不定积分入门题答案(修订版v0.2)(1)

1、第一章 一元函数积分学1.1 有理函数积分Pm(x) Qn(x)dx第一步将假分式用长除法化为真分式R(x) + S(x)Q(x)dx第二步将分母化为因式相乘的形式S(x)R(x) + dxq1(x)q2(x) qk(x)第三步用待定系数法或者留数法将真分式化为部分分式R(x) +s1(x)q1(x)+s2(x)q2(x)+ +sk(x) qk(x)dx第四步部分分式有以下四种形式1 Adx = Aln(x a) xa2 A 1kk dx = A(x a) (xa) 1k3 x2+px+q dxBx+Cp p Bx + C dx = B(x +2 ) + C 2dxx2 + px + qp p

2、2(x + 2 )2 + q 4p p= pB(x + 2 ) ) + d(x + d(x + p)C 2p p2 p p22 (x +2 )2 + q (x +2 )2 + q 4 4pp2d(x + 2 + q p d(x + p)2 )B2 ) 4+ (C =p p2 p p22(x + 2 )2 + q (x +2 )2 + q 4 4ln 4 (x + q)2 + q 2 2+ qB p2p C x +p p= arctan2 2p2 p2q q 4 44 Bx+C(x2+px+q)k dx 有递推公式p pBx + C B(x + 2 ) + C dx = 2h 4 ik dx(x

3、2 + px + q)kp p2(x + 2 )2 + q 取 t = x + p2 , m = C 2 , n = q pp2原式化简为4Bt + mB + d(t2 + n) m 2 dt = dt(t2 + n)k (t2 + n)k (t2 + n)k1.1 有理函数积分例题 1.1 求积分 解x+3x2+2x+4 dxx + 3 dx = x2 + 2x + 4x + 32 dx(x + 2)设 x+3(x+2)2 =因此Ax+2 +B(x+2)2解得A = 1x + 3 1B = 1 +2 =x + 2(x + 2) x + 3 dx = x + 32 dxx2 + 2x + 4

4、(x + 2)12(x + 2)= 1x + 2+12 dx(x + 2)= ln (x + 2) 1x + 2+ C例题 1.2 求积分 解97xx2+12x+38 dx9 7x 7 (x + 6) + 51 dx =d (x + 6)x + 12x + 38 22 + 2(x + 6)令 t=x+6, 则有原式 = 7t + 51t2 + 2dt例题 1.3 求积分 方法 1: 三角换元= 7 dt + 51 t2 + 2 t2 + 2t 1dtd t2 + 2 2 + d 72 1 51 1 tt2 + 2 2= 22 2t+ 12 arctan 21.1 有理函数积分方法 2: 分母次

5、数高, 用分部积分降低次数解x2dx = (a2 + x2)2x xdx(a2 + x2)21=1= d x2 + a2x(a2 + x2)21xdx2 + a2例题 1.4 求积分 1(a2+x2)2 dx, a 0解 a2 2 dx =1 1(a2 + x2)1x= 2x2 + a21x= 2x2 + a2a22 dx(a2 + x2)+ 12 1x2 + a2dxarctan a + C2a1 x=a12 a2 + x2 x22 dx(a2 + x2)=a2 11a2 + x2 (a2 + x2)2a2 1 x2dx dxa2 aarctan a 2 + + Carctan 1 x 1

6、1 x 1 xa3 x2 + a2 2a 1 x 1 x arctan + + C2a3 a 2a2 x2 + a2从这一题来看, 这种题目都可以归结为求上一道例题的积分, 当然, 最终选择用三角函数换元, 还是分部积分降次便是见仁见智了.例题 1.5 求积分 11+x3 dx解 dx = 1 1dx1 + x3 (1 + x) (1 x + x2)3 1 + x 1 x + x1 2 x= + 2 dxln x2 x + 11 1= ln (1 + x) 3 21.1.1 组合积分法 (积木法 by 魏念辉)+ 3 arctan 3 1.1 有理函数积分再改变一下分母的形式 1 dx = 1

7、dxx6 + 1 (1 + x2) (1 x2 + x4)这时分子改成 1 x2 + x4 也很好积分2注意到 12x+x4 dx 也是一个比较好积分的函数1x1 x dx = 1 21x2dx1 + kx2 + x4 1x2 + k + x2= x dxx 1 x x 12 2 + k= 11 x dx 2 x 2 + k1x 因此分子可改成 1 + x2 2综上所述, 现有 x6 + 1, x5, x2, 1 x1 x2 + x4, 1 x4, 1 + 2x2 + x4 六块积木现在用这六块积木组成分子2 x2 + 2 + x4 + 411 = 1 x 1 x2 1 + 2x2 + x4

8、2 x2 + 411 = 1 x. . .则有2 x2 + 2 + x4 + 41 1 x 1 x1 dx = dxx + 1 x + 1 23 11 + x2d x + x11 1 2 + dx dx3=x + x2 1 + (x3)143 ln x2 + 3x + 1! x2 1 1 1 3x + 1= arctan x arctan x3 +6 23#+ C例题 1.7 求积分 sin x+ cos x sin x+ cos x dx解 选取积木 sin x + cos x, cos x sin x 则有dx = 2 + 2 1.1 有理函数积分 1 dx = 14 + tan2 x s

9、ec2 xdx4 + tan2 x 4 + tan2 x3dtan x3 1 = dx 1 + 2 22tan x1 1 tan x=x + Carctan 2 1.1 有理函数积分2 1 + x2 + 211 x 1 dx = dxx4 + kx2 + 1 x4 + kx2 + 12 dx1.1 有理函数积分解1 + x41 + x6dx = 1 + x43 dx1 + (x2)= = = = 1 + x4dxdx(1 + x2) (1 x2 + x4)1 + x4 x2 + x2(1 + x2) (1 x2 + x4)1 x2dx + dx1 + x2 (1 + x2) (1 x2 + x

10、4)1 dx + x2dx1 + x2 1 + x6= 1dx +1 + x21dx321 + (x3)= arctan x +13arctan x3 + C例题 1.15 求积分 解1x(x3+27) dx1 dx =x(x + 27) 3x2dxx3(x3 + 27)=11dx3x3(x3 + 27)=811 1 1x3 x3 + 27dx381 ln x3 ln x3 + 271ln x3 + 271.1 有理函数积分解sin x cos xdx =sin x + cos x1(sin x + cos x) 2 12 1dxsin x + cos x 12 = sin x + cos x

11、 1dxsin x + cos x 12 1sin x + cos x 2 sin = dx 4x +2 ln 2 x + 1 1= cos x + sin x tan42 2 4例题 1.18 求积分 e3x+ex2x+1 dxe4xe解e3x + ex e2x + 1 dx = e4x e2x + 1 e4x e2x + 1 t2 + 1dex= = dt dtt4 t2 + 11 + 1t2t2 1 +1t2= 1 1d t 1.1 有理函数积分例题 1.20 求积分 xndxnxii! i=0解 注意到 i! 1.1 有理函数积分例题 1.22 求积分 tan xdx解 tan xdx

12、 = td arctan t2= 2 t2dt1 + t4= t2 + 11 + t4+t2 11 + t4dt1 + 1 11 = = + dtt2 t2t2 + t2 t2 + t21 1d t d t t t + 11 t t + 212 t 2+ 2t + 1arctan 2 1.2 有理三角函数积分1.2 有理三角函数积分定义 1.1对于函数 R(u, v), 我们称自变量 u,v 经过有限次四则运算得到的函数为有理函数. 特别地,R(cos x, sin x) 称作有理三角函数, 而 R(cos x, sin x)dx 则称作有理三角函数积分.1.2.1 万能公式sin x = 2

13、t1+t2cos x = 1t21+t2dx = 2 1+t2 dt, 其中t = tanx2证明定理 1.1 (万能公式)x xsin x = 2 sin cos2 2 x2 sin x22= cos2 xcos2x 1= 2 tan 2tan 2 x + 122t=1 + t 2x x2 2cos x = cos sin221 1= + 1 2tan cot 2 x 2 x + 12tan 2 x12= + 12tan tan 2 x 2 x + 121 t2=1 + t 2万能公式应只用于以下两种函数, 不然计算量会很大, 甚至算不出来case 1 1a sin x+b cos x+c

14、dx1 dx = a sin x + b cos x + c1a 2t 1t21+t2 + b1+t2 + c2dt1 + t2= 2dt(b + c) t2 + 2at + b + ccase 2 1m dxsinn x(1cos x)1m dx = sinn x (1 cos x)= 111 21+t2 n 1+t2 dtm2t 21t1 + t21 2 1 + t2m+n1m dt(2t) 2) n (1 + t2) (1 t1.2 有理三角函数积分例题 求积分 1.231 dx3+5 cos x解 利用万能公式代换例题 1.24 求积分 方法 1: 半角公式 1 dx = 3 + 5

15、cos x= =14=1411+sin x+cos x dx13 + 5 1+t2 1t212 dt4 tln t 2 t + 2+ Cln 2 2tan x 2 + 2tan x21 + t2+ Cdt解方法 2: 万能公式1 dx = 1dx1 + sin x + cos x 2 cos 2 + 2 cos2 2 11 + 2 sin x x x= 1 12 2 dx2 cos x sin x x2 + cossec2 x= x d2 + 12tan x 2= ln + 1tan + Cx2解 利用万能公式代换1 dx = 1 1 + 1+t2 + 1+t2 1 + sin x + cos

16、 x2t 21t= 1dtt + 1= ln + 1tan + Cx22dt1 + t21.2.2 倍角法这一方法的证明及引入较为冗长, 不妨我们先来看一个习题, 来见识一下它的威力例题 1.25 求积分:解cos8 xdxcos8 xdx = 1(35 + 56 cos 2x + 28 cos 4x + 8 cos 6x + cos 8x)dx128=35x +128716sin 2x2+732sin 4x4+116sin 6x6+sin 8x8+ C下面我们来详细的讲解这一方法, 由于我们需要用到棣莫弗公式, 因此我们先引入复数的概念.1.2.2.1 复数的引入记i = 1121.2 有理

17、三角函数积分图 1.1: 复数加法一个复数的一般形式为 z = x + yi, 我们称 x 为实部,y 为虚部, 记作Re(z) = x Im(z) = y 与其配对的, 有另一个复数 xyi, 可以看见, 这个复数的实部与它相同, 虚部为其相反数, 由于它们两个配对出现的情况很常见, 因此我们称 x yi 为 x + yi 的共轭复数, 记作z = x yi不难发现, 当虚部 y = 0 时,z 就是实数, 因此实数域应该完全包含于复数域, 记作其中复数域记作 C.R C可以看见, 如果我们要定义复数的运算, 那它的运算法则必须满足实数的运算法则.z1 = x1 + y1i z2 = x2

18、+ y2i加法:z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)减法:z1 z2 = (x1 x2) + i(y1 y2)乘法:z1z2 = (x1 + y1i)(x2 + y2i)= (x1y2 x2y1) + (x1y2 + x2y1)i除法:z1z2=x1 + y1ix2 + y2i=(x1 + y1i)(x2 y2i)(x2 + y2i)(x2 y2i)x1x2 + y1y2x2y1 x1y2+ ix2 + y22 2 + y22x2 类似地, 我们将复数与复平面上的点 (或者说向量) 一一对应, 复数 z = x + yi 在复平面上对应的向量为 (x, y), 那么

19、上述 4 种运算就在复平面上拥有了几何含义. 不难发现, 加法和减法就是对两个复数做向量的加减法, 那么乘除法呢? 那首先我们需要用极坐标来表示复数 = px2 + y2 x = cos y = arctan y = sin x131.2 有理三角函数积分此时z = (cos + i sin )我们称 为复数的模, 为复数的辐角, 记为 = |z| = arg(z) 很容易想到, 对于同一个复数 z, 对应的辐角有无数个, 其中满足 0 2 的 称作主辐角, 也称作 z 的主值, 辐角与主辐角满足这样的关系现在我们引入欧拉公式. = 2k, k = 0, 1, 2, 定理 1.2 (Euler

20、 公式)ei = cos + i sin 证明 有 T aylor 展开同时我们注意到Xxn x2 x3 x4 x5ex = 1 + x + 5! + + +n! 2! 3! 4!n=0Xn x2n+1x3 x5 x7sin x = (1) 5! 7! = x +(2n + 1)! 3!n=0Xn x2nx2 x4 x6cos x = 4! 6! (1)= 1 +(2n)! 2!n=0i1 = i i2 = 1 i3 = i i4 = 1因此有可见 x2 x3 x4eix = i0 + i1x + i2 + i3 + i4 2! 3! 4!Xxn=inn!n=0 x3 x5 x7i sin x

21、 = ix i 7! + i 5! i3! x3 x5 x7= i1x + i3 + i5 + i7 3! 5!7! Xx2n+1=i2n+1(2n + 1)!n=0 x2 x4 x6cos x = 1 4! 6! +2! x2 x4 x6= i0 + i2 + i4 + i6 2! 4!6! Xx2n=in(2n)!n=0 x5+ i55! eix = cos x + i sin x141.2 有理三角函数积分 以上仅为简单的欧拉公式的引入, 因为没有证明 T aylor 展开在复数域是否成立, 这个证明是有缺陷的, 不过考虑到我们讨论的主要对象并非欧拉公式本身, 因此这里的不严谨且放过吧.

22、 由此可以得到复数的指数 形式z = (cos + i sin ) = ei此时, 复数的乘除法可表示为i(1+2) z1z1z2 = 12ez2=12ei(12)即, 复数的乘除法表现为模相乘除, 辐角相加减.此时我们可以得到复数的幂z = ei = (cos + i sin )zn = nein = n(cos n + i sin n)当 = 1 时, 即得棣莫弗公式.定理 1.3 (De Moivre 公式)(cos + i sin )n = (cos n + i sin n)取cos x + i sin x = ycos x i sin x =1y则有2 cos x = y +1y2i

23、 sin x = y 1y因此12n cosn x = (y + )nyk=0 k !Xnn=y2kn1(2i)n sinn x = (y )nyk=0 k !Xnnnky2kn= (1)k=0 k !Xnn=i2n2ky2kn151.2 有理三角函数积分三角函数 2n 次幂展开有22n 0 ! + 1 ! + + n !#y2n 1.2 有理三角函数积分cos2 x =cos3 x =cos4 x =cos5 x =cos6 x =cos7 x =cos8 x =1(1 + cos 2x)21(3 cos x + cos 3x)(3 + 4 cos 2x + cos 4x)4 181(10

24、cos x + 5 cos 3x + cos 5x)16 1(10 + 15 cos 2x + 6 cos 4x + cos 6x)(35 cos x + 21 cos 3x + 7 cos 5x + cos 7x) (35 + 56 cos 2x + 28 cos 4x + 8 cos 6x + cos 8x)32 164 1128记通项公式过于复杂, 因此我们可以依靠杨辉三角辅助记忆 (来自魏念辉)11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1可以

25、看到,n 次幂三角函数降幂系数符合杨辉三角相应行数系数的半边, 比如 cos7 x 的展开系数为1 cos 7x + 7 cos 5x + 21 cos 3x + 35 cos x1 7 21 35 35 21 7 1再比如 cos8 x 的展开系数1 cos 8x + 8 cos 6x + 28 cos 4x + 56 cos 2x + 351 8 28 56 70 56 28 8 135中间的 70 取半需要注意的是,sin x 的奇次幂展开是 sin nx, 其他都是 cos nx, 并且 sin x 的展开会有 1 的出现, 其规律满足 (1) n2 例题 1.26 求积分 方法 1:

26、 二倍角公式sin4 x cos2 xdx解sin4 x cos2 xdx = sin2 x sin2 x cos2 xdx= (1 cos 2x) 2 sin2 2xdx41=sin2 2xdx 16 1cos 2x sin2 2xd (2x)171.2 有理三角函数积分=11 cos 4xdx 2148sin3 2x=1x 16164sin 4x 148sin3 2x + C方法 2: 倍角法解sin4 x cos2 xdx = sin4 x sin6 xdx= 1 1 1 116 cos 2x cos 4x + cos 6xdx32 16 32 1 1 1 1= x sin 6x + C

27、sin 2x sin 4x +16 64 64 192来几个习题做一下 练习 1.1 求积分 练习 1.2 求积分 练习 1.3 求积分 练习 1.4 求积分 练习 1.5 sin9 xdxsin4 x cos4 xdxsin3 x cos7 xdxsin9 x cos3 xdxsin8 x cos2 xdx 练习 1.6 求积分 练习 1.7 求积分 sin8 x cos3 xdxsin7 x cos3 xdx1.2.3 缩分母对于类似于 1+s1in x dx, 11+cos x dx 的积分, 我们需要将多项的分母缩项, 因为多项的分母是不好处理的, 与其考虑多项的分母, 不如将其转换成

28、多项的分子, 这样积分就可以拆开计算. 具体的缩分母技巧如下: 例题 1.27 求积分 1+cos x dx1方法 1: 同乘共轭表达式解1 dx = 1 + cos x= (1 cos x)dx(1 + cos x) (1 cos x)(1 cos x)dxsin2 x= cot x + csc x + C注 请进行连续修正 可见, 同时乘以共轭表达式会让原来的 方法 2: 二倍角公式1+s1in x dx,11+cos x dx 变成(1sin x) cos2 x ,(1cos x)sin2 x 这样分母就缩项了181.2 有理三角函数积分解1 dx = 1dx1 + cos x2 cos

29、2 x2= sec2x x d2 2x= tan + C2例题 1.28 求积分 解sin x1+sin x dx sin x dx = 1 + sin x= sin x (1 sin x)dx(1 + sin x) (1 sin x)sin x sin cos2 x2 xdx= sec x tan2 xdx= sec x tan x + x + C 例题 1.29 求积分 sin x+cos x dx1方法 1: 共轭 (不推荐)解 同乘共轭表达式1 dx = sin x + cos x= cos x sin xdx(sin x + cos x) (cos x sin x)cos x sin

30、 xdxcos 2x可以发现, 化简到了这一步后面就可能不知道怎么写了, 因此这个题不推荐用共轭来做, 当然, 也是能做出来的1 dx = sin x + cos x= cos x sin xdx(sin x + cos x) (cos x sin x)cos x sin xdxcos 2x= 1 d sin x + cos 2x1d cos xcos 2x= d sin x + 1 1d cos x1 2 sin 2 cos2 x 12 xln 1 ln 2 cos x + 122 sin x + 1 2 2 cos x 1= + + C2 sin x 4 4方法 2: 辅助角公式解1 1d

31、x = 2 sin 4 dxsin x + cos xx + 2x = + 2 2ln tan 8 + C191.2 有理三角函数积分1.2.4 关于三角函数的奇函数若 R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x) 或 R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) , 则应凑出 d sin x 或 d cos x, 令 t = cos x, 则形成关于 t 的有理函数例题 1.30 求积分 1sin2 x cos x dx 解 1 1 d sin xdx = sin2 x cos x sin2 x cos2 x= 1 t2 (1 t2)dt= 1

32、dt + 12 dtt21 tln t + 11 1 2t 1= t + C= sin x ln sin x + 11 1sin x 12+ C例题 1.31 求积分 解cos3 x2 cos x1+sin2 x+sin4 x dxcos3 x 2 cos x cos2 x 2dx = d sin xd sin x1 + sin2 x + sin4 x 1 + sin2 x + sin4 xsin2 x 1= 1 + sin2 x + sin4 xt2 + 1= dt1 + t2 + t41 + 1= = dtt21+ 1 + t 1.2 有理三角函数积分 12 21 t2 + 1 t2 1

33、=2 dt 2 dt(t2 1) (t2 1)1 + 12 2 t2 1 t2= 2 dt dt t t 12 d t 1.2 有理三角函数积分 p1 + x2dx =2 dxxp1 1 + x2 + 11 + x22 hxp1 + x2 + ln x + p1 + x2i1+ C例题 1.34 求积分 dx 5+4 cos x(2+cos x)2sin x方法 1: 积木法 (魏念辉)解 注意到 5 + 4 cos x = (2 + cos x)2 + sin2 x, 选取积木 (2 + cos x)2 和 sin2 x, 则有5 + 4 cos xdx = = (2 + cos x)2 s

34、in x(2 + cos x)2 + sin2 x (2 + cos x)2 sin xdx1 sin xdx + dxsin x (2 + cos x)2= ln (csc x cot x) +12 + cos x+ C1.2.5 关于三角函数的斜向对称函数若 R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), 那么我们就要想办法凑出 d tan x, 然后令 t = tan x例题 1.35 求积分 11+cos2 x dx 解1dx = 1 + cos2 xsec2 xdxsec2 x + 1= 1d tan xsec2 x + 1= 1 2 + tan2 xd ta

35、n x2 arctan 2 1.2 有理三角函数积分笔记 注意, 此题做到此处还没完, 注意到, 我们求出来的原函数限制了 a 和 b 的范围不能为 0, 因此我们做 完的仅仅只是 a= 0 b =0 的情况, 下面我们来进行进一步的分类讨论解 续上文, 当 a= 0 b = 0 1 dx = 1dxa2 sin2 x + b2 cos2 x a2 sin2 x1= cot x + Ca2当 a = 0 b= 01dx = a2 sin2 x + b2 cos2 x 1=b21dxb2 cos2 xtan x + C例题 1.38 求积分 解12 x dxsin4 xcos1 1dx = d

36、tan xsin4 x cos2 xsin4 x= cot2 +1d tan x2= 1 + t2dt2t4t4 + 2t2 + 1= dtt4= t 2t 13t3+ C= tan x 2 cot x 13cot3 x + C例题 1.39 求积分 解1+sin x+cos x1+sin2 x dx1 + sin x + cos x dx + sin x dx + dx = 1 cos xdx1 + sin2 x 1 + sin2 x 1 + sin2 x 1 + sin2 xsec2 x 1dx 1 2 cos2 x= d cos x + d sin x1 + 2 tan2 x 1 + s

37、in2 x2= + + arctan (sin x) + Carctan 2 tan xln cos x + 22 2cos x 2 41.2.6 统一角度当被积函数中出现不同角度的三角函数时, 先统一角度二倍角公式:例题 1.40 求积分 sin x sin 2x dx1231.2 有理三角函数积分解1 dx = sin x sin 2x1dx2 sin2 x cos x= 1d sin x2 sin2 x cos2 x2 1t2 (1 t2)= dt 12 1 1t2 1= t2 dtln t + 1+ C1 t 11= 2t 4= 2 sin x ln sin x + 1 sin x 1

38、1 14+ C例题 1.41 求积分 解12 sin x+sin 2x dx1 dx = 2 sin x + sin 2x1dx2 sin x + 2 sin x cos x= 1dx2 sin x (1 + cos x)= = 11+t2 1+t2 2 2t1 + 1t21 + t2 dt4t21 + t2dt=14 14ln |t| + 2t 2 + Cln 2 tan+ 2 tan2xx2+ C例题 1.42 求积分 解 (南方喵)cos 2xsin 2xsin x+cos x dxcos 2x sin 2x dx = sin x + cos xcos2 x sin2 xdx 2 sin

39、 x + cos xsin x cos xdxsin x + cos x= cos x sin xdx 2 sin x cos x2 d (sin x cos x)(sin x + cos x)= cos x sin xdx + 1 2 sin x cos x1 t2dt= cos x sin xdx + 1 t 1 + t2 12dt t2 1= cos x sin xdx t2 2dt22 ln t + 2 t 1 2= sin x + cos x t + C241.2 有理三角函数积分= 2 cos x 22 ln 2(sin x cos x) + 1 2(sin x cos x) +

40、C解cos 2x sin 2xdx = sin x + cos xcos2 x sin2 x sin x + cos xdx 2 sin x cos xdxsin x + cos x= cos x sin xdx (sin x + cos x) 2 12 1dxsin x + cos x= cos x sin xdx sin x + cos xdx + sin x + cos x1dx= 2 cos x + x + 1 d 4 2 sin 4 x + 2= 2 cos x + x + x + + Cln csc 4 cot 4 21.2.7 积化和差定理 1.4 和差化积: + sin + s

41、in = 2 sin 2 cos2 + sin sin = 2 sin 2 cos + 2 cos + cos = 2 cos 2 cos + 2 cos cos = 2 sin 2 sin2积化和差: 2 sin sin = cos ( ) cos ( + )2 cos cos = cos ( + ) + cos ( ) 2 sin cos = sin ( ) + sin ( + )证明 我们有三角函数展开公式sin ( + ) = sin cos + cos sin sin ( ) = sin cos cos sin cos ( + ) = cos cos sin sin cos ( )

42、= cos cos + sin sin 251.2 有理三角函数积分则可得积化和差公式 2 sin sin = cos ( ) cos ( + )2 cos cos = cos ( + ) + cos ( ) 2 sin cos = sin ( ) + sin ( + )记 A = + , B = , 则有A + B2 sin2A + B2 cos 2A + B2 sin 2sincoscosA B2A B2A B2= cos (B) cos (A)= cos (A) + cos (B)= sin (B) + sin (A)整理可得A + BA B sin A + sin B = 2 sin

43、cos2 2 A + BA B cos A + cos B = 2 cos cos2 2A + B A Bsin A sin B = 2 cos sin2 2A + B A Bcos A cos B = 2 sinsin2 2例题 1.43 求积分 解sin 2x sin 3xdxsin 2x sin 3xdx =1cos x cos 5xdx2 sin 5x1.2 有理三角函数积分 ln t + 22t 2= t + + C4= (sin x + cos x) + + C ln (sin x + cos x) + 22 (sin x + cos x) 24注 注意到, 这一题和前面的例题1.

44、42做法是一样的, 这给我们了一个启示, sin x + cos x 与 sin x cos x 是 可以相互转换的, 即(sin x + cos x) = cos x sin x = (sin x cos x)(sin x cos x) = cos x + sin x = sin x + cos x同时我们注意到 2 sin x cos x = (sin x + cos x)2 1 = 1 (sin x cos x)2 因此, 在积分中我们可以利用这种关系例题 1.45 求积分 解sin x cos xsin4 x+cos4 x dxsin x cos x dx = sin x cos x

45、sin2 x + cos2 xdxsin4 x + cos4 x2 2 sin2 x cos2 x= sin x cos xdx1 2 sin2 x cos2 x 14 1= d cos 2x d cos 2xd cos 2x1 2 2x1 14 1= 1 2 2x)12 1 + cos2 2x1= arctan (cos 2x) + C2解sin x cos xdx = sin4 x + cos4 xtan x sec2 x tan4 x + 1dx= tan xd tan xtan4 x + 1= 1=2tdtt4 + 1arctan tan2 x+ C例题 1.46 求积分 解1sin6

46、 x+cos6 x dx1dx = sin6 x + cos6 x1sin2 x + cos2 x 2 x cos2 x + cos4 x sin4 x sindx271.2 有理三角函数积分= 1 sin4 x sindx2 x cos2 x + cos4 x= 1dxsin2 x + cos2 x2 2 sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x= 1dx1 3 sin2 x cos2 x= 4 1dx4 3 sin2 2x= 2 1d tan 2x4 sec2 2x 3 tan2 2x= 2 1d tan 2xtan2 2x + 4= arctan 2 1.2 有理三角函数积

47、分解 注意到 sin x+cos x (sin x+cos x)2 , 因此有sin x = 1(sin x + cos x)188 sin x + cos x1.3 分部换元积分1.3 分部换元积分1.3.1 换元积分法换元法的根本目的是将被积函数不明显的性质变得明显, 并利用这样的性质打开局面.1.3.1.1 整体换元当被积函数中出现 p一次函数, q ax + b 或是 q一次函数 , e一次函数 eax+b 时, 利用整体换元eaxb例题 1.50 求积分 qx+1 dxx解 令 t = qx+1 , 则可以得到x rx dx = t2tdx + 1 1 t2 2t2= 2 dt(1

48、t2)= t2 d 21 t(1 t2)= td 2 1.3 分部换元积分= (x + 1) rxx + 1+12ln qx+1 + 1xx+1 1qx+ C注 对于被积函数整体换元的积分, 在换元后直接分部积分.x q例题 1.51 求积分 x dx 1 x+1解 令 t = qx+x 1 , 则 x =1t21xrxdx = t2 1td t2 11.3 分部换元积分注 请积累 x 1 例题 1.53 求积分 q1+x + qdx1x 1+x1x普通解法:dx = p1 x2 + Cx2解 r1 x1 + x+ r dx = r dx r 1 + x 1 xdt1 t1 x1 + x 1

49、+ t= xr + r1 + x 2arc tan r 1 x 1 x 1 x1 + x 1 + x 1 + t#tr + r1 + t 2arc tan r 1 t 1 t 1 t1 + t= xr + r1 + x 2arc tan r 1 x 1 x 1 x1 + x 1 + x+ xr1 x r + 2arc tan r 1 + x 1 + x 1 + x+ C1 x 1 x分子有理化解 r1 x1 + x+ r1 + xdx = 1 x 1 +1 xx2= 21 dxx2= 2arc sin x + C1 + x1 dxx2例题 1.54 求积分 解xexedxx2xex xdedx

50、 = 2 e x 2x 2= 2xex 2 2 ex 2dx= 2xe td ln t2 + 2x 2 2 = 2xex 2 4 t2 + 2t2dt= 2xex 2 4t + 42 arctan 21.3 分部换元积分例题 1.55 求积分 解 14 dx3(x+1)2(x1)1 dx = 1q rdx3 x+1 2 (x 1)43(x + 1) x13 (x 1)3(x + 1)= 1 (x2 1)dxqx1 x+13= d t3 1t31 2t3+1t2 t3 1t423 t= 2 dt(t3 1)3 1= dtt2=3 + C2tr3 x + 132x 1+ C更刁钻的凑微分方法解 (

51、月临)1 dx = 1q rdxx1 2 (x 1)23 3(x + 1)46x+1(x 1)= 1dx2 x1 x+123(x 1)d x 11.3 分部换元积分解 令 t =x, 则有6(1 + 31x) xdx = 6t5(1 + t2) t3dt= 6t2dt1 + t2 = 6t 6 arctan t + C= 66 x 6 arctan 6 x + C例题 1.57 求积分 解 令 t = ex6 , 则有1x x x1+e 2 +e 3 +e6dx1x x x1 + e2 + e3 + e6dx = 11 + t3 + t2 + t 6dtt= 1 (1 + t) (1 t +

52、t2) + (1 + t) t = 6 1dtt (1 + t) (1 + t2)6dtt= 6 1 1 1 1 t + 1 t 2 1 + t 2 dt1 + t2 3= 6 ln t 3 ln (t + 1) 3 arctan t + Cln t2 + 12= x 3 ln 6 + 1 ln 3 + 1e e 3 arctan e6 + Cx x x321.3.2 三角换元 若被积函数中出现 p二次函数, 则采用三角换元例题 1.58 求积分 1x2x2+2x+1 dx解 我们注意到 2x2 + 2x + 1 = 2 2 x + 1 + 12 0 恒成立, 因此被积函数中 x 的定义域为

53、x (, ), 2因此需要分类讨论1 x 0 dx = 1 1x2x2 + 2x + 1x2qdx 2 + 2x +1 x2= 1 1dqx2 + 2x +1 x2= t1dt2 + 2t + 2= 1q d (t + 1)(t + 1)2 + 1= ln 2 + 1t + 1 + q(t + 1)+ C341.3 分部换元积分cos = ln + 1 + s + 1+ 1 2n + 1 2n 1dt2n 2ncos t1.3 分部换元积分解 (魏念辉) 令 t = r2 + q2 + p2 + 2 + x, 则 x = 2 + 2n1 Pk( 2k1 ) c2n1+k1(1)2n1k t2k

54、k=1 s2 + r2 + q2 + 2 + xdx = = tdx2Xn1 k 2k1 n c2n1+k12kdt2 (1) tk=1k 2k1 2Xn1c2n1+k1n2k+1 + C= 2 (1) 2k + 1 tk=1k 22kk+11 s2 + x= 2 (1)2 + r 2k+12 + q2 + 2Xn1 c2n1+k1 k=1n+ C1.3.3 分部积分法例题 1.60 求积分 解x arctan xdx 12 x arctan xdx =arctan xdx2=12 12x2 arctan x x2 arctan x 1x2dx1 + x21 1x + arctan x + C

55、2 2注 一个小技巧, 在凑的时候先预判一下,(arctan x) = 11+x2 , 因此可以凑出 d x2 + 1arctan xd x2 + 1 2 x arctan xdx =11 1 x2 + 12 = dx 1 + x2arctan x 2 x2 + 121 1= x + Carctan x 例题 1.61 求积分 解x ln(1 + x2) arctan xdxx ln (1 + x2)arctan xdx =1 ln (1 + x2) arctan xd (x2 + 1)2 1 x2 + 1) ln (1 + x2)1arctan x x2 + 1) dln (1 + x2)a

56、rctan x361.3 分部换元积分ln (1 + x2)1 1 2x arctan x = arctan x + dxx2 + 1) ln (1 + x2)x2 + 1) 1 + x2 1 + x21 x2 + 1) ln (1 + x2) 2x arctan x + ln (1 + x2)1= arctan x dx= (x2 + 1) ln (1 + x2)arctan x 11ln (1 + x2)+1 21 x dx 2 2= (x2 + 1) ln (1 + x2) x ln (1 + x2)arctan x 11 1 1 1+x + dxx22 2 2 1 + x22 = (x

57、2 + 1) ln (1 + x2) x ln (1 + x2)arctan x 11 1 1+ x arctan x + C 2 2 2例题 1.62 求积分 解ex sin xdxex sin xdx = ex cos x + cos xdex= ex cos x + exd sin x= ex (sin x cos x) ex sin xdx= 12ex (sin x cos x) + C解 (魏念辉) 记 y = 1 x, 则有2 eex sin xdx = y sin x + y sin xdx= y sin x + y cos x y cos x + y sin xdx= (y s

58、in x) (y cos x) dx= y sin x y cos x + C1 = 2ex (sin x cos x) + C注 这种方法将在微分方程型积分中详细讲述例题 1.63 求积分 解xex sin xdxxex sin xdx = xd ex (sin x + cos x)12 1 1=2 xex (sin x + cos x) ex (sin x + cos x) dx2= 41.3 分部换元积分例题 1.64 求积分 ln2(x + 1 + x2)dx解ln2 x + p1 + x2 dx = xln2 x + p1 + x2= xln2 x + p1 + x2 = xln2

59、x + p1 + x2 = xln2 x + p1 + x2= xln2 x + p1 + x2 xdln2 x + p1 + x2ln x + 1 + x2 2 2 x dx1 + x2ln x + p1 + x2 dp1 + x2 2 p dx1 + x2ln x + p1 + x2 2p1 + x2ln x + p1 + x2+ 2x + C例题 1.65 求积分 解1(x2+x+1)2 dx1 12 dx = h 4 i2 dx2 (x2 + x + 1)2x + 1 + 3令t= 2x+1 3 18 3= 92 dt(t2 + 1)=3 8 9t2 + 1 t22 dt(t2 + 1

60、)83 t21= t2 + 1 2 dt9(t2 + 1)3arc tan t 3 8 4 t= 2 2tdt9 (t2 + 1)93arc tan t 3 2 d t2 + 1 8 4 t= 99 (t2 + 1)3arc tan t + 43 8 1=td t2 + 11.3 分部换元积分=33 arc tan 3 1.3 分部换元积分=2 t2 + 11 21 2arctan t t2 + 1dt2 t2 + 16 21 1 12arctan t t + Ct3 e2x arctan ex 1 (ex 1)1 132 6e 1x 1 + C 2x1 arctan x例题 1.68 求积分