高中数学题型全面归纳（教师版）：12.2排列50

1、 排 列考纲解读 理解排列的意义，掌握排列数公式，并使用它们解决一些简单的应用问题.命题趋势探究预测高考有关排列的试题，主要以选择题和填空题的形式出现，大多数试题难度与教材相当，主要涉及特元特位，捆绑，插空，和定序等问题，对本专题的考查以基本概念和基本方法为主，难度中等.知识点精讲一、特殊元素与特殊位置问题 排列时，某个（或某些）元素一定在（或一定不在）某个（或某些）位置.捆绑问题 某些元素作为一个整体在排列中不能分开.插空问题 某些元素互补相等.定序问题 某些元素相对顺序保持不变.其他排列双排列和有相同元素的排列等.题型归纳及思路提示题型164 特殊元素或特殊位置的排列问题思路提示加法： =

2、 1 * GB3 * MERGEFORMAT 把全部特殊位置上的元素排好； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 剩余位置由剩余元素排列.减法： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 取消某些“不能”的限制去排列； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 减去因此而“扩进”的方法数.注：对于含有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置，有时也采用间接法，通常有以下解决问题的途径： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 以位置

3、为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，在减去不合要求的排列数或组合数.例12.12 7个人排成一排.甲在左端，乙不在右端的排列有多少个？甲不在左端，乙不在右端的排列有多少个？甲在两端，乙不在中间的排列有多少个？甲不在左端，乙不在右端，丙不在中间的排列有多少个？甲、乙都不在两端的排列有多少个？+5选1人非乙乙+解析 （1）左端定甲，右端（去掉甲、乙）有，剩余5元任排，共（种）排法.（2）加法，以左端分类： （种）方法.甲乙乙甲减法： +（种）排法.甲在左或乙在右或丙在中间7人全排先定甲位，再定中间

4、位，共（种）排法.解法一：宜用减法： 设表示甲坐左端，表示乙坐右端，表示丙坐中间.=（种）排法（见容斥原理）.解法二：甲不排左端，乙不排右端甲不排左端，乙不排右端，且丙在中间的情形，种.第一步：先排“特位”两端，第二步：排中间，故共有（种）排法.评注 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 第（2）与（4）题减法用到，其中表示有限集合中元素的个数. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 容斥原理：+.变式1 共10个数字，可组成多少个无重复数字的：四位数；五位偶数；五位奇数；大于或等于30000的五位数；在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几；五位数中大于23014

5、小于43987的数的个数.变式2（2016年全国III高考）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个【答案】C解析试题分析：由题意，m=4，则必有，则具体的排法列表如下：0000111110111011010011101101010011010001110110100110考点：计数原理的应用变式3 广州亚运会组委会要从小张，小赵，小李，小罗，小王5名志愿者选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机4项不同的工作，其中小张和小赵只能从事前两项

6、工作，其余3人均能从事着4项工作，则共有（ ）种选派方案. A.12 B.18 C.36 D.48解析 先选后2项工作x再选前两项工作=.故选C.变式4 (2017广东清新一模,7)某企业有4个分厂,新培训了6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为() A.1 080B.480C.1 560D.300 解析先把6名技术人员分成4组,每组至少一人. 若4个组的人数按3、1、1、1分配,则不同的分配方案有C63=20种. 若4个组的人数按2、2、1、1分配,则不同的分配方案有C62C42C212!2!=45种. 故所有的分组方法共有20+45=65种

7、.再把4个组的人分给4个分厂,不同的分配方案共有65A44=1560种,故选C. 题型165 元素相邻的排列问题思路提示 先把排在一起的元素（个）捆绑成一个板块（有种方法）；再把板块当作一个大元素与其他元素精心排列.注 对于元素相邻排列问题，通常采用捆绑法，即可以把相邻元素看作一个整体，再参与其他元素的排列.例12.13 七个人排成一排.（1）甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？（2）甲、乙相邻，且丙、丁相邻，共有多少种排法？（3）甲、乙、丙排在一起，且都不在两端，有多少种排法？（4）甲、乙、丙排在一起，且甲在两端，有多少种排法？（5）甲、乙之间恰有2人的排法有多少？（6）甲、乙之间是丙的排法

8、有多少？解析 （1）甲、乙、丙板块（种排法）与其余4人排列，共（种）排法.甲、乙板块（种方法），丙、丁板块（种方法）与其他3人排列，共（种）排法.甲、乙、丙板块（种排法）与其余4人排列，板块不在两端，共（种）排法.如图12-15所示，甲在两端（种方法），乙、丙板块（种方法）与甲相邻，共（种）排法.甲乙丙甲乙 图12-15（5）如图12-16所示，先作出板块（种方法），与其余3个元素排列，共=960（种）排法.甲丙乙图12-17甲乙图12-16 甲乙丙（6）如图12-17所示，先作出板块，与其他4个元素排列，共（种）排法. 评注 关键在于板块的形成.变式1 一排8个车位，停5辆不同车，每车位至多

9、停一车.（1）停车的5个车位相邻有多少停法？（2）不停车的3个空位相邻有多少停法？（3）一共多少停法？解析 （1）5车形成一个板块（种方法），与其他3个空位排成一排，看作4个车位停一车，共有(种)停法；（2）3个空位成一板块（因为空车不需排列）只有一种排法，此版块与5车排列，共有（种）排法.（3）5辆车在8个位上排列，共有（种）排法.评注 （1）m个不同元素捆绑有种方法，m个相同元素捆绑只有一种方法.（2）m个元素在n个空位上排列，只要是不重复排列，mn(此时为从m个元素中取n个元素的排列)为种排法；mn时为种排法.序号123456节目图12-18变式2 某次文艺汇演要将这6个不同节目排成一个

10、节目单（如图12-18所示），如果两个节目要相邻，且都不排在第3个位置，则共有（ ）种节目单的不同排序方式. A.192 B.96 C.108 D.144解析 先第3为.故选D.例12.14 用组成无重复数字的六位数，要求任意两个相邻数字的奇偶性不同且和相邻，共有_个这样的六位数（用数字作答）.分析 由题意知，这6位数字奇偶相间，且和相邻，关键是排的位置.解析 解法一：先排的位置（种方法），再将排列（种排法），然后其他位置的元素排列（种方法），故共有=（种）.解法二：可分三步来做这件事.第一步：将排列，共有种排法；第二步：将插空，共有种排法；第三步：将放到形成的空中，共有种排法.由分步计数原理

11、得，共有（）=（种）.变式1 用组成无重复数字的五位数，其中相邻的偶数有_个.解析1,2相邻| 0 +非0| | 1 | 2 +1,2相邻| 4 - 0 | 1,2相邻| 4 =变式2 用这5个数字组成无重复数字的五位数，其中一个偶数夹在两个奇数之间，这样的五位数有（ ）个. A.48 B.12 C.36 D.28解析1,3中间选一偶 其中0在首位=.故选D.题型166 元素不相邻排列问题思路提示步骤1：个不同的元素在个不同元素中抽空，先把个元素排好，有种排法.步骤2：个元素有个空，个不同的元素互不相邻有种排法.步骤3：共有种排法.注 对于元素不相邻的排列，通常采用插空的方法，即先考虑不受限制

12、的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.例12.15 7个人排成一排. （1）甲乙丙互不相邻，共有多少种排法？（2）甲乙相邻，丙丁不相邻有多少种排法？ （3）甲不与乙相邻，丙不与乙相邻，有多少种排法？解析 （1）共有种排法.（2）甲、乙板块（种）与其他3人共4个元素排列，丙、丁在5个空中插空，共有种排法.（3）甲、丙可能相邻也可不相邻，分两类：甲、乙、丙互不相邻，有种排法.甲、丙相邻形成板块（种排法）与乙在其余4人中插空，共有种排法.评注 捆绑与插空同时发生时，先捆后插，如与特殊位（某元不在某位）问题结合宜用减法.变式1 一排8个车位，停5辆不同车，每车位至多停一车.（1）空车

13、位互不相邻有多少停法？（2）恰两个车位相邻有多少停法？解析 (1)3空车位在与5列车中插空（不是而是，因为空位选出即可，不需排列）；（2）如图12-28所示，两个空车位成一模块（不是而是1），此板块与另一空位成为不同元素在5列车中插空 图12-28 v | v | | | v | | v | v变式2 某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众来就坐.若3名观众互不相邻，共有多少种坐法？若3名观众互不相邻，且要求每人左右都至多有两个空位，共有多少种不同的坐法（用数字作答）.解析 (1)3在6空位中插空，有=2100（种），由题意可知，三人的排列如图12-29所示图12-29 1 | 2| v |

14、3| 4 | v | 5 | 6| v |7 |8 其中8个位中有两个被取消的方法可分两类：即三人的排列方法共有种.变式3 2男3女共5个同学站成一排，男生甲不站两端，3女中有且仅有2女相邻，则有（ ）种不同的排法. A. 60 B.48 C.42 D.36解析 3女取2人捆绑，在男生中插空减去男生甲在两端：共有（种）排法.故选B.评注 本题也可以分类处理，两男生均在中间+只有一男生在中间： v | v | x|x| v + v | v | x| v |x =例12.16 用组成的没有重复数字的6位偶数中，与都不与相邻的有（ ）个. A.72 B.96 C.108 D.144分析 分析用插空法

15、求解时要注意限制条件（六位偶数），个偶数形成4个空位，但另3个数只能插入前3空位中.互不相邻相邻与5不相邻解析： + =。故选C.变式1 由这6个数字可以组成_个无重复数字且不相邻的六位数（用数字作答）.解析 将2,3插入0,1，4,5中减去0排最高位.变式2 在一条南北方向的步行街上其中一侧有8块广告牌，广告牌的底色可红可蓝，要求相邻两块广告牌底色不都为红色，则有（ ）种不同的配色方案. A.55 B.56 C.46 D.47解析 1红+2红+3红+4红+无红=.故选A.评注 不都为红即至多有一个为红变式3 某仪器显示牌上每个指示灯均能显示红光和蓝光两种颜色，已知一排8只指示灯，每次显示其中

16、4只，且恰有3只是相邻的，此一排8只指示灯显示_个不同信号.解析 “3只” ，“1只” 插空，共有（个）信号题型167 元素定序问题思路提示先排好非定序元素，从而为定序元素留下空位，定序元素在留下空位中找到位置.注 解决元素定序问题的常用方法有虑它法，只选不排法和全排消序法（除法）3种.例12.17 4男3女坐成一排，且4男不等高，4男自左往右按从高到矮的顺序排列，有多少种不同的排法？解析 解法一：（定序问题虑它法）先排列3女，剩余4个位置供4男按高矮顺序排列，故为（种）.解法二：（定序问题只选不排法）先选定4男的位置，有种方法，3女可以任意排列，4男的顺序确定，其排列方法只有1种，故有=种.

17、解法三：（定序问题全排消序法）先全排列，再消除因4男有序造成的影响，故有种.变式1 某车队有7辆车，现要调出4辆，再按一定顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车在乙车前面开出，则不同的的调度方案共有_种（用数字作答）.解析 （虑它法）变式2 甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的五天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天，每天至多一人，且甲排在其他两位的前面，则共有（ ）种安排方法. A.20 B.30 C.40 D.60解析 （只选不排法）.故选A.变式3 某工程队有6项工程需要甲单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成之后才能进行，工程丁在工程丙完成

18、之后立即进行，则共有_种安排这6项工程的顺序的方案（用数字作答）.解析 甲 | | 乙| | 丙|丁 ：.评注 丙丁顺序固定且捆绑在一起作为一个大元素，和甲，乙及另外两项工程，共有5项，先排另外两项工程，剩下三项工程.由题意知顺序一定有且只有一种排法，故有（种）排法.变式4 某市春晚原有10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是救灾节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目顺序不变，则该晚会共有_种节目排序单（用数字作答）.分析 本题可以从反面考虑，即三个新节目排好后，可看作中间8个+3个共11个节目全排，而不考虑已有8个节目的顺序.解析 （消序法）例12

19、.18 用这10个数字排成一个无重复数字的五位数，则满足下列条件各有多少种排法？百位数字十位数字个位数字；（2）百位数字十位数字个位数字.分析 本题叫做位定序.解析 （1）选一种排法，如图12-19所示，先排前两位（即万，千两位），再从余数中任取三个不同的数填末三位（唯一确定），共有种排法.由图12-20可知，共有种排法.非03图12-20非0321图12-19 变式1 七人身高各不同，排成一排，要使中间（第4位）最高，两侧依次降低，共多少种排法？解析 设7人身高为1.71,1.72,1.73,1.74,1.74,1.76,1.77，选一种排法，如图12-30所示.1.73 | 1.75 |1

20、.76 | 1.77 |1.74|1.72 | 1.71 图12-30中位定1.77，左3右3均为定序，只要知道右3和左3各有哪些身高即可，实际只要知道右3有哪些身高，就可以确定唯一排法.故共有（种）排法变式2 三位数中，如叫严格递增数，如叫严格递减数，这两种统称严格单调数，则严格单调3位数共有多少？解析 严格递增数为位定序排列： 非0| | | | ，即从09中任取3个数即可，有（个）.总共有84+120=204（个）严格单调三位数.变式3 的一个排列满足，且的排列有_个（用数字作答）.解析 由知，即共有（个）；，共有（个）.总共有12+18=30个不同的排列.题型168 其他排列：双排列、

21、同元素的排列思路提示双排列，把特殊元素、特殊位置先排好，再排其他元素.有相同元素的排列，先排好相同元素，再排其他元素.例12.19 8人排成两排，前后两排各4人，组成方阵.甲、乙不同排有多少排法？（3）甲、乙同排有多少排法？（3）甲、乙同排相邻或前后相邻有多少排法？（4）甲、乙不在两端有多少排法？（5）任意排列有多少排法？解析 （1）甲选一位，乙选一位，其他6人在6位任排，共有=种排法.甲、乙先选一排，再各选一位，共=种排法（或）.甲乙同排相邻，选一排，捆绑 ，捆绑后选一位，共有种排法；前后相邻，选一列，捆绑，共种排法.故共有+种排法.甲、乙在4位中选为，共种排法.变式1 有两排座位，前排11

22、个座位，后排12个座位.现安排2人就坐，前排中间3位不能坐，且此2人不能左右相邻，共有（ ）种坐法. A.234 B.346 C.350 D.363解析 解法一 前排左坐2人+前排右坐2人+前排左右各1人+后排2人+前后各1人=解法二 .故选B.变式2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”和“台阶”5个项目测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试1人.则不同的安排方式有_种（用数字作答）.解析 设四名同学为1,2,3,4.第一步，排上午，有（种）排法，如图12-31所示为

23、其中一种，身高与体重跳远肺活握力台阶上午1234下午 图12-31第二步，下午以“4”分类，（种）方法.（种）方法.故共有（种）方法.所以共有24x（2+9）=264（种）安排方法.变式3 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）. A. B. C. D.解析 从后排抽2人，有种方法，安排到前排有5x6=种方法，利用分步计数原理可知，共有种不同的调整方法.故选C.例12.20 3个“1”，2个“2”，1个“3”，排成一行，共有_种不同排法（用数字作答）.解析 举例：121123，则，第一步：确定“1”所占

24、3位，第二步：确定“2”所占2位，第三步：确定“3”所占1位，故共有种排法.评注 本题也用元素定序问题的方法求解，把相同元素看作书序一定，即有种排法.变式1 一个五位数由数字构成，这样的五位数有_个（用数字作答）.解析 2个“1”，1个“0”，“2”，“3”的排列减去其中0在首位者=,有48个这样的五位数.变式2 把“good”的字母顺序写错有_种写法（用数字作答）.解析 两个“O”，1个“g”，“d”的排列-1(唯一正确的写法=（种）.最有效训练题50（限时30分钟）某班要从6名同学中选出4人参加校运动会4100米接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，且甲、乙中必有一个跑第一棒，则共有（

25、）种不同的安排方案. A.24 B.72 C.144 D.360某小区有排成一列的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余4个车位连在一起，那么不同的停放种数为（ ）. A.16 B.18 C.24 D.32学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁4个景区中任选一个游览，则恰有2个班选择甲景区的选法共有（ ）种. A. B. C. D.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增一个商业广告和两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益广告既不能连续播放，也不能在首尾播放，则在不改变原有5个广告的相对播出顺序的前提下，不同的播放顺序共有（ ）种

26、. A.60 B.120 C.144 D.300若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从这六个数字中任选3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ）个. A.120 B.80 C.40 D.206.(2017辽宁抚顺一模,9)在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为( ) A.1 200B.2 400C.3 000D.3 600 7. (2016宁夏银川一模)三名同

27、学去参加甲、乙、丙、丁四个不同的兴趣小组,每名同学只能参加一个兴趣小组,去哪个兴趣小组可以自由选择,但甲小组至少有一人参加,则不同的选择方案共有() A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 8. （2017天津理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）有大小、形状（除颜色）相同的九个小球，其中红色的2个，白色的3个，黑色的4个，现将其排成一排，共有_种不同的排列方式.最有效训练题50（限时30分钟）1.某班要从6名同学中选出4人参加校运动会4100米接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，且甲、乙

28、中必有一个跑第一棒，则共有（ ）种不同的安排方案. A.24 B.72 C.144 D.3602.某小区有排成一列的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余4个车位连在一起，那么不同的停放种数为（ ）. A.16 B.18 C.24 D.323.学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁4个景区中任选一个游览，则恰有2个班选择甲景区的选法共有（ ）种. A. B. C. D.4.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增一个商业广告和两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益广告既不能连续播放，也不能在首尾播放，则在不改变原有5个广告的相对播

29、出顺序的前提下，不同的播放顺序共有（ ）种. A.60 B.120 C.144 D.3005.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从这六个数字中任选3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ）个. A.120 B.80 C.40 D.206. (2015辽宁抚顺模拟)将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个,其中标号为1,2的小球放入同一盒子中,则不同的放法共有() A.12种B.16种C.18种D.36种 7. (2016吉林长春二模)小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒,那