2011年高考-不等式（专题复习）

1、第六单元 不等式 第一节 不等关系与不等式 基础梳理1. 不等式的定义：用不等号、连接两个数或代数式的式子叫做不等式.2. 不等式的基本性质(1) ab b a;(2) ab,bca c;(3) ab a+c b+c;(4) ab,c0ac bc;(5) ab,c0ac b,cda+c b+d;(7) ab0,cd0ac bd;(8) ab0,nN*,n1 , .3. 实数比较大小的方法（1）a-b0 a b;（2）a-b=0 a = b;（3）a-b0 a 至多小于”、“b,则acb;若abab0,则若ab, ,则a0,b0,则ab,故为真命题.中，由 可得 ,由 ,可得 , 为真命题.中，

2、由ab,得-a-b,c-aab0,0c-ab0, 为真命题.中，由 ,abb,a0,bb0,cd0,e0,求证：证明： cd-d0.又ab0,a-cb-d0,(a-c)2(b-d)20， .又e0,b0,c0,又由题设条件可知ab,故有 成立，即所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.学后反思 实数大小的比较问题常常用“比较法”来解决，“比较法”有“作差比较法”和“作商比较法”两种，可根据代数式的结构特点灵活选用.“作差比较法”的依据是 “ ” ，其过程可分为三步：作差；变形；判断差的符号.其中关键一步是变形，手段可有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号，因

3、此变形越彻底，越有利于下一步的判断.“作商比较法”的依据是“ ”,是把两数的大小比较转化为一代数式与“1”进行比较，在代数式结构含有幂、根式或绝对值时，可采用此方法.在用“比较法”时，有时可先将原代数式变形后再作差或作商进行比较，若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系.举一反三3. 设a、b是不相等的正数， ,试比较A、G、H、Q的大小.解析： a,b为不相等的正数, 即HG;由 ,即GA;由 ,即AQ.综上可知，当a、b是不相等的正数时，HGAQ.题型四 利用不等式性质求范围【例4】(12分)设 ,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范围.分析 易知1a-b2，2a+b4,只要

4、将f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出来，再利用不等式性质求解4a-2b的取值范围即可.解 方法一：设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)，2即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,.4于是得 ,解得 ,.6f(-2)=3f(-1)+f(1).8又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,.10即5f(-2)10.12方法二：由得f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)9又1f(-1)2,2f(1)4,1053f(-1)+f(1)10,即5f(-2)1012学后反思 由 ,求 的取值范围，可利用待定

5、系数法解决，即设 用恒等变形求得p,q，再利用不等式的性质求得 的范围.此外，本例也可用线性规划的方法来求解.举一反三4. 已知 ，求 的取值范围.解析： , , +得-+， . , . +得-, .又, , .易错警示【例】已知2a3,1b2,求a+b,a-b, 的范围.错解 2a3,1b2,3a+b5,1a-b1, .错解分析 在运用不等式性质时忽视了性质成立的必要条件.另外，同向不等式相加，不等号方向不变，相减、相除则行不通.正解 2a3,1b2,3a+b5.又-2-b-1,0a-b2.又 ,1”“”或“=”).考点演练解析 : 答案： 0且x1),试比较f(x)与g(x)的大小.解析：

6、 .(1)当 ,即 或 时,也就是x 或0 xg(x);(3)当 ,即 或 时，也就是 时,f(x) 或0 xg(x);当x= 时,f(x)=g(x);当1x 时,f(x)2t,故乙先到教室.基础梳理第二节 一元二次不等式及其解法1. 一元二次不等式的定义只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.2. 一元二次不等式的解集如下表 判别式0=00二次函数 的图象一元二次方程的 根有两相异实根有两相等实根没有实数根的解集. . . .R的解集. . . .3. 分式不等式与一元二次不等式的关系设a0; 等价于（x-a）(x-b)0,且方程 的根是所以原不等式的解集是 .

7、(2)方法一：原不等式即为 ,其相应方程为 , ,上述方程有两相等实根 ,结合二次函数 的图象知，原不等式的解集为R.方法二：xR,不等式的解集为R.学后反思 一般地，对于a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.举一反三1. 已知二次函数 ,当y0时,有 ,解不式 .解析：因为当y0时 ，有 ，所以 是方程 的两个实数根.由根与系数的关系得 解得 ，所以不等式 ,解得-2x3,即不等式 的解集为x|-2x3.题型二 一元二次不等式的恒成立问题【例2】函数 (1)当xR时，f(x)a恒成立,求a的取值范围；（2）当x-2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范

8、围.分析 设 恒成立问题转化为g(x)0恒成立问题. （1）中xR时,g(x)0恒成立，即g(x)的图象不在x轴下方，故0.(2)中当x-2,2时，g(x)0恒成立，并不能说明抛物线恒在x轴上方，应分三种情况讨论.解（1）xR时，有 恒成立，须且只须 ,即(2)方法一：当x-2,2时， ,分如下三种情况讨论： 图1 图2 图3如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有 ,即-6a2.如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但在x-2,+)时，g(x)0,即 即解得 .如图3,g(x)的图象与x轴有交点,但在x(-,2时,g(x)0, 即 即解得-7a-6.综合得a-7,2.方法二： ,只要f(x)

9、的最小值大于或等于a即可. .当 ，即-4a4时, .令 ,再结合-4a4,解得-4a2.当 ，即a-4时， .令2a+7a，则a-7,-7a4时, .令7-2aa，则a73，a.由得-7a2.即当a-7,2时，在x-2,2时，有f(x)a恒成立.学后反思 (1) 对 xR恒成立时，只要求满足 即可.另外： 恒成立 恒成立 恒成立 (2) 区别“f(x)0对xR恒成立”与“f(x)0对xm,n恒成立”的不同.f(x)0对xm,n恒成立，即f(x)在m,n上的最小值 .举一反三2. 不等式 对于xR恒成立，则a的取值范围是（）A.(-,2 B.(-，-2) C.(-2,2) D.(-2,2 解析

10、：当a=2时，不等式恒成立；当时 ，解得-2a2.综上,-2a2.答案：D题型三 一元二次不等式的实际应用【例3】(12分)国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t,按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析 理解题意,巧设未知数,正确将不等关系转化成不等式是解题关键.解 设税率调低后的税收总收入为y元,.1则 .4依题意,得y2 400m8%78%,即 2 400m8%7

11、8%.6整理得 ,解得-44x2.9根据x的实际意义,知0 x8,所以0 x2为所求.11即x的取值范围是(0,2.12学后反思 解不等式应用题，可分以下几步思考：（1）认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系;（2）引进数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化;（3）求解不等式;（4）还原实际问题.举一反三3. 已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（m）与时速（km/h）的平方及汽车总重量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50 km/h行驶时,从刹车到停车走了20 m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20 m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5 m以外处停车,最大限制时速应是多少

12、(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1 s)?解析：设卡车从刹车到停车滑行距离为s m,时速为v km/h,卡车总质量为t,则有 (k为常数).设卡车空载时的总质量为 ,则 ,解得 .设卡车的限速为x km/h(x0),易知1 s走了由题意得 ,即 ，解得0 x23.所以卡车的最大限速为23 km/h.【例】解关于x的不等式 .易错警示错解 即当 ，即0a1时，不等式解集为 ;当 1或a0时，不等式解集为 .错解分析 上述错解有如下错误：首先没有对二次项 的系数a的正负进行讨论.在比较 与1的大小时,忽视了 =1这种情况.此外应注意如下错误:步骤要规范完整，分类讨论的试题要有

13、总结性的语言,如“综上所述”.由于关于x的不等式是按a的取值分类讨论的,故最后结论不应取并集,应分别叙述；若是按x分类讨论,最后应取并,故何时取交集、并集，还是分别说明应引起重视.正解 若a=0,原不等式-x+11;若a0，原不等式 其解的情况应由 与1的大小关系决定，当a=1时，式x;当a1时，式 ;当0a1时，式 .综上所述，当a1;当0a1时，解集为 . 考点演练10. 当x(1,2)时，不等式 恒成立,则m的取值范围是 .解析：方法一（分离变量法）：原不等式可化为 ，x(1,2),式可化为 .易证明 在(1,2)上是减函数，所以 ,m-5.方法二（二次函数法）：如图，显然，要使得二次函

14、数 在区间(1,2)上小于0恒成立,只需 即可，解得m-5.答案：m-511. 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润y=（出厂价-投入成本）年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内?解析：(1)由题意得y=1.2(1+0.75x)-1(1+

15、x)1 000(1+0.6x)(0 x1),整理得(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有即 解得0 x .12. (2009南京模拟)已知不等式 的解集为x|xb.(1)求a,b;(2)解不等式 .解析：(1)因为不等式 的解集为x|xb,所以 =1与=b是方程 的两个实数根,且b1,由根与系数关系得 ,解得(2)不等式 ,即 ,即(x-2)(x-c)2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|2xc;当c2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式(x-2)(x-c)2时,不等式 的解集为x|2xc;当c2时,不等式 的解集为x|cx0在平面直角坐标

16、系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应包括边界,则把边界画成实线.（2）判定方法对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同,因此只需在此直线的同一侧取某个特殊点( )作为测试点,由 的符号即可判断Ax+By+C0表示的是直线哪一侧的平面区域.当C0时,常取原点作为测试点.（3）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集,因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分.2. 线性规划的有关概念名称意义约束条件

17、由变量x,y组成的不等式组线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题典例分析题型一 用二元一次不等式（组）表示平面区域 【例1】如图，在ABC中，A（0，1），B（-2，2），C（2，6），写出ABC区域所表示的二元一次不等式组.分析 首先写出直线AB、AC、BC的方程,再确定阴影部分在直线的哪一侧，写出相应的二元一次不等式,再组成不

18、等式组.解 由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：直线AB:x+2y-2=0,直线BC：x-y+4=0,直线CA:5x-2y+2=0.原点（0,0）不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为学后反思 直线把平面分成的每一个区域内所有的点的坐标都满足一个不等式，确定不等式Ax+By+C0(0,0,0)表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域，常用下列方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取( ),把它的坐标代入Ax+By+C0,若不等式成立，则和( )同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到.否则，直线的另一区域为不等式Ax+By+C0所表示的区域.当C

19、0时，常用原点来判别或者根据B的符号和不等式的符号来判别，若B的符号和不等式的符号同号，则不等式表示的区域在直线上方；若异号，则在直线的下方.举一反三(教材改编题)若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )A.a5 B.a7 C.5a7 D.a0,将C(7,9)代入z得最大值为21.(2) 表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,故z的最小值是 . 表示可行域内任一点（x,y）与定点 连线的斜率的两倍，因为 ,所以z的取值范围为 .学后反思 线性规划求最值问题,要充分理解目标函数的几何意义,诸如直线的截距、两

20、点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知直线两点的直线斜率等. 3. 如果点P在平面区域 上，点Q在曲线 上，那么|PQ|的最小值为（ ）举一反三解析： 如图，当P取点 ，Q取点（0，-1）时，|PQ|有最小值为答案： A题型四 线性规划的实际应用【例4】 (12分)某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司每分钟所做的广告，能给公司带来的收益分别为0.3 万元和0.2万元.问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司收益最大，最大收益

21、是多少万元？ 分析 根据题意，列出线性约束条件，正确作出二元一次不等式组所表示的平面区域，利用线性规划问题解决.解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元.2由题意得 z=3 000 x+2 000y.6二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图:作直线l:3 000 x+2 000y=0,即3x+2y=0.8平移直线l,从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.9联立 ,解得x=100,y=200.10点M的坐标为(100,200), =3 000 x+2 000y=700 000 （元）.11所以该公司在甲电视台做

22、100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.12学后反思 (1)解线性规划应用问题的步骤是:设出未知数；列出约束条件，确定目标函数；作出可行域；作平行线，使直线与可行域有交点；求出最优解，并作答;(2)用图解法解答线性规划应用题时应注意:仔细审题,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,探求的目标如何?起关键作用的变量有哪些?由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,一般可将数据列成一个表格来帮助分析数量关系;(3)要注意结合实际问题,确定未知数x,y等是否有限制,如本题中必须x0,y0;(4)能建立线性规划的实际问题的

23、类型:给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.举一反三4. 某化工集团在靠近某河流修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万立方米/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万立方米/天的支流并入大河（如图）.第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万立方米,从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前,有20%可自然净化.环保要求:河流中工业废水的含量应不大于0.2%,因此,这两个工厂都需各自处理部分工业废水,第一化工

24、厂处理工业废水的成本是1 000元/万立方米,第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万立方米.试问:在满足环保要求的条件下,两个化工厂应各自处理多少工业废水,才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小?解析：设第一化工厂每天处理工业废水x万立方米,需满足：设第二化工厂每天处理工业废水y万立方米,需满足:两个化工厂每天处理工业废水总的费用为1 000 x+800y元.问题即为:在约束条件 即 下求目标函数z=200(5x+4y)的最小值.如图,作出可行域.可知当x=1,y=0.8时目标函数有最小值,即第一化工厂每天处理工业废水1万立方米,第二化工厂每天处理工业废水0.8万立方米,能使这两个工厂总

25、的工业废水处理费用最小.易错警示【例】在R上可导的函数 ,当x(0,1)时取得极大值,当x(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及 的取值范围.易错分析 本题解答易出现如下误区：（1）不能根据条件准确作出可行域或不理解所要解答问题的几何意义;（2）易忽视可行域不包括边界而得出 .正解 函数f(x)的导数为 ,当x(0,1)时f(x)取得极大值,当x(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程 有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数 的图象与 方程 的根的分布之间的关系可以得到在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为ABD（不包括

26、边界,如图阴影部分），其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), (h为点A到a轴的距离).点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为 ,显然 ( ),即 .考点演练10. (2009福建福州八中)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x,y)的概率是 .解析:如图，输出的点的轨迹为以原点为圆心，以 为半径的圆周及其内部，面积为 ，可行域内所有的点构成的轨迹是边长为 的正方形,面积为2.所以概率为 = .答案： 11. (创新题)设m为实数 若求m的取值范围. 解析：由题意知,可行域应在圆内,如图,如果-m0,则可行域取到x0,b0 .(2)等号成立的条件:当且仅当 a

27、=b 时取等号.2. 几个重要的不等式(1) 2ab(a,bR).(2) 2 (a,b同号).(3) (a,bR). .3. 利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是 .(简记:积定和最小)（2）如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y 时, xy有最大值是 .(简记:和定积最大)基础梳理典例分析题型一 证明不等式【例1】已知a0,b0,c0,且a+b+c=1, 求证:分析 将1=a+b+c代入不等式左边,构造基本不等式模型，再利用基本不等式证明.证明 学后反思 本题如果改为a0,b0,c0,求证 就比较明显.用a+b+c=1的

28、条件将（a+b+c）“隐”去，造成了思考上的困难，因此应注意“1”的代换，构造基本不等式，使其积为定值，并使得等号同时成立.举一反三1. 已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:证明: x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1, 又0 x1, .同理, 将三式相乘,得 题型二 求最值【例2】 (1)设0 x0,y0,且x+y=1,求 的最小值.分析 (1)由0 x0,8-3x0.由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得3x(8-3x) =16.(2)原式= ，再讨论a-4的正负.(3)由 ,再用基本不等式求最值.解 (1)0 x2,03x20, ,当且仅当3x=8-3x

29、,即x=43时取等号,当x= 时, 的最大值是4.(2)显然a4,当a4时,a-40, 当且仅当 ,即 时取等号;当a4时,a-40,y0,且x+y=1, ，当且仅当 ,即x=2y时等号成立，当 时， 有最小值18.学后反思 (1)在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.本题第(2)小题中 虽不是定值,但变形为 即可发现 为定值,故可用基本不等式求之.分式函数求最值,通常化成 ,g(x)恒正或恒负)的形式,然后运用基本不等式来求最值. (2)第(

30、3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见的错解为：x0,y0, .此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件 和x=y同时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第(2)小题中当a4,即a-40时,要用基本不等式必须前面添负号变为正.举一反三2. 求f(x)= 的值域.解析：由已知得 .(1)若x2,则x-20.故 ,当且仅当 ,即x=3时取等号;(2)若x2,则x-20),即x=10时取等号.5当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.6（2）由限制条件知 .8设 .9g(x)在 上是增函数,.10当 时 , g(x)有最小值,即f(x)有最小值 (元)11当长为16米,宽为 米时,总造价最低，为38 882元.12学后反思 (1)解应用题时,一定要注意变量的实际意义,即注意它的取值范围.(2)利用基本不等式解决实际问题，要注意验证基本不等式成立的三个条件，当“=”不能成立时，一般可用函数单调性求其最值.举一反三3. 某游