2022高考总复习 数学(人教A理一轮)1.3　命题及其关系、充要条件

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI1.3命题及其关系、充要条件第一章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.命题 概念用语言、符号或式子表达的,可以判断的陈述句特点(1)能判断真假;(2)陈述句分类命题、命题真假真假2.四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系(2)四种命题的真假关系互为逆否的两个命题(或).互逆或互否的两个命题真假性.等价同真同假没有关系3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 pqp是q的条件,q是p的条件pq,且q pp是q的条件P q,且qpp是q的条件p

2、qp是q的条件P q,且q pp是q的条件充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要常用结论1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4.2.p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.其他情况依次类推.3.集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件AB;p是q的必要不充分条件AB;p是q的充要条件A=B.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (2)命题“若x2-3x+20,则x2或xb”是“ 1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D 4.已知命题“若

3、x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析 原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,故选B.5.命题“在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是.答案 在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面解析 逆否命题是既否条件又否结论,故答案为:在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面.关键能力 学案突破考点

4、1命题及其相互关系【例1】 (1)已知原命题为“若 (a+b)2,则xa2+b2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是()A.逆命题与否命题均为真命题B.逆命题为假命题,否命题为真命题C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题D.否命题为假命题,逆否命题为真命题答案 (1)A(2)A 思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假?解题心得1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例即可.3.根据“原命

5、题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.对点训练1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假答案 (1)C(2)B解析 (1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是

6、“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.(2)先证原命题为真,当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,bR),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|= ,原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假,取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B.考点2充分条件、必要条件的判断(多考向探究)考向1定义法判断【例2】 (2020辽宁实验中学五模,文3)已知a为正数,则“a1”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D

7、.既不充分也不必要条件答案 C 考向2集合法判断【例3】 (2020山东烟台模拟,3)“a0,ax+ ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 考向3等价转化法判断 答案 A解析 因为函数f(x)过点(1,0),即x=1为f(x)的一个零点,所以函数f(x)有且只有一个零点函数y=-2x+a(x0)没有零点函数y=2x(x0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a0或a1.又因为a|a1,故选A.解题心得充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据pq,qp是否同时成立进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等

8、价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充要条件为止.对点训练2(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a,bR,则“ab”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)设p:关于x的方程4x-2x-a=0有解;q:关于x的不等式log2(x+a-2)0对于x0恒成立,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)(2020江苏镇江期末,3)使不等式1+ 0成立的一个充分不必要条件是()A.x-1B.x0C.x1D.-1x0答案 (1)C(2)B(3)

9、C 考点3充分条件、必要条件的应用【例5】 若不等式m-1xm+1成立的充分不必要条件是 ,则实数m的取值范围是.思考如何求与充分条件、必要条件有关的参数问题?解题心得1.与充要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.2.充要条件的证明方法:在解答题中证明一个命题是另一个命题的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.对点训练3已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若xP是xS的必要条件,求m的取值范围.解 由x2-8x-200,得-2x10,P=x|-2x10.

10、xP是xS的必要条件,则SP.又S为非空集合,1-m1+m,解得m0.综上,m的取值范围是0,3.变式发散1本题条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件?并说明理由.解 不存在.由原题知P=x|-2x10.若xP是xS的充要条件,则P=S,变式发散2本题条件不变,若P是S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解 由原题知P=x|-2x10,P是S的必要不充分条件,PS且S P.-2,101-m,1+m,m9,即m的取值范围是9,+).要点归纳小结1.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定.2.充分必要关系的几种判断方法:(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.(2)等价法:利用pq与qp;qp与pq;pq与qp的等价关系.对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.(3)集合间关系法:设A=x|p(x),B=x|q(x),利用集合A,B的关系来判断.要点归纳