形沿 CE与【例 7】如图，折 叠矩形求 BE的长边 ABCD的B使点AA DFB E C7 / 31 7初中数学竞赛矩形及菱形【例 8】如图，在 ABCD E 是 AD的中点，将 ABE折叠后获得 EBG，延长 BG交矩形 中， CD于1， 点 F，若 CF FD24，求 BC的长思想的发掘 能力的飞驰A8 / 31 8E DF初二数学联赛班初中数学竞赛

5、矩形及菱形八年级二 . 直角三角形的斜边中线【例 9】 如图，已知平行四边形 APC BPD 90求证：平行四边形ABCD，AC、 BD订交于点 O， P 是平行四边形 ABCD外一点，且ABCD是矩形PA DOB C【例 10】如图，平行四边形 ABCD中， DEAB于 E， BM=MC=DC求证： EMC=BEM思想的发掘 能力的飞驰 59 / 31 9B于初中数学竞赛矩形及菱形八年级 初二数学联赛班EB AMFDC【例 11】如图，在中，均， 分，垂足为，交点 求 A A D B DD B证： CDABC B ACBD BC E D E C1BE2ADE C10 / 31 10初中数学竞

6、赛矩形及菱形【例 12】如图， ABC的边 BC的中点为 N，过 A 的任向来线 AD BD与 D， CE AD于 E求证：NE NDA思想的发6 掘ENB能力的飞驰D11 / 31 11初二数学联赛班初中数学竞赛矩形及菱形八年级【例 13】如图，分别以 ABC的 AC、 BC边为腰， A 、 B 为直角极点，作等腰直角 ACE和等腰直角BCD，M为 DE中点，求证： AM BMEMDCAB【例 14】如图，已 知五边形证： MBMEEAD，M为 CD的中ABCDE中 ， ABC AED90，BAC 点，求AB12 / 31 12D初中数学竞赛矩形及菱形EC M思想的发掘 能力的飞驰 713

7、/ 31 13初中数学竞赛矩形及菱形八年级 初二数学联赛班三 . 菱形【例 15】如图，菱形 ABCD中， B 60， AB 2cm， E、 F 分别是 BC、 CD的中点，连 AE、 EF、AF，求 AEF的周长AB DE FC【例 16】以下列图，在菱形A DOB CABCD中， AC与 BD交于 O， AC 6， BD 8，求菱形 ABCD的面积14 / 31 14初中数学竞赛矩形及菱形【例 17】如图， 到 BC的距离是多少？8P 是菱形 ABCD对角线 BD上一点， PE AB于点 E， PE 4cm，则点 P思想的发掘 能力的飞驰15 / 31 15初中数学竞赛矩形及菱形初二数学联

8、赛班 八年级【例 18】如图，用两张等宽的纸带交织重叠地放到一起，重合的四边形 形请给出证明，假如不是菱形请说明原由A DB C【例 19】如图，在 ABCD中， EF经过对角线的交点 O，且 EFAC分别交说明四边形 AECF是菱形A F BAEBPCABCD是菱形吗？假如是菱CD、 AB于 E、 F试DOE C思想的发掘 能力的飞驰 916 / 31 16初中数学竞赛矩形及菱形八年级 初二数学联赛班【例 20】如图，在 ABC 中，高，交 AD于 F， DEACB90AB于 E， AD是 BAC的均分线， BC于 D， CH是 AB边交 上的，求证：四边形 CDEF是菱形CDFAH【例 2

9、1】如图，已知菱形 1）求证： BDEC；2）若 E50，求 BAO的大小DCA B EABCD的对角线订交于点 O，延长 AB至点 E, 使 BE AB，连 CE【例 22】如图，在菱形 ABCD 中 ，E 为 AB 上一点， DE交 AC于 F求证：FBC AEDD C17 / 31 17初中数学竞赛矩形及菱形FA E B10 思想的发掘 能力的飞驰18 / 31 18初二数学联赛班初中数学竞赛矩形及菱形八年级【例 23】延长菱形一边 DC 至 E，使交对角线 BD于 H，CG，又 CEDC，F、 G在 BC上，且 BF FAB1DAB，AF4求证： FHC2CE。GDHA思想飞驰【例 2

10、4】设凸四边形的 4 个极点满足条件：每一点到其余四边形是什么四边形？请证明你的结论C EGFB3 个点的距离之和都相等试判断这个1【例 25】已知， ABC中， B2C， M是 BC中点， AD BC于 D求证： DMAB219 / 31 19初中数学竞赛矩形及菱形A思想的发掘 能力的飞驰 11B CD M20 / 31 20初中数学竞赛矩形及菱形八年级 初二数学联赛班【例 26】以下列图，矩形 ABCD内一点 P 到 A、 B、 C的长分别是 3、 4、 5，求 PD的长A DPB C【例 27】如图，已知矩形 ABCD中， CE BD于点 E，延长 EC，与 BAD的均分线 AF订交于点

11、 F，求证： CF BDFD CEA B12 思想的发掘 能力的飞驰21 / 31 21初中数学竞赛矩形及菱形初二数学联赛班 八年级【例 28】如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD对角线 AC上的一个动点，点 M、 N分别是 AB、 BC边的中点， MP NP的最小值是多少？AMBDPCN【例 29】如图，在矩形 ABCD中， E 为 CB的延长线上一点，且 ACCE，F 为 AE 的中点求证：BF FDFEADB C【例 30】如图，在 ABCD中， AB 2AD， F 为 AB的中点， CE AD交 AD（或延长线）于E求证： BFE 3AEF思想的发掘 能力的飞驰 1322 /

12、31 22F初中数学竞赛矩形及菱形八年级 初二数学联赛班A BED C作业1. 如图，在 ABCD中， AC、 BD订交于点 O，且 AOB使等边三角形，边长为 2，求 BC的长ABDOC2. 的长A如图，在矩形 ABCD中， AB 3， BC 4，若将矩形折叠，使点与点 B 重合，求折痕 EFE DB F C23 / 31 23初中数学竞赛矩形及菱形14 思想的发掘 能力的飞驰24 / 31 24B初二数学联赛班初中数学竞赛矩形及菱形八年级3. 如图，矩形 ABCD边 AD沿折痕 AE折叠，使点 D落在 BC上的 F 处，已知 AB 6，ABF的面积是 24，求 FC的值A DEF C4.

13、能判断一个四边形是菱形的条件是（ ）对角线相互均分且相等对角线相互垂直且相等C对角线相互垂直且对角相等5. D对角线相互垂直，且一条对角线均分一组对角已知菱形周长为 24，一条对角线长为 8，求菱形的面积思想的发掘 能力的飞驰 1525 / 31 25初中数学竞赛矩形及菱形八年级 初二数学联赛班6. ABC中，分别以 AB、 AC为斜边作等腰直角三角形 ABM和 CAN，P 是 BC的中点 , 求证： PM PNMANBCP如图，在 ABC中， D是 BC边的中点， E、 F 分别在 AD及其延长线上， CEBF，连 BE、 CF1）求证： BDFCDE（2）若 ABAC，求证：四边形 BFCE 是 菱 形AEDB CF8. 已知：锐角三角形 ABC中， BD、 CE是两条高， F、 G分别是 BC、DE的中点，求证： FG垂直均分 DEA26 / 31 26初中数学竞赛矩形及菱形D16E G思想的发掘 能力的飞驰B F C27 / 31 27PN初二数学联赛班初中数学竞赛矩形及菱形八年级9. 以下列图，在 ABC中，分 DAC，交 BC于点 N求证：四边形BAC 90， AD BC于 D， BE均分 ABC，交 AD于点 M,AN平AMNE是菱形BDMA CEOFB10. 如图在矩形 ABCD中，已知 AD12， 5 ， P 是 AD边上任意一 BD