高中数学题型全面归纳（学生版）：2.3 函数的性质——奇偶性、单调性、周期性6

1、第三节 函数的性质奇偶性、单调性、周期性考纲解读理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.命题趋势研究有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.知识点精讲函数奇偶性定义设为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.性质函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

2、奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，则.运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.函数的单调性定义一般地，设函数的定义域为

3、D，区间，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数的一个增（减）区间.注：定义域中的具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的”.单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设且，则在上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零.在上是减函数过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零.性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增增=增”不一定成立；“若为增函数，则为减函数”也是错误的.

4、如，则为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:若为增函数，且或），则为减函数.若为减函数，且或），则为增函数.复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.函数的周期性定义设函数，如存在非零常数T，使得对任何，且，则函数为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个，都满足；若是周期函数，则其图像平移若干整数

5、个周期后，能够完全重合.性质若的周期为T，则也是函数的周期，并且有.有关函数周期性的重要结论（如表所示）函数的的对称性与周期性的关系若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.题型归纳及思路提示题型16 函数的奇偶性思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：定义法.首先看定义域是否关于原点对称；若，则函数为奇函数；若，则函数为偶函数.图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数的图像关于原点中心对称，则为奇函数；若函数的图像关于轴对称，则为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.；.

6、评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：首先必须判断的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足.有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.本例（3）若用奇偶性的等价形式，则，即，故为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1：判断下列函数的奇偶性.；.变式2：已知函数，试判断其奇偶性.【例2.26】已知函数

7、，试判断其奇偶性.评注 函数是奇函数；函数是偶函数.奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由与通过加法法则运算得到的函数，而为偶函数，为奇函数，故当时，为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当时，则为偶函数.变式1：函数是偶函数，并且不等于零，则是（ ）A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数变式2：对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【例2.27】定义在实数集上的函数，

8、对任意都有，且，试判断的奇偶性.评注 对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令等）凑成含有与的关系的式子，然后进行判断.变式1：已知函数在R上有定义，且对任意都有，试判断的奇偶性.变式2：若定义在R上的函数满足对任意有，则下列说法正确的是（ ） A.是奇函数 B.是偶函数 C.+1为奇函数 D.+1为偶函数变式3：已知函数在上有定义，且对任意都有，试判断函数的奇偶性.变式4：已知，在R上有定义，对任意的，有，且.求证：为奇函数；若，求的值.【例2.28】已知偶函数的定义域为，则_.变式1：若函数为奇函数，则（ ） 变式2：若函数是奇函数，则_.变式3：若是奇函数，则_.变式4：函数为常数）

9、为其定义域上的奇函数，则_.变式5：函数为其定义域上的奇函数，则_.【例2.29】已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则当时，=_.评注 解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1：已知函数为R上的奇函数，且当时，求函数的解析式.【例2.30】已知为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.变式1：已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.若，则=（ ） 变式2：设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（ ）A.是偶函数 是奇函数

10、是偶函数 是奇函数【例2.31】函数，若，则的值为（ ） 评注 本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当为奇函数时，特别地.变式1：对于函数（其中），选取的一组计算和，所得出的正确结果一定不可能是（ ）A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2变式2：已知函数，则( )A. B. C. D.4变式3：设函数的最大值为M，最小值为，则题型17 函数的单调性（区间）思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.【例2.32】求证：函数在上是增函数.评注 利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4

11、）判断.解题时注意所设的在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数对任意，满足，当时，求证：在R上是增函数.变式2：定义在R上的函数，当时，且对任意的，有.求证：；求证：对任意的，恒有；证明：是R上的增函数；若，求的取值范围.【例2.33】设是函数的一个减区间，则实数的取值范围是（ ） 变式1：下列区间中，函数在其上为增函数的是（ ） 变式2：已知函数为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是_.变式3：定义在R上的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间上是减

12、函数，在区间上是增函数在区间上是减函数，在区间上是增函数变式4：已知是R上的减函数，那么的取值范围是（ ） 题型18 函数的周期性思路提示； ； .（3）.【例2.34】已知函数对任意实数都满足，若，则_.变式1：函数对任意实数都满足，若，则_.【例2.35】已知函数满足，则_.【例2.36】已知函数是定义在实数集R上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0 B. C.1 D.评注 本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当时，.令，则.所以，令，得.因为，即.故.变式1：已知为非零常数，且，试判断的周期性.题型19 函数性质的综合思路提示（1）奇偶性与单调性综合解题，

13、尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.如函数的图象关于点和点中心对称，可得.，所以，可得.如函数的图象关于直线和直线轴对称，可得.，所以，可得.如函数关于点中心对称，且关于直线轴对称，可得.，所以，故，.【2.37】定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则当时，有（ ） 变式1：已知定义域为R的函数在区间上减函数，且函数为偶函数，则（ ） 变式2：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） 变式3：设

14、函数是奇函数，并且在R上为增函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） 变式4：设函数是公差不为0的等差数列，则（ ）A. 0 B. 7 C. 14 D. 21【例2.38】函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（ ）A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数变式1：定义在R上的偶函数满足，且在上单调递增，设，则的大小关系是（ ） 变式2：已知定义在R上奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ） 【例2.39】定义在R上的函数是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则=( ) 变式1：已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为（ ）A.6 B.7 C.8

15、D.9【例2.40】函数的定义域为D，若对任意的，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在上为非减函数，且满足以下3个条件：；，则( ) 变式1：定义在R上的函数满足，且当时，则_.变式2：设是定义在R上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为_.变式3：对于定义域为的连续函数，如果同时满足以下3个条件：对任意的，总有；若，都有成立，则为理想函数.若函数为理想函数，求的值域；判断函数是否为理想函数，并予以证明；若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证：.最有效训练题6（限时45分钟）已知函数，现使为减函数的区间是（ ） 已知函数，如果存在实数，使得对任意实数，都有，则的值是（ ）A.0 B.2 C.3 D.5函数的图象如图所示，则下列哪个区间是函数的单调减区间（ ） 已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（ ） 函数是以2为周期的偶函数，且当时，则的值为（ ） 设，若，则( ) 设函数是偶函