优化建模与LINGO第05章课件

1、生产与服务运作管理中的优化问题优化建模与LINDO/LINGO软件第5章内容提要5.1 生产与销售计划问题5.2 有瓶颈设备的多级生产计划问题5.3 下料问题5.4 面试顺序与消防车调度问题5.5 飞机定位和飞行计划问题5.1 生产与销售计划问题5.1.1问题实例例5.1某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙）。甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。原油A的市场价为：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过50

2、0吨但不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。该公司应如何安排原油的采购和加工。5.1.2建立模型问题分析 安排原油采购、加工的目标是利润最大，题目中给出的是两种汽油的售价和原油A的采购价，利润为销售汽油的收入与购买原油A的支出之差。这里的难点在于原油A的采购价与购买量的关系比较复杂，是分段函数关系，能否及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在。模型建立设原油A的购买量为x（吨），根据题目所给数据，采购的支出c(x)可表为如下的分段线性函数（以下价格以千元/吨为单位）：(1)设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分

3、别为x11和x12（吨），原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x21和x22（吨），则总的收入为4.8(x11+x21)+5.6(x12+x22)（千元）。于是本例的目标函数（利润）为(2)约束条件包括加工两种汽油用的原油A、原油B库存量的限制，和原油A购买量的限制，以及两种汽油含原油A的比例限制，它们表示为（3）（4）（5）（6）（7）（8）由于（1）式中的c(x)不是线性函数，（1）（8）给出的是一个非线性规划。而且，对于这样用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解。能不能想办法将该模型化简，从而用现成的软件求解呢？5.1.3 求解模型 3种解法第1种解法 将原油

4、A的采购量x分解为三个量，即用x1，x2，x3分别表示以价格10、8、6千元/吨采购的原油A的吨数，总支出为c(x) = 10 x1+8x2+6x3，且(9)这时目标函数（2）变为线性函数：(10)应该注意到，只有当以10千元/吨的价格购买x1=500（吨）时，才能以8千元/吨的价格购买x2（0），这个条件可以表示为(11)同理，只有当以8千元/吨的价格购买x2=500（吨）时，才能以6千元/吨的价格购买x3（0），于是(12)此外，x1，x2，x3的取值范围是(13)由于有非线性约束(11),(12)，(3)(13)构成非线性规划模型。LINGO程序：Model:Max= 4.8*x11 +

5、 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 0.4*x12 - 0.6*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; bnd(0,x1, 500);bnd(0,x2, 500);bnd(0,x3,500);end 将文件存储并命名为exam0501a.lg4，执行菜单命令“LINGO|Solve”，运行该程序得到： Local optimal solution found. Objective value: 4800.

6、000 Total solver iterations: 26 Variable Value Reduced Cost X11 500.0000 0.000000 X21 500.0000 0.000000 X12 0.000000 0.000000 X22 0.000000 0.000000 X1 0.000000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X 0.000000 0.000000最优解: 用库存的500吨原油A、500吨原油B生产1000吨汽油甲，不购买新的原油A，利润为4800（千元） 但是此时LINGO得到的结果

7、只是一个局部最优解可以用菜单命令“LINGO|Options”在“Global Solver”选项卡上启动全局优化（Use Global Solver）选项，然后重新执行菜单命令“LINGO|Solve” , 得到： Global optimal solution found. Objective value: 5000.002 Extended solver steps: 3 Total solver iterations: 187Variable Value Reduced CostX11 0.000000 0.000000X21 0.000000 0.000000X12 1500.000

8、 0.000000X22 1000.000 0.000000X1 500.0000 0.000000X2 499.9990 0.000000X3 0.9536707E-03 0.000000X 1000.000 0.000000此时LINGO得到的结果是一个全局最优解（Global optimal solution）：购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，共生产2500吨汽油乙，利润为5000（千元），高于刚刚得到的局部最优解对应的利润4800（千元）。第2种解法: 引入0-1变量将（11）和（12）转化为线性约束令y1=1，y2=1，y3=1分别表示以10千元/

9、吨、8千元/吨、6千元/吨的价格采购原油A，则约束（11）和（12）可以替换为(14)(15)(16) y1，y2，y3 =0或1(17)（3）（10），（13）（17）构成混合整数线性规划模型，将它输入LINDO软件：Max 4.8x11+4.8x21+5.6x12+5.6x22-10 x1-8x2-6x3stx-x1-x2-x3=0 x11+x12-x500 x21+x220 0.4x12-0.6x220 x1-500y10 x2-500y20 x3-500y30 x2-500y30 endint y1int y2int y3运行该程序得到：OBJECTIVE FUNCTION VALUE

10、 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000这个结果与前面

11、非线性规划模型用全局优化得到的结果相同。第3种解法 直接处理分段线性函数c(x)。（1）式表示的函数c(x)如图5-1。c(x)x1200090005000050010001500图5-1 分段线性函数c(x)图形记x轴上的分点为b1=0, b2=500, b3=1000, b4=1500。当x在第1个小区间 b1, b2时，记x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z20, 因为c(x)在b1, b2是线性的，所以c(x)= z1c(b1)+z2c(b2)。同样，当x在第2个小区间 b2, b3时，x= z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2, z30, c(x)= z2c(b2

12、)+z3c(b3)。当x在第3个小区间 b3, b4时，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3, z40, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4)。为了表示x在哪个小区间，引入0-1变量yk(k=1,2,3)，当x在第k个小区间时，yk=1，否则，yk=0。这样, z1, z2, z3, z4, y1, y2, y3应满足(18)(19)(20)此时x和c(x)可以统一地表示为（2）（10），（18）（22）也构成一个混合整数线性规划模型，可以用LINDO求解。不过，我们还是将它输入LINGO软件，因为其扩展性更好（即当分段函数的分段数更多时，只需要对下面程序作很小的改动）。输入的

13、LINGO模型如下：(22)输入的LINGO模型如下：Model:SETS:Points/1.4/: b, c, y, z;! 端点数为4，即分段数为3;ENDSETSDATA:b=0 500 1000 1500;c=0 5000 9000 12000;y=,0;! 增加的虚拟变量y(4)=0;ENDDATAMax= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - sum(Points: c*z);x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 0.4*x12 - 0.6*x22 0;sum(Points: b*z)=x;for(Points(i)|i#e

14、q#1: z(i) = y(i);for(Points(i)|i#ne#1: z(i) 0时取值1, 否则取值0.在上述数学符号中，只有为决策变量; 其余均为已知的计划参数。目标函数 这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小。因此，目标函数应该是每个项目在每个时段上的生产准备费用和库存费用的总和，即(28)约束条件这个问题中的约束有这么几类：每个项目的物流应该守恒、资源能力限制应该满足、每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束 （对Yi,j是0-1约束）。(29)资源能力限制比较容易理解，即(30)所谓物流守恒（假设Ii,0 =0） (31)每时段生产某项目前必须经过生产准备，也

15、就是说当Xit=0时Yit=0；Xit0时Yit=1。这本来是一个非线性约束，但是通过引入参数M（很大的正数，表示每个项目每个时段的最大产量）可以化成线性约束，即： 总结: 这个问题的优化模型就是在约束（29）（30）（31）下使目标函数（28）达到最小。 5.2.3 求解模型本例生产项目总数N=7(A、B、C、D、E、F、G) ，计划期长度T=6（周），瓶颈资源种类数K=1。只有A有外部需求，所以di,t中只有d1,t可以取非零需求，即表5-1中的第2行的数据，其他全部为零。 参数si,t 、 hi,t只与项目i有关，而不随时段t变化，所以可以略去下标t，其数值就是表5-1中的最后两行数据。

16、由于只有一种资源，参数Ck,t可以略去下标k，其数值就是表5-1中的第3行的数据；而ak,I,t只与项目i有关，而不随时段t变化，所以可以同时略去下标k和t，即a2=5，a3=8（其他ai为0）。从图6-2中容易得到项目i的直接后继项目集合S(i)和消耗系数。准备以下的数据文件（文本文件exam0502.LDT，可以看到其中也可以含有注释语句）：! 项目集合;ABCDEFG! 计划期集合;123456! 需求;400100090100 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0! 能力;10000050005

17、00010001000! 生产准备费;4005001000300200400100! 库存费;120.61.00.040.030.040.04! 对能力的消耗系数；0580000! 项目间的消耗系数: req(i,j)表示j用到多少i;0 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 0 00 9 0 0 0 0 00 11 0 0 0 0 00 0 13 0 0 0 00 0 15 0 0 0 0! 数据结束;对本例，A的外部总需求为240，所以任何项目的产量不会超过24071525000（从图6-2可以知道，这里715已经是每件产品A对任意一个项目的最大的消耗系数了）

18、，所以取M=25000就已经足够了。本例中的具体模型可以如下输入LINGO软件：MODEL:TITLE 瓶颈设备的多级生产计划;! 从文本文件exam0502.LDT中读取数据;SETS:! PART = 项目集合, Setup = 生产准备费，Hold = 单件库存成本， A = 对瓶颈资源的消耗系数;PART/ FILE( exam0502.LDT)/ : Setup, Hold, A;! TIME = 计划期集合，Capacity = 瓶颈设备的能力;TIME / FILE( exam0502.LDT)/ : Capacity;! USES = 项目结构关系，Req = 项目之间的消耗系

19、数;USES( PART, PART) : Req;! PXT = 项目与时间的派生集合，Demand = 外部需求, X = 产量（批量）, Y = 0/1变量，INV = 库存;PXT( PART, TIME): Demand, X, Y, Inv;ENDSETS! 目标函数;OBJ Min = sum(PXT(i,t): setup(i)*Y(i,t) + hold(i)*Inv(i,t) );! 物流平衡方程;FOR( PXT(i, t) | t #NE# 1 : Bal Inv(i,t-1)+X(i,t)-Inv(i,t) = Demand(i, t) + SUM( USES(i,j

20、): Req(i,j)*X(j,t) );FOR( PXT(i, t) | t #eq# 1 : Ba0 X(i,t)-Inv(i,t) = Demand(i, t) + SUM( USES(i,j): Req(i,j)*X(j,t) );! 能力约束;FOR( TIME(t): Cap SUM( PART(i): A(i)*X(i,t) ) Capacity(t) ); ! 其他约束;M = 25000;FOR( PXT(i,t): X(i,t) = 50 x2 + 2x4 + x5 + 3x6 = 20 x3 + x5 + 2x7 = 15endgin 7求解可以得到最优解如下： OBJE

21、CTIVE FUNCTION VALUE 1) 27.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 3.000000 X2 12.000000 1.000000 X3 0.000000 3.000000 X4 0.000000 3.000000 X5 15.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 0.000000 3.000000 即按照模式2切割12根原料钢管，按照模式5切割15根原料钢管，共27根，总余料量为27米。显然，在总余料量最小的目标下，最优解将是使用余料尽可能小的切割模式（模式2和5的余料为1米

22、），这会导致切割原料钢管的总根数较多。2. 将（33）（36）构成的整数线性规划模型（加上整数约束）输入LINDO：Title 钢管下料 - 最小化钢管根数Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 = 50 x2 + 2x4 + x5 + 3x6 = 20 x3 + x5 + 2x7 = 15endgin 7求解，可以得到最优解如下：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 25.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.000000

23、 X2 15.000000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 5.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 5.000000 1.000000即按照模式2切割15根原料钢管，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共27根，可算出总余料量为35米。与上面得到的结果相比，总余料量增加了8米，但是所用的原料钢管的总根数减少了2根。在余料没有什么用途的情况下，通常选择总根数最少为目标。问题2）的求解问题分析 按照解问题1）的思路，可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格

24、增加到4种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍性的方法。同1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为4米），切割计划中只使用合理的切割模式，而由于本题中参数都是整数，所以合理的切割模式的余量不能大于3米。此外，这里我们仅选择总根数最少为目标进行求解。 模型建立决策变量 由于不同切割模式不能超过3种，可以用xi 表示按照第i种模式（i=1, 2, 3）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4米长、5米长、6米长和8米长的钢管数量分别为r1i,

25、r2i, r3i, r4i（非负整数）。 决策目标 以切割原料钢管的总根数最少为目标，即目标为（37）约束条件 为满足客户的需求，应有(38)(39)(40)(41)每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过19米，也不能少于16米（余量不能大于3米），于是(42)(43)(44)模型求解（37）（44）构成这个问题的优化模型。由于在（38）（41）式中出现了决策变量的乘积，所以这是一个整数非线性规划模型，虽然用LINGO软件可以直接求解，但我们发现在较低版本的LINGO软件中需要运行很长时间也难以得到最优解。为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜

26、索范围。例如，由于3种切割模式的排列顺序是无关紧要的，所以不妨增加以下约束：（45）又例如，我们注意到所需原料钢管的总根数有着明显的上界和下界。首先，无论如何，原料钢管的总根数不可能少于 （根）其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产4米钢管，一根原料钢管切割成4根4米钢管，为满足50根4米钢管的需求，需要13根原料钢管；第二种切割模式下只生产5米、6米钢管，一根原料钢管切割成1根5米钢管和2根6米钢管，为满足10根5米和20根6米钢管的需求，需要10根原料钢管；第三种切割模式下只生产8米钢管，一根原料钢管切割成2根8米钢管，为满足15根8米钢管的需求，需要8根原料钢管。于是满

27、足要求的这种生产计划共需13+10+8=31根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界。所以可增加以下约束：(46)将（37）（46）构成的模型输入LINGO如下：将（37）（46）构成的模型输入LINGO如下：model:Title 钢管下料 - 最小化钢管根数的LINGO模型;min=x1+x2+x3;x1*r11+x2*r12+x3*r13 =50;x1*r21+x2*r22+x3*r23 =10;x1*r31+x2*r32+x3*r33 =20;x1*r41+x2*r42+x3*r43 =15;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41 =19;4*r12+5*r22+6*r32+8*

28、r42 =19;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43 =16;4*r12+5*r22+6*r32+8*r42 =16;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43 =16;x1+x2+x3 = 26;x1+x2+x3 =x2;x2=x3;gin(x1); gin(x2); gin(x3);gin(r11);gin(r12);gin(r13);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r41);gin(r42);gin(r43);end 经过LINGO求解，得到输出如下： Local optimal solut

29、ion found. Objective value: 28.00000 Extended solver steps: 72 Total solver iterations: 3404 Model Title: 钢管下料-最小化钢管根数的LINGO模型 Variable Value Reduced CostX1 10.00000 1.000000X2 10.00000 1.000000X3 8.000000 1.000000R11 2.000000 0.000000R12 3.000000 0.000000R13 0.000000 0.000000R21 1.000000 0.000000R2

30、2 0.000000 0.000000R23 0.000000 0.000000R31 1.000000 0.000000R32 1.000000 0.000000R33 0.000000 0.000000R41 0.000000 0.000000R42 0.000000 0.000000R43 2.000000 0.000000即按照模式1、2、3分别切割10、10、8根原料钢管，使用原料钢管总根数为28根。第一种切割模式下一根原料钢管切割成3根4米钢管和1根6米钢管；第二种切割模式下一根原料钢管切割成2根4米钢管、1根5米钢管和1根6米钢管；第三种切割模式下一根原料钢管切割成2根8米钢管。

31、 如果充分利用LINGO建模语言的能力，使用集合和属性的概念，可以编写以下LINGO程序，这种方法更具有一般的通用性，并有利于输入更大规模的下料问题的优化模型：model:Title 钢管下料 - 最小化钢管根数的LINGO模型;SETS: NEEDS/1.4/:LENGTH,NUM; ! 定义基本集合NEEDS及其属性LENGTH,NUM;CUTS/1.3/:X; ! 定义基本集合CUTS及其属性X;PATTERNS(NEEDS,CUTS):R; ! 定义派生集合PATTERNS（这是一个稠密集合）及其属性R;ENDSETSDATA:LENGTH=4 5 6 8;NUM=50 10 20 1

32、5;CAPACITY=19;ENDDATAmin=SUM(CUTS(I): X(I) );!目标函数;FOR(NEEDS(I): SUM(CUTS(J): X(J)*R(I,J) ) NUM(I) ); !满足需求约束;FOR(CUTS(J): SUM(NEEDS(I): LENGTH(I)*R(I,J) ) CAPACITY -MIN(NEEDS(I):LENGTH(I) ); !合理切割模式约束;SUM(CUTS(I): X(I) ) 26; SUM(CUTS(I): X(I) ) X(I+1) ); !人为增加约束;FOR(CUTS(J): GIN(X(J) ) ;FOR(PATTERN

33、S(I,J): GIN(R(I,J) );end求解这个模型，得到的结果与前面的结果完全相同。5.3.2易拉罐下料问题例5.4 某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的（参见图5-3）。易拉罐为圆柱形，包括罐身、上盖和下底，罐身高10厘米，上盖和下底的直径均为5厘米。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长24厘米；规格2的镀锡板为长方形，长、宽分别为32和28厘米。由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的镀镀锡板原料，只可以按照图2中的模式1、2或3进行冲压；对于规格2的镀锡板原料只能按照模式4进行冲压。使用模式1、2、3、4进

34、行每次冲压所需要的时间分别为1.5、2、1、3（秒）。模式1模式2模式3模式4上盖下底罐身图5-3 易拉罐下料模式该工厂每周工作40小时，每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张。目前每只易拉罐的利润为0.10元，原料余料损失为0.001元 / 厘米2（如果周末有罐身、上盖或下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作是原料余料损失）。工厂应如何安排每周的生产？已知上盖和下底的直径d=5厘米，可得其面积为 19.6厘米2表5-4 4种冲压模式的特征罐身个数底、盖个数余料损失（厘米2）冲压时间（秒）模式1110222.61.5模式224183.32模式3016261.81模式445169

35、.53问题的目标显然应是易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大，约束条件除每周工作时间和原料数量外，还要考虑罐身和底、盖的配套组装。模型建立决策变量 用xi 表示按照第i种模式的冲压次数（i=1, 2, 3, 4），y1表示一周生产的易拉罐个数。为计算不能配套组装的罐身和底、盖造成的原料损失，用y2表示不配套的罐身个数，y3表示不配套的底、盖个数。虽然实际上xi和y1，y2，y3应该是整数。但是由于生产量相当大，可以把它们看成是实数，从而用线性规划模型处理。决策目标 假设每周生产的易拉罐能够全部售出，公司每周的销售利润是0.1y1。原料余料损失包括两部分：4种冲压模式下的余料损失，和不配套

36、的罐身和底、盖造成的原料损失。按照前面的计算及表2的结果，总损失为0.001(222.6x1 + 183.3x2 + 261.8x3 + 169.5x4 + 157.1y2 +19.6y3)。 于是，决策目标为(47)约束条件 时间约束：每周工作时间不超过40小时=144000（秒），由表2最后一列得(48)原料约束：每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为50000张和20000张，即(49)(50) 配套约束： 由表2一周生产的罐身个数为x1 + 2x2 + 4x4, 一周生产的底、盖个数为10 x1 + 4x2 + 16x3+ 5x4，因为应尽可能将它们配套组装成易拉罐销售。所以y1满

37、足 (51)这时不配套的罐身个数y2，和不配套的底、盖个数y3应为 (52) (53)（47）（53）就是我们得到的模型，其中（51）是一个非线性关系，不易直接处理， 但是它可以等价为以下两个线性不等式： (54) (55)模型求解将模型（47）（50）和（52）（55）直接输入LINDO（输入LINGO也可以），求解时LINDO发出警告信息（程序和警告信息参见图5-4）。 图中错误编号“66”的含义（参见第4章的错误代码表）是：模型中数据不平衡，所以发出警告信息（注意，只是警告信息，所以仍然可以继续求解）。求解结果是： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4298.337

38、 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 160250.000000 0.000000 X1 0.000000 0.000050 X2 40125.000000 0.000000 X3 3750.000000 0.000000 X4 20000.000000 0.000000 Y2 0.000000 0.223331 Y3 0.000000 0.036484图5-4 模型中数据不平衡的警告信息这个结果可靠吗？由于LINDO警告模型中数据之间的数量级差别太大，所以我们可以进行预处理，缩小数据之间的差别。实际上，约束（48）（50）中右端项的数值过大（与左端的系数相比较），L

39、INDO在计算中容易产生比较大的误差，所以出现此警告信息。为了解决这一问题，可以将所有决策变量扩大10000倍（相当于xi以万次为单位，yi以万件为单位）。此时，目标（47）可以保持不变（记住得到的结果单位为万元就可以了），而约束（48）（50）改为 (56)(57) (58)将模型（47）和（52）（58）输入LINDO:! 易拉罐下料：均衡数据Max 0.100y1 - 0.2226x1 - 0.1833x2 - 0.2618x3 - 0.1695 x4 - 0.1571y2 - 0.0196y3 s.t.1.5x1 + 2.0 x2 + 1.0 x3 +3.0 x4 = 14.4 x1

40、+ x2 + x3 = 5 x4 =010 x1 + 4x2 + 16x3+ 5x4 - 2y1 =0 x1 + 2x2 + 4x4 - y1 - y2 =010 x1 + 4x2 + 16x3+ 5x4 - 2y1 - y3=0end求解得到： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.4298337 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 16.025000 0.000000 X1 0.000000 0.000050 X2 4.012500 0.000000 X3 0.375000 0.000000 X4 2.000000 0.000000 Y2 0

41、.000000 0.223331 Y3 0.000000 0.036484即模式1不使用，模式2使用40125次，模式3使用3750次，模式4使用20000次，可生产易拉罐160250个，罐身和底、盖均无剩余，净利润为4298元。5.4 面试顺序与消防车调度问题面试顺序问题 例5.5 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表5-5所示（单位：分钟）。这4名同学约定他们全部面试完以后一起

42、离开公司。假定现在时间是早晨8：00，请问他们最早何时能离开公司？ 表5-5 面试时间要求秘书初试主管复试经理面试同学甲131520同学乙102018同学丙201010同学丁81015建立模型 实际上，这个问题就是要安排4名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时间最少。 记tij为第i名同学参加第j阶段面试需要的时间(已知)，令xij表示第i名同学参加第j阶段面试的开始时刻(不妨记早上8：00面试开始为0时刻)(i=1, 2, 3, 4；j=1, 2, 3)，T为完成全部面试所花费的最少时间。 优化目标为 a. 时间先后次序约束(每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段)： xij

43、+ tij xi，j+1 (i=1, 2, 3, 4；j=1, 2) b.每个阶段j同一时间只能面试1名同学：用0-1变量yik表示第k名同学是否排在第i名同学前面(1表示是，0表示否)，则 xij+ tijxkjTyik (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; ik) xkj+ tkjxijT(1yik) (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; ik) 约束条件： 可以将非线性的优化目标改写为如下线性优化目标： Min T s.t. T x13+ t13 T x23+ t23 T x33+ t33 T x43+ t43 Min T s.t. xij+ ti

44、j xi, j+1 (i=1, 2, 3, 4；j=1, 2) xij+ tijxkjTyik (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; ik) xkj+ tkjxijT(1yik) (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; i= x13+ t13;T = x23+ t23;T = x33+ t33;T = x43+ t43;x11+ t11 = x12;x12+ t12 = x13;x21+ t21 = x22;x22+ t22 = x23;x31+ t31 = x32;x32+ t32 = x33;x41+ t41 = x42;x42+ t42 = x43;

45、求解模型这个模型可以如下输入LINGO： x11+ t11 - x21= T*y12;x21+ t21 - x11= T*(1-y12);x12+ t12 - x22= T*y12;x22+ t22 - x12= T*(1-y12);x13+ t13 - x23= T*y12;x23+ t23 - x13= T*(1-y12);x11+ t11 - x31= T*y13;x31+ t31 - x11= T*(1-y13); x12+ t12 - x32= T*y12;x32+ t32 - x12= T*(1-y13);x13+ t13 - x33= T*y13;x33+ t33 - x13=

46、T*(1-y13);x11+ t11 - x41= T*y14;x41+ t41 - x11= T*(1-y14);x12+ t12 - x42= T*y14;x42+ t42 - x12= T*(1-y14);x13+ t13 - x43= T*y14;x43+ t43 - x13= T*(1-y14);x21+ t21 - x31= T*y23;x31+ t31 - x21= T*(1-y23);x22+ t22 - x32= T*y23;x32+ t32 - x32= T*(1-y23);x23+ t23 - x33= T*y23;x33+ t33 - x23= T*(1-y23);x2

47、1+ t21 - x41= T*y24;x41+ t41 - x21= T*(1-y24);x22+ t22 - x42= T*y24;x42+ t42 - x22= T*(1-y24);x23+ t23 - x43= T*y24;x43+ t43 - x23= T*(1-y24);x31+ t31 - x41= T*y34; x41+ t41 - x31= T*(1-y34);x32+ t32 - x42= T*y34;x42+ t42 - x32= T*(1-y34);x33+ t33 - x43= T*y34;x43+ t43 - x33= max(PXS(i,j)|j#EQ#size(

48、stage): x(i,j)+t(i,j);! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;for(PXS(i,j)|j#LT#size(stage):ORDERx(i,j)+t(i,j)x(i,j+1);! 同一时间只能面试1名同学;for(Stage(j): for(PXP(i,k):SORT1x(i, j)+t(i, j)-x(k,j)MAXT*Y(i,k) ); for(PXP(i,k):SORT2x(k,j)+t(k,j)-x(i, j)MAXT*(1-Y(i,k) ););for(PXP: bin(y);End 求解这个模型，得到的结果与前面的完全相同。 可以很清楚地看到，使用

49、LINGO建模语言的集合和属性概念，得到的模型具有非常好的结构性，反映了相应的优化模型的本质，目标、决策变量、约束一清二楚，容易阅读和理解，而且还可以让数据与程序完全分离，这种优越性是LINDO软件无法与之相比的。 消防车调度问题 例5.6 某市消防中心同时接到了三处火警报告。根据当前的火势，三处火警地点分别需要2辆、2辆和3辆消防车前往灭火。三处火警地点的损失将依赖于消防车到达的及时程度：记tij为第j辆消防车到达火警地点i的时间(分钟)，则三处火警地点的损失分别为: 6t11+4t12，7t21+3t22，9t31+8t32+5t33。 目前可供消防中心调度的消防车正好有7辆，分别属于三个

50、消防站(可用消防车数量分别为3辆、2辆、2辆)。消防车从三个消防站到三个火警地点所需要的时间如表5-6所示。该公司应如何调度消防车，才能使总损失最小？ 如果三处火警地点的损失分别为:4t11+6t12，3t21+7t22，5t31+8t32+9t33，调度方案是否需要改变？消防站到三个火警地点所需要的时间时间(分钟)火警地点1火警地点2火警地点3消防站1679消防站25811消防站36910 问题分析 本题考虑的是为每个火警地点分配消防车的问题，初步看来与线性规划中经典的运输问题有些类似。本题的问题可以看成是指派问题和运输问题的一种变形，我们下面首先把它变成一个运输问题建模求解。 决策变量 为

51、了用运输问题建模求解，很自然地把3个消防站看成供应点。如果直接把3个火警地点看成需求点，我们却不能很方便地描述消防车到达的先后次序，因此难以确定损失的大小。下面我们把7辆车的需求分别看成7个需求点(分别对应于到达时间t11, t12, t21, t22, t31, t32, t33)。用xi j表示消防站i是否向第j个需求点派车(1表示派车，0表示不派车)，则共有21个0-1变量。 决策目标 题目中给出的损失函数都是消防车到达时间的线性函数，所以由所给数据进行简单的计算可知，如果消防站1向第6个需求点派车(即消防站1向火警地点3派车但该消防车是到达火警地点3的第二辆车)，则由此引起的损失为8*

52、9=72。同理计算，可以得到损失矩阵(元素分别记为ci j)。 ci j火警地点1火警地点2火警地点3j=1j=2j=3j=4j=5j=6j=7消防站i=136244921817245消防站i=230205624998855消防站i=336246327908050于是，使总损失最小的决策目标为 约束条件 约束条件有两类：一类是消防站拥有的消防车的数量限制，另一类是各需求点对消防车的需求量限制。 消防站拥有的消防车的数量限制可以表示为 x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17=3 x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27 =2 x31+x32+x33+x34+x35+

53、x36+x37=2 各需求点对消防车的需求量限制可以表示为 模型求解 将如上构成的线性规划模型输入LINDO： ! 消防车问题Min 36x11+24x12+49x13+21x14+81x15+72x16+45x17 +30 x21+20 x22+56x23+24x24+99x25+88x26+55x27 +36x31+24x32+63x33+27x34+90 x35+80 x36+50 x37 SUBJECT TO x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17 = 3 x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27 = 2 x31+x32+x33+x34+x35+x36+x

54、37 = 2 x11+x21+x31 =1 x12+x22+x32 =1 x13+x23+x33 = 1 x14+x24+x34 =1 x15+x25+x35 =1 x16+x26+x36 = 1 x17+x27+x37 = 1 END 求解得到如下结果： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 329.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 10.000000 X12 0.000000 8.000000 X13 1.000000 0.000000 X14 0.000000 2.000000 X15 1.000000 0.000

55、000 X16 1.000000 0.000000 X17 0.000000 3.000000 X21 1.000000 0.000000 X22 1.000000 0.000000 X23 0.000000 3.000000 X24 0.000000 1.000000 X25 0.000000 14.000000 X26 0.000000 12.000000 X27 0.000000 9.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X31 0.000000 2.000000 X32 0.000000 0.000000 X33 0.000000 6.000000 X3

56、4 1.000000 0.000000 X35 0.000000 1.000000 X36 0.000000 0.000000 X37 1.000000 0.000000 也就是说，消防站1应向火警地点2派1辆车，向火警地点3派2辆车；消防站2应向火警地点1派2辆车；消防站3应向火警地点2、3各派1辆车。最小总损失为329。 讨论 1) 这个问题本质上仍然和经典的运输问题类似，可以把每辆车到达火场看作需求点，消防站可作供应点。在上面模型中，我们虽然假设xij为0-1变量，但求解时是采用线性规划求解的，也就是说没有加上xij为0-1变量或整数变量的限制条件，但求解得到的结果中xij正好是0-1变

57、量。这一结果不是偶然的，而是运输问题特有的一种性质。 2) 在上面模型中，我们没有考虑消防车到达各火警地点的先后次序约束，但得到的结果正好满足所有的先后次序约束。这一结果却并不总是必然的，而只是巧合。 如对例题后半部分的情形，结果就不是这样了。显然，此时只需要修改损失矩阵(元素仍然分别记为cij)ci j火警地点1火警地点2火警地点3j=1j=2j=3j=4j=5j=6j=7消防站i=124362149457281消防站i=220302456558899消防站i=324362763508090 此时将重新构成的线性规划模型输入LINDO求解, 可以得到新的最优解: x14=x16=x17=x2

58、1=x22=x33=x35=1其他变量为0(最小总损失仍为329)。实际上, 损失矩阵中只是1、2列交换了位置，3、4列交换了位置，5、7列交换了位置，因此不用重新求解就可以直接看出以上新的最优解。 但是，以上新的最优解却是不符合实际情况的。例如，x14=x33=1表明火警地点2的第一辆消防车来自消防站3，第二辆消防车来自消防站1，但这是不合理的，因为火警地点2与消防站3有9分钟的距离，大于与消防站1的7分钟的距离。分配给火警地点3的消防车也有类似的不合理问题。 为了解决这一问题，我们必须考虑消防车到达各火警地点的先后次序约束，也就是说必须在简单的运输问题模型中增加一些新的约束，以保证以上的不

59、合理问题不再出现。 首先考虑火警地点2。由于消防站1的消防车到达所需时间(7分钟)小于消防站2的消防车到达所需时间(8分钟)，并都小于消防站3的消防车到达所需时间(9分钟)，因此火警地点2的第2辆消防车如果来自消防站1，则火警地点2的第1辆消防车也一定来自消防站1；火警地点2的第2辆消防车如果来自消防站2，则火警地点2的第1辆消防车一定来自消防站1或2。因此，必须增加以下约束：x14x13x24x13 +x23x16 x15x17 x16x36 x15+x352x37 x15+x16+x35+x36 同理，对火警地点1，必须增加以下约束：x22x21对火警地点3，必须增加以下约束： 此时将重新

60、构成的线性规划模型输入LINDO软件如下： ! 消防车调度Min 36x12+24x11+49x14+21x13+81x17+72x16+45x15 +30 x22+20 x21+56x24+24x23+99x27+88x26+55x25 +36x32+24x31+63x34+27x33+90 x37+80 x36+50 x35 SUBJECT TO x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17 = 3 x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27 = 2 x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37 = 2 x11+x21+x31 = 1 x12+x22+x32