教学课件1.7函数的连续性（新）

1、 山东理工职业学院 高等数学1.7函数的连续性一、增量设函数 ，当自变量 从初值 变到终值 ，那么终值与初值的差 ，叫做自变量 的增量（或改变量），记为 ，即 定义 自变量的增量注意 可以是正值、负值叫做函数的增量(或改变量），记作 当自变量 由 变到 时，函数 由 变到 ，我们把差值即 函数的增量注意 可以是正值、负值、零例1设 ,求适合下列条件的自变量的增量 和函数增量 ：（1）当 由 变到（2）当 由 变到解（1）（2）二、函数的连续性的概念定义1设函数 在点 的某邻域内有定义，如果当自变量 在 处的增量 趋近于零时，函数 的相应增量 也趋近于零，即 (1)那么称函数 在点 处连续， 称

2、为函数 的连续点. 函数在点 处连续函数 的连续性反映了 随 的渐变而渐变的特征.即自变量 在 处有微小改变时,相应的函数值 也有微小改变.若记 ，则 ，相应地函数的改变量当 时,即 ; ,即 于是,函数在点 连续定义的(1)式,又可记作 设函数 在点 的某邻域内有定义，若 （2） ，则称函数 在点 处连续， 称为函数 的连续点. 定义2函数 在点 的某邻域内有定义0102极限 存在03函数在点 处连续必须同时满足以下三个条件例2讨论函数 在 处是否连续？解函数 在 处有定义， 且于是所以，函数 在 处连续. 例3讨论函数 在 处是否连续？解函数 在 处有定义， 且于是所以，函数 在 处不连续

3、. 课堂练习DA. B. C. D. 当 ( )时,函数 在 处连续. 函数 在 处连续 解析设函数 在点 的某邻域内有定义，若 （或 ） ，则称函数 在点 处左(右)连续. 定义3 左、右连续函数 在点 连续的充要条件是：函数 在点既左连续，又右连续， 即说明例4讨论函数在点 ， 处的连续性.解 因为 的定义域是 ，所以 在 和 处都有定义,（1）在点 处所以 在点 处不连续.不左连续右连续且例4讨论函数在点 ， 处的连续性.解（2）在点 处左连续右连续所以 在点 处连续.课堂练习解析 函数在点 处有定义，且所以 在点 处连续.左连续右连续函数 在 处（ ） A. 连续 B. 左、右都不连续

4、 C. 不连续，但左连续 D. 不连续，但右连续 A如果函数 在开区间 内每一点都连续，那么称函数 在区间 内连续，或称函数 为区间 内的连续函数，区间 称为函数 的连续区间. 定义4如果函数 在闭区间 上有定义，在区间 内连续，且在右端点 处左连续，在左端点 处右连 续，即 那么称函数 在闭区间 上连续.在几何上，连续函数的图像是一条连续不间断的曲线 函数的间断点 如果函数 在 处不连续，那么称函数 在 处是间断的，点 称作函数 的间断点或不连续点. 定义5点 是函数 间断点的可能情形：（1）函数 在 的左、右邻域内有定义，而在 没有定义；（3）极限 存在，但不等于（2）极限 不存在； 间 断 点 和 都存在第一类间断点第二类间断点跳跃间断点可去间断点无穷间断点 振荡间断点振荡不存在在 处无定义， 存在 和 至少有一侧不存在解是其间断点（1） 函数 在 处无定义， 是可去间断点（2） 函数 在 处无定义， 是其间断点是无穷间断点例5求下列函数的间断点，并说明间断点属于哪一类？（1） （2） （3）解 （3） 是函数 的跳跃间断点 例5求下列函数的间断点，并说明间断点属于哪一类？（1） （2） （3）例 函数是间断点当 时 在 和 之间振荡 (振荡间断点）（ 不存在）求函数 的间断点，并说明间断点属于