《复变函数论基础》大纲

1、复变函数教学大纲（专科）说 明本大纲适用于数学与应用数学专业专科的教学本课程的性质复变函数论与其他数学分支有着密切的联系，它作为一个强有力的工具可用来解决如解析数论，微分方程，概率论与数理统计，计算数学，拓扑学，微分几何等数学分支中所提出的有关理论及实际问题，在工程技术中也有广泛的应用。是高等师范院校数学专业的必修课程。是专科学生数学分析已学习的基础上，在复数域内研究解析函数特性的一门课程，有利于提高专科学生的数学素养。本课程的教学目的和要求本课程的教学目的是阐明复变函数论中一些最基本的概念，方法和理论，使学生对数学分析的某些内容加深理解和提高认识，为学生今后进一步学习其他数学知识奠定基础。在

2、教学上，要从专科学生实际情况出发，重点讲授复变函数与复数域，复变函数的概念；解析函数及柯西黎曼条件；研究解析函数的积分方法和级数方法，在可能情况下，简要介绍解析函数的参数理论和几何理论。教学时数安排本课程总学时有72学时，各部分学时安排如下：课程时数安排表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数12第二章解析函数12第三章复变函数的积分14第四章解析函数的级数表示法14第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点14第六章反函数理论及应用6教材选用复变函数论（第二版）仲玉泉编，高等教育出版社出版。教学内容和教学要求第一章 复数与复变函数教学内容复数，复数域，复平面，复数的模与辐角，复数的乘幂与方根，共轭

3、复数，复数在几何上的举例。复平面上的点集，平面点集的几个基本概念，区域与曲线。复变函数，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性。复球面与无穷远点，复球面，扩充复球面上的几个概念。教学要求练掌握复数的各种表示方法以及四则运算，乘幂和共轭运算。了解复平面上点集的概念，了解区域的概念，单连通区域，多连能区域的划分。了解简单闭曲线，光滑曲线的定义，能用复数的方程式不等式表示一些常见的区域与曲线。掌握复变函数的概念理解映射的含义，理解复变函数与两个实二元函数之间的关系。了解复变函数的极限与连续性概念，知道它们与实一元函数极限与连续的异同。重点与难点重点是复变函数表示法之间的转换，区域的确定，复变函数的概

4、念。难点是复球面概念，复变函数理解及复平面上两个集合间的映射，以及复变函数的极限和连续性第二章解析函数教学内容 解析函数的概念与柯西黎曼条件，复变函数的导数与微分，解析函数及简单给出柯西黎曼条件 初等解析函数，指数函数，三角函数及双曲函数 初等复值函数，根式函数，对数函数，一般幂函数，一般指数函数，反三角函数与反双曲函数，具有多个有限支点情形。教学要求理解复变函数的导数与复变函数解析的概念，弄清复变函数可微与实函数可微的关系。掌握复变函数解析的判别方法，熟悉函数解析的充要条件，会判断函数在一点或区域上的解析。了解指数函数，对数函数，三角函数与双曲函数的定义以及它们的主要性质，对它们在单值域内的

5、解析要熟知。重点与难点重点是一个函数是否解析的判定，求函数的解析区域以及初等函数的函数值。难点是弄清可导与解析之间关系，复变函数的解析论与实二元函数可微论之间的关系和初等函数的多值论。复变函数的积分教学内容 复积分的概念及其简单性质光滑有向曲线，复变函数的积分概念，复变函数积分的性质，复变函数积分的计算。 柯西积分定理柯西积分定理（不作证明），不定积分，柯西积分定理的推广，复合闭路定理 柯西积分公式及其推论柯西积分公式，高阶导数公式，柯西不等式及刘维尔定理，摩勒拉定理。 解析函数与调和函数解析函数与调和函数的关系。教学要求理解复变函数的概念，了解积分的性质，会求复变函数的积分理解柯西积分定理，

6、掌握牛顿莱不尼兹公式，求高阶导数公式和复合闭路定理，能熟练运用于计算复变函数的积分。理解解析函数的导数仍是解析函数，解析函数的无限次可导论的概念。理解解析函数与调和函数的关系。重点与难点重点是复变函数积分的计算，实二元函数线积分方法，柯西积分公式方法，高阶导数公式方法，牛顿莱不尼兹公式方法。难点是u(x,y)+iv(x,y)化为解析函数f(z)。 解析函数的幂级数表示法(一)教学内容 复数列的基本性质复数列的概念，复数项级数，一致收敛的复函数项级数，解析函数项级数 幂级数幂级数的概念，收敛性，阿贝尔定理，收敛圆与收敛半径，柯西阿达玛公式，幂级数和的解析性 幂子级数的泰勒展式解析函数的泰勒级数，

7、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况，一些初等函数的泰勒展式。 解析函数零点的孤立性及唯一性解析函数零点的孤立性，唯一性，最大模原理。（二）教学要求1理解级数收敛，发散及和的概念；了解级数收敛的必要与充分条件，了解级数绝对收敛与收敛的关系。理解幂级数收敛圆与收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径的求法。掌握将一个解析函数展为幂级数的基本方法，记住一些常用初等函数的泰勒展式。重点与难点本章重点是幂级数收敛半径的求法，一个解析函数展为泰勒级数。难点是将一个解析函数展为泰勒级数。解析函数的罗朗展式和孤立奇点（一）教学内容 解析函数的罗朗展式双边幂级数，解析函数的罗朗展式，罗朗级数与泰勒级数的关系，解析函数

8、在孤立奇点邻域内的罗朗展式。 解析函数的孤立奇点孤立奇点的类型，可去奇点，席瓦尔兹引理，极点，本性奇点，毕卡定理 解析函数在无穷远点的性质 整函数与亚纯函数简介（二）教学要求理解罗朗级数的概念，能将一些函数在圆环域展为罗朗级数，能判别解析函数的孤立奇点，确定可去奇点或本位奇点。（三）重点与难点重点是一个解析函数在圆环域内的罗朗展示。难点是能确定解析函数的孤立奇点类型。残数理论及其应用简介（一）教学内容 残数残数的定义及残数定理，残数的求法，函数在无穷远点的残数 用反函数定理计算定积分三角函数有理式的积分其中R(cos,sin)是cos和sin的有理函数。无穷区间上有理函数的积分其中R(x)是x的有理函数，分母的次数至少比分子的次数高两次，R(x)在实轴上没有孤立奇点。无穷区间上有理函数与指数函数乘积的积分 幅角原理及其应用 对数残数，幅角原理，儒歇原理。（二）教学要求正确理解函数在孤立奇点的留数概念，理解并能应用留数定理。初步掌握留数的计算方法，主要是极点处留数的求法。初步掌握用留数求积分的方法。 (三)重点与难点 重点