2012江苏省南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测数学试题全解析(1)

1、PAGE PAGE 15南通市2012届高三第二次调研测试 解析数学参考公式：，的方差，其中.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合，那么= .解析：考查集合中元素的互异性、集合的并集运算。 答案：。2已知（为虚数单位），若复数在复平面内对应的点在实轴上，则= . 解析：考查复数的乘法运算。 复数对应点在实轴上等价于为实数，即实部为0。答案：13若抛物线上的点到焦点的距离为6，则 .解析：考查抛物线的定义。 可知：抛物线上的点到焦点的距离为答案：84已知函数，在区间上随机取一，则使得0的概率为 .解析：考查几何概型的运用。，选择长度为相应

2、测度，所以概率答案：5.若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 .解析：考查倾斜角和斜率的概念和关系。 此题倾斜角为钝角等价于斜率小于，从而得到：； 答案：6.某市教师基本功大赛七位评委为某选手打出分数的茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为 .（茎表示十位数字，叶表示个位数字）解析：考查茎叶图的意义，在理解意义方差与标准差定义和关系的基础上简化计算。；标准差，相当于计算这一组数的标准差. 答案:7.若执行如图所示的程序框图,则输出的的值为 .解析：考查流程图的循环结构、判断语句。算法流程是： 答案:8.已知单位向量、的夹角为，那么的最小值是 .解析：考查向量模的运

3、算。常用这一特性；，答案：9.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= .解析：考查三角函数定义、图像、性质及两角和公式。由角的终边过点得知：，由函数图像相邻对称抽之间的距离为得知此函数的周期为，从而获得，所以.再用两角和公式进行运算。答案：10.各项均为正数的等比数列满足，若函数的导数为，则= .解析：考查等比数列的基本知识、导数的运算。各项为正的等比数列满足：推算出，所以，又，将代入得,所以。 答案：11.若动点P在直线上，动点Q在直线上，设线段PQ的中点为M，且8，则的取值范围是 .解析：考查动点的轨迹方程问题、数形结合法或函数与方程思想。设点满足，点满足，两式相

4、加得：点轨迹是直线；同时又要求点满足,所以满足条件的点在定线段上。所求表示线段上的点到原点距离最值得平方。此题在得到：轨迹是直线后亦可以用代入条件得到：，代入目标消元得利用二次函数求得。 答案：8，1612已知正方体的棱长为，以各个面的中心为顶点的凸多面体为，以各个面的中心为顶点的凸多面体为，以各个面的中心为顶点的凸多面体为，依此类推。记凸多面体的棱长为，则= .解析：考查推理方法以及几何体中元素的关系理解应用。正方体的棱长为,由各个面的中心为顶点的几何体为正八面体，其棱长，由各个面的中心为顶点的几何体为正方体,其棱长,如此类推：得到。 答案：213.若函数，则函数在上不同的零点个数为 .解析

5、：考查数形结合法的应用、函数图象的作法。考虑函数与的图象交点的个数。而函数，由图象易见结果为3另外，也可按如下步骤做出的图象：先作的图象，再作的图象。答案：314.已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C为的中点，点D、E分别在半径OA、OB上。若,则的最大值是 .解析：考查函数思想、最值问题解法，以及解三角形的知识。设，（解法一）由余弦定理得，由得：，解得，所以时，的最大值为。（解法二），以下同解法一（解法三，小题小做）以上同，由于具有可交换性，当时，最大，即。最大值是。答案：二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满

6、分14分)已知函数的最大值为2.（1）求函数在上的单调递减区间;（2）ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=，c=3，求ABC的面积。解：（1）由题意，的最大值为，所以2分 而，于是，4分为递减函数，则满足 ， 即6分所以在上的单调递减区间为 7分 （2）设ABC的外接圆半径为，由题意，得 化简，得 9分由正弦定理，得， 由余弦定理，得，即 11分 将式代入，得 解得，或 （舍去）13分 14分16(本小题满分14分)ABCC1B1A1FDE（第16题）OM如图，三棱柱中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱上，已知.(1)求证:平面ADF;(2)若点M在棱上，当为何值时，

7、平面平面ADF?分析：（1）要证明,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行.要在平面中找到与平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过的平面与平面的交线,这里注意为的重心，（）,再利用比例关系证明从而证明结论.取中点,可通过证明面,证明解：（1）连接交于，连接 因为CE，AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，从而OF/C1E3分OF面ADF，平面，所以平面6分（2）当BM=1时，平面平面 在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC 由于AB=AC，是中点，所以又平面B1BCC1平面ABC=BC， 所以AD平面B1BCC1 而CM平面B1BCC1，

8、于是ADCM9分 因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以，所以CMDF 11分 DF与AD相交，所以CM平面 CM平面CAM，所以平面平面13分当BM=1时，平面平面14分17. (本小题满分14分)已知椭圆的右焦点为，离心率为。（1）若，求椭圆的方程；（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上。 证明点A在定圆上；设直线AB的斜率为，若，求的取值范围。分析：（2）证明点A在定圆上，本质是证明可设点的坐标，用点的坐标表示 的位置关系，从而得出结论；由推出，也可由前两个方程解出后代入第三个方程得到。解：（1）由，c=2，得a=，b=2

9、 所求椭圆方程为4分 （2）设，则， 故，6分 由题意，得 化简，得，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上 8分 设，则 将，代入上式整理，得 10分因为，k20，所以 ，12分所以 化简，得 解之，得，. 故离心率的取值范围是. 14分(说明：不讨论，得的扣2分)18. (本小题满分16分)ABCDP1P0P2P3P4（第18题）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点出发，沿与AB的夹角为的方向射到边BC上点后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD、DA和AB上的、处。（1）若与重合，求的值；（2）若落在A、两点之间，且。设，将五边形的面积S表示为的函数，并求S的最

10、大值。分析：为了刻画点位置，设，通过四个相似的直角三角形结合角表示,再由题意分别推算和多边形的面积，在得出多边形面积时用矩形面积减去四个直角三角形的面积.解 ：（1）设，则，2分=，4分， 6分由于与重合，所以，即 8分（2）由（1），可知因为P4落在A、P0两点之间，所以，即 10分S=S四边形ABCD 14分由于，所以故S的最大值为 16分19(本小题满分16分)已知函数。（1）若对任意，都有恒成立，求的取值范围；（2）设。若P是曲线上异于原点O的任意一点，在曲线上总存在另一点Q，使得POQ中的POQ为钝角，且PQ的中点在轴上，求的取值范围。分析：(1)可以用分离变量也可分类讨论 转化为在

11、区间上恒非负，按与区间的相对位置，探求时，具备的条件.(2)此题注意：与并且不共线.解：（1）由，得由于，且等号不能同时取得，所以从而恒成立， 4分设求导，得6分，从而，在上为增函数所以，所以8分（2）设为曲线上的任意一点假设曲线上存在一点，使POQ为钝角，则10分若t-1，=由于恒成立， 当t=1时，恒成立当t1时，恒成立由于，所以a0. 12分若，则=，对，恒成立 14分 当t1时，同可得a0经验证共线时，不符合题意。综上所述，a的取值范围是 16分20（本小题满分16分）已知，是方程x2x1=0的两个根，且数列an，bn满足a1=1，a2=，an+2=an+1+an，bn=an+1an(

12、nN*). （1）求b2a2的值； （2）证明：数列bn是等比数列； （3）设c1=1，c2=-1，cn+2+cn+1=cn（nN*），证明：当n3时，an=(-1)n1（cn-2+cn）解：因为，是方程x2x1=0的两个根，所以+=1，=-1，2=+1. （1）由b2= a3a2= a1+a2a2=1+ a2=2+ a2，得b2a2=2. 4分 （2）因为 eq f(bn+1,bn)= eq f(an+2an+1, an+1an)= eq f(an+1+anan+1, an+1an)= eq f(1)an+1+an, an+1an)= eq f(an+1+an, an+1an)= eq f(

13、an+1an, an+1an)=， 8分 又b1= a2a1=0，所以bn是首项为，公比为的等比数列 10分 （3）由（2）可知 an+1an=（）n1 同理， an+1an=（anan-1）又a2a1=0，于是an+1an=0 由，得 an= n1.13分下面我们只要证明：n3时， (-1) n1（cn-2+cn）= n1因为 eq f(-1)n(cn-1+cn+1), (-1)n-1(cn-2+cn)= eq f(cn-1cn+cn-1, cn-2+cn)= eq f(cn-1cn, cn-2+cn)= eq f(cn-2cncn, cn-2+cn)= eq f(cn-2(1+)cn, c

14、n-2+cn)= eq f(cn-22cn, cn-2+cn)=又c1=1，c2=-1，c3=2，则当n=3时，(-1)2(c1+c3)= (+2)=1+=2，所以(-1) n1 (cn-2+cn)是以2为首项，为公比的等比数列 (-1) n1 (cn-2+cn)是它的第n2项，所以(-1) n1 (cn-2+cn)= 2n3=n1= an.16分南通市2012届高三第二次调研测试数学（附加题）21【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(第21-A题)ABPOEDCA选修41

15、：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，求证：PDE=POC证明：因AE=AC，AB为直径， 故OAC=OAE 3分所以POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC又EAC=PDE，所以，PDE=POC10分B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知，计算解：矩阵M的特征多项式为3分令，从而求得对应的一个特征向量分别为 5分令所以求得 7分10分C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数

16、的值解：，圆心，半径，圆心，半径3分圆心距， 5分两圆外切时，； 7分两圆内切时，综上，或10分D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知x，y，z均为正数求证：证明：因为x，y，z都是为正数，所以3分同理，可得将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10分22【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为136击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比（1）若射击4次，每次击中目标的概率为且相互独立设表示目标被击中的次数，求的分布列和数学期望；（2）若射击2次均击中目标，表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件发生的概率解：（1）依题意知，的分布列01234数学期望=（或=）5分（2）设表示事件“第一次击中目标时,击中第部分” ，表示事件“第二次击中目标时,击中第部分”, 依题意，知, 7分所求的概率为=答：事件的概率为0.2810分另解：记“第一部分至少击中一次”为事件，“第二部分被击中二次”为事件，则，7分答：事件发生的概率为0.2810分23【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演