数理方程10、11试卷及答案

1、共 6页第 1 页西安交通大学考试题课 程 数学物理方程 （A）学院 电气学院考 试 日 期2010年1月 20日专业班号姓名 学 号 期中期末一、填空题（6 4 分=24 分）在外力 f (x,t)(0 x l,t 0) 作用下，位移函数 u(x,t) 满足的弦振动方程为；如果左端（ x 0 ）固定，右端（ x l ）与弹性物体连接，则该定解问题的边界条件为。函数u(x, y) 满足 Laplace 方程是指满足形式的方程。Bessel 方程 x2 y xy (x2 r 2 ) y 0 （ r 不为整数）的通解可表示为 y(x) 。对非齐次边界条件ux |x0 f (t) ，u |xl g(

2、t) ，令u(x,t) v(x,t) w(x,t) ，取 w(x,t) ，可使vx |x0 v |xl 0 ，即边界齐次化。u a 2u 0, x , t 0如果(x;t) 满足： txx，则定解问题u(x,0) (x), x u a 2u 0, x , t 0 txx的积分解为。u(x,0) (x), x 二维和三维 Laplace 方程的基本解分别为和。题号一二三四五六七八九十合计成绩成绩第 2 页二、（8 分）验证函数u(x, y) f (3x y) g(x y)（其中 f , g 是任意两个 2 次连 2u 2u 2u续可微的函数）满足方程 x 2 2 xy 3 y 2 0 X (x)

3、 X (x) 0,0 x 三、（10 分）求解特征值问题 X (0) X ( ) 0第 3 页西 安 交 通 大 学 考 试 题四、（12 分）利用达朗贝尔公式求解下列无限长弦的自由振动问题 2u 2u4 t 2 x 2 0, x ,t 0uu x 2 , sin xt 0t 0t并给出点(x,t) (1,2) 的依赖区间，以及区间0,1的影响区域五、（12 分）利用特征函数法，求解定解问题u 2 u tx 2sin 2 x,0 x1,t0u x0 0,u x1 0u t 0 sin 2x第 4 页六 、（ 10 分） 设 (0) (m 1) 是 Bessel 函数 J () 的正零点， 将函

4、数m0 (0)f () 2 (0 2) 在函数系J ( m )下，展成 Fourier-Bessel 级数，02m1并化简。第 5 页西 安 交 通 大 学 考 试 题七、(12 分)利用 Fourier 变换，求解下面初值问题ut 4uxx 2u, x ,t 0 2（注：F (eax2 ) e 4a , a 0 ）u | e x , x at 0第 6 页八、（12 分）设 (x, y) | x 0， 是 的边界。右半平面上 Laplace 方程第一边值问题为u(x, y) 0,(x, y) u | ( y), y 试用对称法求出对应的 Green 函数，并写出解的积分表达式、化简。西安交通

5、大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：数学物理方程（A）课时：32考试时间:2010年 1 月 20日第 1 页一、填空题（6 4 分=24 分）1. utt a uxx f (x,t)； u(0,t) 0,ux (l,t) u(l,t) g(t) 2. uxx uyy 023. C1 Jr (x) C2 J r (x) 或C1 Jr (x) C2 Nr (x) 4.f (t)(x l) g(t)5. ( )(x ;t)d 6. 1 ln 1 ， 1 2r4r二、(8 分)证明： 因为 ux 3 f g ， uy f g ，2又 uxx 9 f g ， u yy f g ， uxy

6、 3 f g 6代入方程，证明等式成立。8三、（10 分）解：（1） 0 , X (x) C e x C e x ,12由 X (0) X ( ) 0 C1 C2 0 ，故 0 不是特征值。3（2） 0 ， X (x) C1x C0 ，由 X (0) X ( ) 0 C1 0，故 X (x) C0 0 是特征函数。6（3） 0 ， X (x) C1 cos x C2 sin x ，由 X (0) 0 C2 0 ，又由 X ( ) 0 n , n 0 是特征值，2特征函数是 X (x) cos nx 。9综上，特征值 n n ，特征函数 X (x) cos nx ， n 0 。 102四、（12

7、 分）解：由于(x) x2 ， (x) sin x ， a 1 ，22所以， 由达朗贝尔公式得：u(x,t) 1 1 2axat(x at) (x at) ( )d62xatx 1 t111(x t) (x t) sin 22222d21x t2 x2 1 t 2 2sin x sin 1 t842点(x,t) (1,2) 的依赖区间为x at, x at 0,2，10区间x1 , x2 0,1的影响区域为x1 at x x2 at ，即 1 t x 1 1 t 1222五、（12 分）解：u 2u 0 x 1,t 0(1)(2)(3)sin 2x 0 tx 2 0,uux0 x1u t 0

8、sin 2x由于对应齐次问题的固有函数系为 ，sin nx4(5)1所以设u(x, t) Tn (t) sin nx ，其中Tn (t) 待定n1代入(1)，得： T (t) n2(t)sin n x sin 2 x2Tnnn1从而有：T (t) 4(t) 12Tn 2(4)22T (t) n2(t) 0,2Tn 1,3,4,(5)8nn第 2 页把u(x,t) 代入(3)得：u t 0 Tn (0) sin nx sin 2xn1即： T2 (0) 1,Tn (0) 0,n 1,3,4,(6)联立(4)，(5)，(6)有T (t) 4 2T (t) 1T (t) n2 2T (t) 0nn

9、1,3,4,210T2 (0) 1Tn (0) 0求解上面两个初值问题可得：11)e4 2tT (t) (1 ， T (t) 0, n 1,3,4, 2n4 24 2所以u(x,t) (1 14 214 2)e4 2t sin 2x 12六、（10 分） (0)解: 设 f () 2 A J ，则 由系数公式m2（3）m 02m12 (0)2 2 d ，A 2 Jm5（6）0 m2J 2(0)00m(0)xn J (x) xn J m 2作变量替换， x，利用(x) ，分部积分7（8）n1n和递推公式 J(x) 2n J (x) Jn 1(x) ，取n1n1nx以及 J () 0 ， J (x

10、) J (x)，(0)90m018 (0) 2 4A m得到10m3 J(0)(0)m1m第 3 页七、（12 分）.解：对 x 做 Fourier 变换，得 u(, t) 4(i)2 u(, t) 2u(, t) 0t4u(,0) F (e|x| )() : F解此常微分方程的定界问题，得u(,t) Fe42t 2t7（8）x216t ，1F 1 (e4t 2 ) e9（10）又4 t取 Fourier 逆变换，利用卷积定理，得( x )2 e2t4 t e| |eu(x,t) e2t e|x| F 1 (e4t2 ) =d1216t八、（12 分）解：设 P0 ( ,) ， P(x, y)

11、 ，则 P0 关于 的对称点为 P1 ( ,)于是， 上的 Green 函数为21(x )2 ( y )2111GP; P0 ln =lnln7（8）2 r4(x )2 ( y )2rPP0PP1=- Gn=- Gx1又9（10） 2 ( y )2x0G( y) 2 ( y )2故 u(P0 ) u( ,) - n ds = dy （ ds dy ）12第 4 页共 6页第 1 页西安交通大学考试题课 程 数学物理方程 （B）学院 电气学院考 试 日 期2010年1月 20日专业班号姓名 学 号 期中期末一、填空题（6 4 分=24 分）长度为l 的导热杆，内部无热源，温度函数u(x,t) 满

12、足的热传导方程为；如果两端点( x 0,l )均绝热，则边界条件为。函数u(x, y) 满足 Laplace 方程是指满足形式的方程。设 Nn (x) 是第二类 Bessel 函数，则| Nn (0) | 。设 (n) (m 1) 为 J (x) 0 的正根，则关于 Bessel 方程的特征值问题mn 2 R R ( 2 n2 )R 0,0 2的特征值m ，R(2) 0,| R(0) | 特征函数 Rm () 。对非齐次边界条件ux |x0 f (t) ，u |xl g(t) ，令u(x,t) v(x,t) w(x,t) ，取 w(x,t) ，可使vx |x0 v |xl 0 ，即边界齐次化。

13、6. 设u(x, y), v(x, y) C 2 () ，则(uv vu) =。题号一二三四五六七八九十合计成绩成绩第 2 页二、（8 分）验证函数u f (x 2y) g(x 2y) （其中 f , g 是任意两个 2 次连续 2u 2u可微的函数）满足方程4 x 2 y 2 三、（10 分）求解函数u(x, y) 的定解问题uxy 1, y,u | x.u |x0y0第 3 页西 安 交 通 大 学 考 试 题四、（10 分）广义积分( ) x 1ex dx, 0 ，试证：01. ( 1) (), 0 ； 2. 1 2 第 4 页五、（12 分）用分离变量法求解下面定解问题，给出特征值问题

14、，特征函数系和解的一般形式。u 2u 1 u tr 2r r ,0r2,t0u r 2 0,u(0, t) u t 0 (r)六、（12 分）利用特征函数法，求解定解问题u 2u tx 22u,0 x1,t0ux x0 0,u x1 0u t 0 cos 2 x第 5 页西 安 交 通 大 学 考 试 题七、(12 分)利用 Laplace 变换，求解下面定解问题u a 2u ,0 x 1,t 0 txxu(0,t) u(1,t) 0,t 0（ a, h 0 为常数）u | h sin x,0 x 1t 0第 6 页八、（12 分）设 (x, y) | x 0, y 0， 是 的边界。在 上

15、Laplace 方程第一边值问题为 u(x, y) f (x, y),(x, y) u (x, y),(x, y) 试用对称法求出对应的 Green 函数，并写出解的积分表达式。西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：数学物理方程（B）课时：32考试时间:2010年 1 月 20日第 1 页一、填空题（6 4 分=24 分）1. ut a uxx 0 ； ux (0,t) ux (l,t) 0 2. uxx uyy 03. 2 (n) (n)4. ( m )2 ， J ( m ), m 1 5.f (t)(x l) g(t) 6. uv vu2n2二、(8 分)证明： 因为

16、ux f g， uy 2 f 2g，2又 uxx f g ， uyy 4 f 4g ， 6代入方程，证明等式成立。8三、（10 分）解： 由部分积分法， 先对 x 积分， 得uy x g1( y) ；2再对 y 积分， 得 u(x, y) xy f (x) g( y)4由定解条件， f (0) g( y) y6 f (x) g(0) x故 u(x, y) xy x y f (0) g(0) = xy x y ，9其中 f (0) g(0) 0 。10四、（10 分）解：1. 分部积分，直接计算得( 1) = x e dx =x (e) |0+ e dx x x x200 x 1e x dx0=

17、( )=0+4 x 1/ 2 e x dx02. (1/ 2) （令u x1/ 2 ）2= 2eu du = 2 I0（6）70ex2 dxe y2 dy = 2 2e( x y ) dxdyI 2（极坐标变换）00 0 / 2= d0 er2 rdr094r2=(e) |=04所以， (1/ 2) 。五、（12 分）10解：设u(r,t) R(r)T (t)，代入方程得R(r) 1 R(r)rT(t) = 2T (t)R(r)从而有特征值问题r 2 R (r) rR(r) r 2 R(r) 0（1）4u |r 2 0,| u(0, t) | 和方程T (t) T (t) 0（2）5(6)第

18、2 页此时方程(1)的通解为R(r) C1 J 0 ( r) C2Y0 ( r) 可知C2 0 ，由 u(r,t) r 0r2 0 知，要想使方程有非零解，则由uC1 0, J (2 ) 0 ，以(m 0) 表示 J (x) 的所有正零点，则（1）的(0)m0 (/ 2) ，(0)2特征值为mm (0)特征函数系为Rm (r) J 0 r ， m 1 m 7(8)2emt方程（2）的通解为 T (t) Amm( 0 )m )2(t2= Ame所以，由叠加原理，解的一般形式为( 0 ) (0)(t2m )2u(r, t) A J m e，9（10）m 02m1又由u |t 0 (r) ，知 (0

19、) m1(r)A J m ，根据系数公式，其中m 02 2(0)2 r(r)J 0 r dr 。Am m12 222J(0)00m六、（12 分）1解： 对应齐次问题的特征函数系为 cos(n )x，20特征值 (n 1)2 2 ， n 05(6)n2第 3 页1 n所以，设u(x, t) T (t) cos(n )x ，其中T (t) 待定n2n011n代入方程，得：T (t) (n ) 2Tn (t)cos(n 2) x 0222n1从而有：T (t) (n 1)2 2 2T (t) 0,n 0,1,2,3,4,7(8)nn2把u(x,t) 代入初值条件，得：T (0) cos(n 1)x cos x ut 0n22n1即： T0 (0) 1,从而，有Tn (0) 0,n 1,2,3,4, 21(t) (n ) 2Tn (t) 0T0 (t) ( 2)T0 (t) 022Tnn 1,2,3,T0 (0) 12104Tn (0) 0求解上面两个初值问题可得：(t) e