结构力学复习11位移法

1、2022/7/201第十一章位 移 法2022/7/20211-1 位移法的基本概念ABCPAA荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：AABCPAA附加刚臂附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩施加力偶使结点产生的角位移，以实现结点位移状态的一致性。ABC2022/7/203ABCPAA实现位移状态可分两步完成：分析：1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束

2、力；2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结点位移。2022/7/204P12345BBAB选择基本未知量物理条件几何条件平衡条件变形条件2022/7/205位移法基本作法小结:（1）基本未知量是结点位移；（2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；（3）建立基本方程分两步单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;（4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。ABABCPCPA关于刚架的结点未知量2022/7/2061MABMBA11-2 等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩（1）由杆端弯矩 MABMBAlMABMBA利用单位荷

3、载法可求得设同理可得1 杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角A、B ，弦转角 /l都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。E I2022/7/207E IMABMBAlMABMBA（2）由于相对线位移引起的A和B以上两过程的叠加我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：2022/7/208AB用力法求解单跨超静定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11令2022/7/209可以将上式写成矩阵形式2022/7/2010AMAB几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座AMABMBA因B = 0，代入(1)式可得（2）远端为固定铰支座因MB

4、A = 0，代入(1)式可得AMABMBA（3）远端为定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI2022/7/2011由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1AB10AB=13i0AB=1ii02022/7/2012二、由荷载求固端反力mABEIqlEIqlmBA 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：2022/7/201311-3 无侧移刚架的计算 如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称 为无侧移刚架。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMB

5、AMABMBC1、基本未知量B2、固端弯矩3、列杆端转角位移方程设4、位移法基本方程（平衡条件）2022/7/201416.72 15.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列杆端转角位移方程4、位移法基本方程（平衡条件）5、各杆端弯矩及弯矩图M图(1)变形连续条件:在确定基本未知量时得到满足；(2)物理条件: 即刚度方程；(3)平衡条件: 即位移法基本方程。超静定结构必须满足的三个条件:2022/7/2015例1、试用位移法分析图示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量 B、 C（2）杆端弯矩Mi

6、 j计算线性刚度i，设EI0=1，则梁2022/7/2016柱(3)位移法方程梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。2022/7/2017(4) 解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图梁柱AB CDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图2022/7/2018小 结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC2022/7/2019AEIlQABQBA复习角变位移方程中的杆端剪力：ABCDiiqq

7、QBAQDC其中绘制弯矩图的方法：（1）直接由外荷载及剪力计算；（2）由角变位移方程计算。ABCD11-4 有侧移刚架的计算2022/7/2020Ph1h2h3I1I2I3例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。解：1）基本未知量：2）各柱的杆端剪力侧移刚度J=3i/h2，则：Q1=J1， Q2=J2， Q3=J3Q1+Q2+Q3=PJ1+J2+J3=PPQ1Q2Q3iihJPJM=Qihi=iiJPJQ=P柱顶剪力：柱底弯矩：JhPJ11JhPJ33JhPJ223）位移法方程X=0M结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。2022/7/2021E

8、 IlQABQBAAB其中lABCDiii1=qq复习角变位移方程中的杆端剪力：绘制弯矩图.M（ql2）QDCQBA2022/7/2022MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDC例1. 用位移法分析图示刚架。解（1）基本未知量B、（2）单元分析BC8m4mii2iABCD3kN/m2022/7/2023MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程QBA + QCD =0.(2a)QBAQCD（4）解位移法方程2022/7/2024（4）解位移法方程（5）弯矩图MAB= -13.896 kNmMBA= -4.422kNmMBC= 4.422kNmMDC

9、= -5.685kNmQBA= -1.42kNQCD= -1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M图（kNm）2022/7/2025ABCDEFmq例2. 用位移法分析图示刚架。思路MBAMBCMCBMBEMEBMCDmMCFMFCQBEQCF基本未知量为：2022/7/2026PA BCDEFpQCEQCAQCB基本未知量为：MCEMCAMCDQCAQCEMCAMCDMCE2022/7/202711-5 位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点：基本未知量多余未知力；

10、基本体系静定结构；基本方程位移条件 （变形协调条件） 位移法的特点：基本未知量 基本体系 基本方程 独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁2022/7/2028二、基本未知量的选取2、结构独立线位移：（1）忽略轴向力产生的轴向变形-变形后的曲杆与原直杆等长；（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。 CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设： 1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。2022/7/2029线位移数也可以用几何方法确定。140 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支

11、座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。2022/7/20308m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)三、选择基本体系四、建立基本方程2022/7/20311.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0.(1)=0.(2)

12、k111+ k122+F1Pk211+ k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21= -1.5ik12= -1.5i2022/7/2032F1PABCDF2P4kNm4kNmMPF2P040F1P-6F1P=4kNmF2P=-6kN位移法方程：六、绘制弯矩图4.4213.625.691.4M(kNm)ABCD五、计算结点位移2022/7/2033k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P=0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP=0 121=1k11k21k12k222=1k11

13、0+k21 1 k21=k12= k12 1+k22 0ki j=kj i 具有n个独立结点位移的超静定结构：2022/7/2034例、试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量（2）基本体系计算杆件线性刚度i，设EI0=1，则4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0 1 23 1、 2、32022/7/2035 1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程k11 1+ k12 2+ k13 3+F1P=0 k21 1+ k22 2+

14、 k23 3+F2P=0 k31 1+ k32 2+ k33 3+F3P=0 （4）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k333241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2 2=134221k22=4+3+2=9k23=k32=?2022/7/2036 3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13= 9/8k32=k23= 1/2（5）计算自由项：F1P、F2P、F3

15、P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8) 2042=40(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7F3P=02022/7/2037（6）建立位移法基本方程：（7）解方程求结点位移：（8）绘制弯矩图ABCDFEM图（kNm）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校核结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。11-6 对称结构的计算PPMMQN对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：利用这些特点，可

16、以取结构的一半简化计算。NQ一、单数跨(1)对称荷载 1F1Pk11iBE2iAB4iABMPM1k11 1 + F1P = 0(2)反对称荷载PPABCDE 1 2 3ABEl/2P反弯点ABZ3 1ABEl/2q二、偶数跨(1)对称荷载qqCCM = Q = 0PPIN = 0PP反弯点P无限短跨+PP(2)反对称荷载12kN/m12kN/m12kN/m12kN/m24kN/m4m4m4mEIEIEI2EIEI2424 2472724208208M反对称M对称921643252M图(kN.m)4812kN/m12kN/mX1444M196MP12kN/mEIEIEI4m4m24 2472M反对称12kN/m12kN/m等代结构2472=112kN/m12kN/m12kN/mEIEI4m4m等代结构ACBMMMACABA0=+=iA2-=qiA0168=+qiMACA2=qiMAAC4=qiMAAB164+=qiMABA162-=q=20kN.m=8kN.m=8