33紧集与有限维赋范线性空间

1、3.3紧集与有限维赋范线性空间3.3.1致密集的概念实数直线上的Bolzano-Weierstrass致密性定理(compactness theorem):任一有界数歹U 必有收敛子列。定义3.3.1设(X, p)是度量空间，Au X .若在A中的任何点列必有在X中收敛的子点列，则称A是(X中的)致密集。若X自身是致密集，则称X是致密空间。性质1有限点集是致密集。注 点集和点列不一样，点列是取点集中的元素构成的，其各项可以重复，但点集中的元素 却不能一样。因此，由于有限点集中的元素有限，所以要想构成点列，必然有同一个元素无 数次重复，这样，这些重复的元素构成的子点列必然收敛。性质2有限个致密集

2、的并是致密集。证 设A , A，,A是度量空间(X, p)的致密集，往证A = J A也是(X, p)的致密集。12 mkk =1任取一点列x u A，则存在A (1 / m)，x 有无限多项属于A，记其为x ， nnnk即x u A.而A是致密的，所以必有在X中收敛的子点列xn ，使得x T x G X (h T 8),即xj在X中收敛的子点列xn ，故A也是(X, p)的致密集。证毕！性质3致密集的任何子集是致密集。因此，任何一族致密集的交是致密集。证只要证明“致密集的任何子集是致密集”即可，而“任何一族致密集的交是致密集” 则是前者的直接推论。设A是度量空间(X, p )的致密集，B是A

3、的任一子集。任取一点列xj u B，因为B u A，所以xj u A.而A是致密的，因此点列x 必有在X中收敛的子点列x ，使得nnkx T x G X (k T8 ),故B也是致密的。证毕！，性质4致密集的闭包是致密集。证 设(X, p)是度量空间，Au X是致密集，往证A的闭包也是致密集。任取一点列七 u A = AU A,则对每个n，存在y e A (进而得一点列yj u A )，使得p (x , y ) -,n n n因为A是致密的，所以点列y必有在X中收敛的子点列 yn，使得yn y e X (k s),即 p (yn ,y 0 kt”.)于是由三点不等式得P (x ，y) vp (

4、x , y ) + p (y , y) + p (yn , y) 0knknk nknk即：点列xn必有在X中收敛的子点列xn ，使得由定义3.3.1知：A的闭包A也是致密集。证毕!性质5致密集中的基本点列必然收敛。因此，致密的度量空间是完备的。证 设(X, p)是度量空间，Au X是致密集。若xn是A中的基本点列，则由A的致密性得：点列xj必有在X中收敛的子点列七，使得x t x e X (k T8).于是x t x (n T8).证毕!3.3.2紧集定义3.3.2 (紧集)称度量空间中的致密闭集为紧集(C ompact Set)。注 显然，A是紧集的充要条件是：A中任一点列必有收敛的子点列

5、收敛于A中的一点。对于全空间来说，致密的概念和紧集的概念没有区别，致密的度量空间又称为紧(度量)空间。性质 度量空间（X, P）中的紧集A看成X的子空间时是完备的。定理3.3.K Gross）设A是度量空间（X, p）中的紧集，K是X中的一族开集。若K覆盖A :A u U B 人，BRK则必有K中的有限个开集B1,B2,Bn覆盖A :A u U B .i i=1注这个定理也称为有限覆盖定理，它的逆命题也成立。定理332设A是度量空间（X, p）中的点集，若X中每个覆盖A的开集族中必有有限个开集覆盖A，则A是紧集。证（自证！）根据定理3.3.1和定理3.3.2,我们可以给出度量空间中紧集的另一个

6、定义：定义3.3.3 （紧集）设A是度量空间（X, p）中的子集，若X中每个覆盖A的开集族中必有有限个开集覆盖A，则称A是紧集。3.3.3紧集上的连续映射我们现在把闭区间上的连续函数的基本性质拓广到度量空间的紧集上。定理3.3.3设A是度量空间（X, p）中的紧集，f是A上的连续映射，则A的象B = f （A）也是紧集。证（自证！）推论1度量空间上的连续映射必然把致密集映射成致密集。推论2度量空间中的紧集A上的连续函数f必然有界，而且上、下确界可以达到。推论3紧集上的一对一的连续映射必是同胚映射。证 设f是紧集A到B上的一对一的连续映射，往证逆映射f -1也是连续的。In fact,只要证明f

7、 -1的逆映射f将A的任意闭子集E映射成闭集即可。因为A是紧集，所以A的闭子集E也是紧集。因此f （E）也是紧集。f和f-1一样都是连续映射，故f是拓扑映射。证毕！3.3.4有限维赋范线性空间e ,e，,e是x的一个基，则必存在正数12xe e X，有i i n有限维赋范线性空间又称为Minkowski空间。 定理3.3.4设0,| 口|）是n维赋范线性空间 C1, C，使得对于Vx = i =1X 2 圳J C2i i=1(3.3.1)并且映射xei i i=1(3.3.2)是n维欧几里得空间Rn到Xn的同胚映射。所以证因为x =ILxe e Xii =1x寻|匕| Ji=1(3.3.3)则

8、q0，且另一方面，作R中的单位球面:S = (x ,x，,x ) e Rn2=1，考察S上的函数f (气,Z,乙ei i i=1显然f在S上处处大于零。现在证明f在S上的下确界C = inf1(X1，x2,Xn)eS乙e0.i ii=1因为S是Rn中的有界闭集，所以S是紧集。由定理3.3.3的推论2矢口：只要证明f是 连续的，则f在s上的下确界C1是f在s上某点的函数值，这样就能得到q0.由(3.3.3)得:f 3,x，,x ) f (j , j，,j )| =12 n12n 1xei i i=1jeii i=1(x j )e 0.对于Rn中的非零向量x = xe，作 i i& Jj = 1,

9、2,，n,i=1则e |& I2=1，因此 jj=1 C1，*xei i i=1于是(3.3.1)得证！由(3.3.1)得: 怫-刨 临-叫|，且(3.3.4)|A-1 x-SI 0，使得对Vx e Xn，都有勺风 141 k2l4 -为了说明定理3.3.4的结论，我们对一般的线性空间(不一定是有限维的)引入如下概念：定义3.3.4设X是一个线性空间，| , fl是定义在X上的两个范数。若存在正数c ,c，1212使得对一切X G X，都有cJI X2 q4 1 c2 |圳2,(3.3.5)则称范数|口|1和|口|2是等价的。注设在线性空间X上有两个范数|机|也，X按这两个范数成为赋范线性空间

10、，记为(X,|口|)和(X,回).则范数|口|和|口|等价的充要条件是在(X,|邛)和(X,|口| )中点 TOC o 1-5 h z 121212列收敛的概念是一致的，即：|x -X 0 (n T8)与 |x -X 0 (n T8)是等价的。n 1n 2因此，当范数|口|和II口|等价时，赋范线性空间(X,|口|)和(X,|口| )是同胚的。 1212定理3.3.4的推论1说明：在有限维线性空间上，任何两个范数都是等价的，任何两个n 维赋范线性空间都是同胚的。推论2有限维赋范线性空间是完备的。证(自证！)由于度量空间的完备子空间是闭的，所以得：推论3任意赋范线性空间的有限维线性子空间是闭子空

11、间。从定理3.3.4又可得到定理3.3.5有限维赋范线性空间中任何有界集都是致密的。证 设X是n维赋范线性空间，则X和n维欧几里得空间Rn同胚。记Xn到Rn的拓扑映射为f，则f -1也是拓扑映射。对于Xn中的有界集A，f (A)是Rn中的有界集。由定理1矢口： f (A)是Rn中的致密集，而致密集在连续映射f -1下仍是致密的，故f (A)的原象A是Xn中的致密集。证毕！反之，我们可以证明：若在一个赋范线性空间中每个有界集都是致密的，则这个空间 一定是有限维的。为此我们先介绍F. Riesz的一个引理。在欧几里得空间中，对任一线性真子空间，必有一单位向量与此子空间的“距离”等于1.但对于一般的

12、赋范线性空间，F. Riesz证明了下面的Riesz引理 设E是赋范线性空间X的闭子空间，且E。X，则对V8 (0 8 .证 因为E是X的真子集，任取一点X e X - E,又因为E是闭的，所以若不然，即P (X, E) = 0，则X e E = E，矛盾!因为d：沱 d所以必有xe E，满足|x - x|证毕！下面的定理指出了有限维空间和无限维空间的一个本质性的差别。定理3.3.6若赋范线性空间X是无限维的，则X中必有不致密的有界集。证 证明单位球S = x e X | |x| 1/2 .用X表示由x ,x张成的二维子空间，则X是X的闭子空间，且X丰X . 21222于是又可以对X2运用Riesz引理.这样继续做下去，从X中选取了一列单位向量x | k = 1,2,3,和X的一列闭子空 k间X I k = 1,2,3, ， x ,x，,x u X，且k12 k k,。、 1 ，一P (x*,Xk) 2 k =1,2,.因此，当m n时，