9.4二元函数的极值教案

1、9.4二元函数的极值教案9.4二元函数的极值教案9.4二元函数的极值教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题9.4二元函数的极值教学目的了解二元函数极值与条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点二元函数的极值，拉格朗日乘数法教学难点拉格朗日乘数法教学用具备 注回顾旧知引入新课新授课新授课课堂练习小结布置

2、作业前面我们学习过一元函数的极值问题，进而求得实际问题中的最大值和最小值.类似的，二元函数的最大值、最小值与极值也有密切联系，下面我们就探讨二元函数的极值求法.一二元函数极值定义定义1 设函数在点某一邻域内有定义，如果对于该邻域内异于的点都有，则称函数在点处有极大值，点称为函数的极大值点；同理，如果都有，则称函数在点处有极小值，点称为函数的极小值点。极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.例如，函数在点处有极小值.因为点处的任一邻域内异于的点，都有.从图形上看，点是开口向上的旋转抛物面的顶点.又如，函数在点处有极大值.因为点处的任一邻域内异于的点，都有.从图形上看，点是单位球面

3、的上半球面顶点.二极值存在的条件设函数在点处取得极值，如果将函数中的变量固定，令，则函数是一元函数，它在处取得极值，由一元函数极值存在的必要条件可得.由此得到如下定理：定理1(极值的必要条件) 设函数在点处取得极值，且函数在该点的偏导数存在，则，.使，同时成立的点称为函数的驻点.由定理1可知，具有偏导数的函数，其极值点必定为驻点.反之，函数的驻点不一定是极值点.例如，函数在驻点的任何邻域内函数值可取正值，也可取负值，而.可见定理1只给出了二元函数具有极小值的必要条件.为判断二元函数的驻点是否为极值点，有如下定理：定理2(极值的充分条件) 设函数在点的某领域内有连续二阶偏导数，且点是函数的驻点，

4、记，则(1)当时，点是极值点，且当时，点为极大值点，且当时，点为极小值点.(2)当时，点不是极值点.(3)当时，点可能是极值点，也可能不是极值点. 例1 求函数的极值. 解： 解方程组得驻点. 故在点处有： 所以为函数的极大值点. 同理在点处有： 所以不是函数极值点. 例2 用铁皮做一个体积为的无盖长方体箱子，问箱子的尺寸为多少时才能使铁皮最省？解：设箱子的长宽分别为故箱子的高为所以箱子的表面积为 求偏导数 解方程组 得唯一解 所以当长宽高均为时用料最省.三条件极值与拉格朗日数乘法 在前面研究的极值问题中，所考虑的二元函数的自变量都是相互独立的，这些自变量除了受到函数定义域的限制外，别无其他附

5、加条件，这类极值问题成为无条件极值.然而，在许多实际问题中函数的自变量除了受到定义域的限制外，常常还要受到其他附加条件的限制，比如例2中，若设箱子的长、宽、高分别为、，则箱子的表面积，此时还有一个约束条件，这类极值问题称为条件极值.例2中的解法是将它转化为无条件极值问题来求解，但很多实际问题中这种转化无法顺利进行，因此还需要其他方法.下面介绍一种求条件极值的方法拉格朗日数乘法.求函数在附加条件的情况下的极值问题，可采用以下步骤：以常数(称为拉格朗日乘数)乘以后与相加，得拉格朗日函数(2)求出对、的一阶偏导数，(3)解方程组 所得点即为函数在条件下的可能极值点.至于所求点是否为极值点，一般可由问题的实际意义判断.例3 求在时的条件极值.解：记， 作拉格朗日函数： 求偏导数：, 解方程组 得，对应的函数值，由几何直观知，函数在，时有极