自动控制原理根轨迹绘制的基本法则讲解

1、自动控制原理根轨迹绘制的基本法则讲解法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。证明:根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹,而终点则是指 的根轨迹。设系统闭环传递函数为（4-6），则闭环系统的特征方程式为式中 可以从零变到无穷。当K*=0时，有说明K*=0时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数的极点，所以根轨迹必起于开环极点。 将特征方程改写成如下形式一、绘制根轨迹的基本法则当 时，可得所以根轨迹必终于开环零点。实际系统中， ，因此有 条根轨迹的终点将在无穷远处。的确，当 时，具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点

2、数和开环极点数相等。法则2 根轨迹的连续性与对称性：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。 法则3 根轨迹的渐近线：当开环有限极点数 大于有限零点数m时,有 条根轨迹分支沿着与实轴交角为 交点为 的一组渐近线趋向无穷远处，且有 和 证明：渐近线就是s值很大时的根轨迹，因此渐近线也一定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式比值形式，得式中 ， 当 时，上式可近似为令 得渐近线方程 根据二项式定理 当 时，近似有 ， 举例说明例1 设控制系统如图4-5所示，其开环传递函数为 试根据已介绍的基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。解：将开环零点、极点标注在s平面的直角坐标系上，以“”表示开环极点，以“”表示开环

3、零点。在根轨迹绘制过程中，由于需要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标与纵坐标必须采用相同的比例尺。 由法则1，根轨迹起于 的极点 ， 和 ， 终于 的有限零点 以及无穷远处。由法则2，根轨迹的分支数有4条，它们是连续的且对称于实轴。 由法则3，有 条根轨迹渐近线，它们的交点为各渐近线与实轴的交角分别为以上交角可用量角器s平面上绘出，或者用 算出各渐近线与虚轴的交点来决定。 法则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。共轭复数的开环零点、极点对确定实轴上的根轨迹无影响。 证明：如下图所示，成对出现的开环共轭复数零点或极点对实轴上任一试探点

4、s1构成的两向量的相角之和在任何情况下都等于0或360，即 s1左方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为0 s1右方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为180 180的奇数满足根轨迹方程的相角条件。故实轴上的点若在根轨迹上，其右方实轴上的开环零点和极点综合必为奇数。 举例说明 例2 设系统开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。 解 系统的开环零点为 ，开环极点为-1，-5，-20以及原点（两重根）。如图所示。 区间-20，-5右方的开环零点数和极点数总和为5，区间-1，-0.5右方的开环零点数和极点数总和为3。故实轴上根轨迹在上述区间内。 当K*从零变到无穷大时，根轨迹可

5、能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应闭环重极点，也就是闭环特征式的重根。 显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。 当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点，对实际系统，依据规则1到4一般就能确定有无分离点。 法则5 根轨迹的分离点和分离角分离点的概念：若干根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点；分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。 实轴上分离点的位置可用重根法和极值法

6、求得。 分离点的坐标d是如下方程的解，分离角为 （4-20） 必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。 1）重根法 则闭环系统特征方程式可写为 设且一般的，如果实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这两相邻零点之间必有分离点。如果实轴上根轨迹在开环零点与极点之间，则它们中可能有分离点，也可能没有分离点。 联立二式，消去K*，得： 从这个公式中解得的s就是所求的重根点，也就是分离点 2）极值法由图4-8可知，就实轴根轨迹部分而言，当K*=0时，轨

7、迹从P1、P2出发，随着K*的增大，两支会合于A点，此时的K*是最大值（因为K*再大，轨迹已离开实轴了）。同理，对 Z这段轨迹来说，分离点B对应着K*的最小值。因此可以用求极值的方法求取分离点。由得因而若令K*=0，既上式分子为0，其结果与重根法结果相同 图4-8 分离点示意图由重根法和极值法得求解分离点的另外一个公式：例3 设控制系统的开环传递函数为：求根轨迹在实轴上的分离点。解：1.用重根法本题中故代入有解之得本题的实轴根轨迹区间为 和 ，故分离点只有一个。因s2不在根轨迹区间，所以分离点必落在 s1处。例4 已知负反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 解 令开环传递函数的分母为

8、零，得三个开环极点的值 1、根轨迹的起点和终点：起于三个开环极点 终点均为无穷远处。 2、根轨迹的分支数等于特征方程式的阶次，即3支。 3、根轨迹的渐近线：有 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标为 各渐近线与实轴正方向的夹角分别是 根据公式 4、实轴上的根轨迹：（ ），（1，0）。 5、根轨迹与实轴的分离点坐标 根据公式 从而得 由第4点知 不是根轨迹上的点，故舍去。因此我们可最后画出根轨迹如图4-9所示。 图4-9 根轨迹图图4-10 根轨迹的起始角与终止角法则6 根轨迹的起始角与终止角:根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实轴方向的夹角,称为起始角,以 表示，见图4-10 ；根轨迹进入开环

9、复数零点处的切线方向与正实轴方向的夹角，称为终止角，以 表示，见图4-10在图4-10所示的根轨迹上取一实验点 ，使 无限地靠近开环复数极点 ,即认为 ,则这时 ，依据相角条件有 = 同理可得 图4-11 终止角的求取归纳得求起始角和终止角的一般公式： (4-23)，(4-24) 举例说明 例5 已知负反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 解 令 ，得开环极点 ；令开环传递函数的分子为零，得系统的开环零点1、根轨迹分支数为2； 2、二条根轨迹的起点分别为（ ）和 ，它们的终点为 和无穷远处。 3、根轨迹的渐近线：由于 ，所以系统只有一条渐近线，它就是负实轴。 4、实轴上的根轨迹：（

10、）； 5、根轨迹与实轴分离点坐标 得 为根轨迹与实轴的分离点。 6、求起始角 = 从而可画出如图4-12所示的根轨迹。 图4-12法则7 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 然后分别令其实部和虚部为零而求得。 证明：若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着 的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此，令劳斯表第一列中包含 的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的 值。此 外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以利用劳斯表中 行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴相交的 值。如果根轨迹

11、与正虚轴（或负虚轴）有一个以上的交点，应采用劳斯表中大于2的 偶次方行的系数构造辅助方程。 确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是将 代入闭环特征方程，得到 令上述方程的实部和虚部分别为零，有 和 从而可求得 值和 值。 解 控制系统的特征方程是 例6 求例3系统根轨迹与虚轴交点的坐标及临界参数值Kc将 代入上式，得 根轨迹与虚轴的交点坐标为 将 的值代入实部方程得 当 时，系统将不稳定。 法则8 根之和。系统的闭环特征方程在nm 的一般情况下可以有不同形式的表示式中si为闭环特征根。 当nm 2时，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和。 所以当开环增益K增大时，若闭环某些根在s

12、平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。此法则用于判断根轨迹的 走向。 二、 闭环极点的确定。设控制系统特征方程式n个根为 ，则有 对于稳定的控制系统有 例7 已知例3所示系统的根轨迹与虚轴相交时两个闭环极点为 ，试确定与之对应的第三个闭环极点 及临界增益Kc 解 已知系统的特征方程为 根据方程根的和与系数的关系 可得 三、放大倍数的求取： 根轨迹增益与开环放大倍数的关系 0型系统：型系统： 型系统： 例8 求例3所示系统的临界开环放大倍数 解 已知： 它对应型系统,又 则 例9 负反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 解 令 可解得开环极点为 ， ， 1、根轨迹的分支数为4；

13、2、四条根轨迹的起点分别为 终止于无穷远处； 3、根轨迹的渐近线：根轨迹有四条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是 渐近线与实轴正方向的夹角分别为 4、实轴上的根轨迹：（ ）； 5、根轨迹与实轴的分离点坐标 得 6、根轨迹的起始角 = 7、根轨迹与虚轴的交点 根据公式 得方程组 得 及 该系统为型系统，则 根据如上分析和计算，可绘出系统的根轨迹如图4-12. 8、闭环极点的确定 系统的特征方程为 得 图4-12 根轨迹图在研究控制系统时，常常会碰到一种情况，就是系统仅具有两个开环极点和一个开环零点。这时根轨迹有可能是直线，亦有可能是圆弧。可以证明，若根轨迹离开实轴，必然是沿着圆弧移动。 四、某些特殊控制系统