2022新高考总复习《数学》(人教)高考大题专项练高考大题专项(二)　三角函数与解三角形

1、 高考大题专项(二)三角函数与解三角形 1.(2020北京海淀一模,16)已知函数f(x)=2cos21x+sin 2x.(1)求f(0)的值;(2)从1=1,2=2;1=1,2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在-2,6上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.2.(2020山东滨州二模,17)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,求ABC的周长L和面积S.在cos A=35,cos C=55,csin C=sin A+bsin B,B=60,c=2,cos A=-14这三个条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答.3.(202

2、0山东潍坊二模,17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,A=3.(1)若B=4,求b;(2)求ABC面积的最大值.4.(2020江苏,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-45,求tanDAC 的值.5.(2019全国1,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.6.(2020山东潍坊一模,17)ABC的内角A,B,C的对边

3、分别为a,b,c,已知向量m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin A+sin C),且mn.(1)求C;(2)若6c+3b=3a,求sin A.7.在ABC中,A=90,点D在BC边上.在平面ABC内,过点D作DFBC,且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且CDF的面积等于ABC的面积,求ABC;(2)若ABC=45,且BD=3CD,求cosCFB.参考答案高考大题专项(二)三角函数与解三角形1.解 (1)f(0)=2cos20+sin 0=2.(2)方案一:选条件.f(x)的一个周期为.f(x)=2cos2x+sin 2x=(cos 2x+1)+sin 2x=222sin 2x+

4、22cos 2x+1=2sin2x+4+1.因为x-2,6,所以2x+4-34,712.所以-1sin2x+41.所以1-2f(x)1+2.当2x+4=-2,即x=-38时,f(x)在-2,6上取得最小值1-2.方案二:选条件.f(x)的一个周期为2.f(x)=2cos2x+sin x=2(1-sin2x)+sin x=-2sinx-142+178.因为x-2,6,所以sin x-1,12.所以-1f(x)178.当sin x=-1,即x=-2时,f(x)在-2,6上取得最小值-1.2.解 方案一:选条件.因为cos A=35,cos C=55,且0A,0B,所以sin A=45,sin C=

5、255.在ABC中,A+B+C=,即B=-(A+C),所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=4555+35255=10525=255.由正弦定理得,b=asinBsinA=425545=25.因为sin B=sin C,所以c=b=25.所以ABC的周长L=a+b+c=4+25+25=4+45,ABC的面积S=12absin C=12425255=8.方案二:选条件.csin C=sin A+bsin B,由正弦定理得,c2=a+b2.因为a=4,所以b2=c2-4.又因为B=60,由余弦定理得b2=c2+16-24c12,所以c2-4c+16=c2-4

6、,解得c=5.所以b=21.所以ABC的周长L=a+b+c=4+21+5=9+21,ABC的面积S=12acsin B=53.方案三:选条件.c=2,cos A=-14,由余弦定理得,16=b2+4+2b214,即b2+b-12=0,解得b=3或b=-4(舍去).所以ABC的周长L=a+b+c=4+3+2=9.因为A(0,),所以sin A=1-cos2A=154.所以ABC的面积S=12bcsin A=1232154=3154.3.解 (1)由正弦定理得b=asinBsinA=23sin4sin3=22.(2)因为ABC的内角和A+B+C=,A=3,所以0B23.因为b=asinAsin B

7、=4sin B,所以SABC=12absin C=43sin Bsin23-B=43sin B32cos B+12sin B=6sin Bcos B+23sin2B=23sin2B-6+3.因为0B23,所以-62B-676.当2B-6=2,即B=3时,ABC面积取得最大值33.4.解 (1)在ABC中,因为a=3,c=2,B=45,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=9+2-232cos 45=5,所以b=5.在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得5sin45=2sinC,所以sin C=55.(2)在ADC中,因为cos ADC=-45,所以ADC为钝角,而AD

8、C+C+CAD=180,所以C为锐角.故cos C=1-sin2C=255,则tan C=sinCcosC=12.因为cosADC=-45,所以sinADC=1-cos2ADC=35,tanADC=sinADCcosADC=-34.从而tanDAC=tan(180-ADC-C)=-tan(ADC+C)=-tanADC+tanC1-tanADCtanC=-34+121-3412=211.5.解 (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(

9、1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.6.解 (1)因为mn,所以(c-a)(sin A+sin C)=(b-a)sin B,由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,所以a2+b2-c2=ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.因为C(0,),故C=3.(2)由(1)知

10、B=23-A,由题设及正弦定理得6sin C+3sin23-A=3sin A,即22+32cos A+12sin A=sin A,可得sinA-3=22.因为0A23,所以-3A-33,所以cosA-3=22,故sin A=sinA-3+3=sinA-3cos3+cosA-3sin3=6+24.7.解 (1)如图所示,在ABC中,A=90,点D在BC边上.在平面ABC内,过点D作DFBC,且DF=AC,所以SABC=12ABAC,SCDF=12CDDF,且CDF的面积等于ABC的面积.由于DF=AC,所以CD=AB.D为BC的中点,故BC=2AB,所以ABC=60.(2)如图所示,设AB=k,因为A=90,ABC=45,B