大学物理22第十章课后答案

1、10- 习题十10-1卢瑟福实验证明：两个原子核之间的距离小到10i5m时，它们之间的斥力仍遵守库仑定律。已知金原子核中有79个质子，a粒子中有2个质子，每个质子的带电量为1.6，1019C，a粒子的质量为6.68，10-27kg。当a粒子与金原子核相距6.9，10-12m时，试求：（1）a粒子所受的力；（2）a粒于的加速度。懈a粒子电量2e,金核电量为79e。两点间的库仑力为=7.6，102N10- #10- #（2）a粒子的加速度7.6，1026.68，10-271.14,1029ms210-2如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P

2、的电场强度。懈在带电直导线上取电荷元dq-dx，它在P点产L生的电场强度为dEJ（加、J（厶、dx4辽+dxb4辽+dxb00则整个带电直导线在P点产生的电场强度为14K4K0qd(L+d)0010- #10- #10-3两根相同均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为，沿同一直线放置，两细棒间最近距离也是L,如图所示。设棒上的电荷不能自由移动，试求两棒间的静电相互作用力。解一先按左棒为场源电荷，而右棒为受力电荷。计算左棒场强再求右棒所受电场力。取坐标如图所示，左棒在x处的场强为fidxJ/)r114兀匕x丿24KfTfxLx丿E00dxdx右棒x处电荷元dx受的电场力为0 x121x31xdFdx

3、E24兀010- #右棒受的总电场力为4010- 2L,2f3L丫11,2(3LL73L)dx=加加42L、xLx丿4k2LL2L丿00,2解二求电荷元，dx与,dx的库仑力叠加。，dx受，dx的库仑力为,dX-,dx=4(x-xl0,2dx4(xx1040 xLxdx=，2加44304010- #F方向为兀向，左棒受右棒库仑力F=F10-4用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R,其上均匀地带有正电荷Q,试求圆心处点O的场强。懈将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl,带电量dq=QdlRdQdldq在O点的场强dE=R4SR24SR200从对称性分析，y方向的场强相互抵消，只存在x方向的场强dE=dE

4、-sin0=Qsin0-dldl=Rd0 x42R30dE=Qsin0d0 x42R20E=fdE=JSd0=G方向沿x轴方向xx042R222R20010-5如图所示，一绝缘细棒弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀带有电量q,下半段均匀带有电量-q。求半圆中心点O处的电场强度E。解上半部产生的场强将上半部分成无穷多小段，取其中任一小段dl（所带电量dq=qdl）R2在O点产生的场强dE=dq方向如图所示+4R20下半部产生的场强10- 以x轴为对称轴取跟dl对称的一小段dl（所带电量dq，J?dl）在O点产生的场强dE，dq方向如图所示-4兀R20根据对称性，在x方向的合场强相互抵消为0,只存

5、在y方向的场强分量dE，dEy+-sin-sin，dq4kR20总场强E，f2dE，fyy4KSR20异qdi-sin，JnR4ksR20-sinqR冗2R30-sind，10-6如图所示，一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度上的带电量为九,试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。解d对应的无限长直线单位长带的电量为dq，d冗它在轴线O产生的场强的大小为dE，dq，Xd（见27页例1）2kR2k2R00因对称性dE成对抵消dE，dE-cos，九yx2k2R0E，fdExk九cosd，2J202k2R010-7一半径为R、长度为L的均匀带电圆柱面，总电量为Q。试求端面处轴线上点P的场强

6、。O解取如图所示的坐标，在圆柱上取宽为dz的圆环，其上带电量为dq，QdzL该圆环在轴线上任一点P产生的电场强度的大小为211Z+-2O一一10- #10- #整个圆柱形薄片在P点产生的电场强度的大小为10- r,-z)Qdzl0时沿z正方向，Q0时沿z负方向。10-8一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为g，求球心点O处的场强。解将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r,到球心距离为x,所带电量绝对值dq=G2冗rdx。在O点产生的场强（利用圆环轴线场强公式）dE=严Ax4ksx2+r2*20 xG2兀rdx4ksV2+r2史20dl=Rd带电半球壳在O点的总场强E=fdE=f严

7、Axx4ks2+r220其中x=Rcos，r=Rsin，E=J2sincos=x2s04s00方向沿x轴负向10-9一面电荷密度为g的无限大平面，在距平面am远处的一点P的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆（其轴线过点P）面积范围内的电荷所产生的。试求该圆半径的大小。解过P点作平行于带电平面的面元“S，并在带电面元另一侧对称地再取一面元“S。用垂直于带电面的侧面与上述两面元构成闭合高斯面。无限大均匀带电面所产生的电场必垂直于带电面，并在与带电面平行的平面上均匀分布。故上述高斯面上的电通量为高斯面所包围的电量为q=”g“S根据高斯定理2EAS=gAS即E=工土s土2s00式中正号表示场强

8、方向是从带电板指向两侧，负号表示场强指向带电板对于半径为R的圆盘，在P电产生的场强为,GE-=2s0即1：I10、G4,03a10-10如图所示，一厚度为b的无限大带电平板，其体电荷密度为pkx(OWxWb)，式中k为正常量。求：(1)平板外两侧任一点P和P处的场强大小；12电场强度为E2：04,0kb2iEJxPdxJbPdx八iJxkxdxJbkxdx八:02,/x2,0丿；02,0 x2,0丿(2)板内(即OWxWb区域)(3)若电场强度为0,则平板内任一点P处的电场强度；(3)场强为零的点在何处？懈板外(即xb的区域)场源电荷可等效成一无限大均匀带电平面，电荷面密度为10- #10-

9、#b此时x，此即为场强为0的点。210-11半无限长的均匀带电直线，线电荷密度为九。试证明：在通过带电直线端点与直线垂直的平面上，任一点的电场强度E的方向都与这直线成45角。解如图选择直角坐标系，在棒上取电荷元九dy它在过棒端的垂直面上任意点贡献场强为dyy1九xdydE(、x4,x2+y2*20丿总场强的分量为dEy14,0(hydy2+y2dEydEdExXEdE=J严xxx04,V2+y220九4,x010- JdEydy04,04,y0它与负y方向的夹角是tgT45o10-12一带电细线弯成半径为R的半圆形，线电荷密度=sin,式中为一常量，为o0半径R与x轴所成的夹角，如图所示。试求

10、环心O处的电场强度。懈取电荷元dq=sinRd，它在坐标原点O产生的电场0强度沿坐标轴的分量为dEx-cos-sinRd.dE=0siny4,8R20半个细圆环产生的电场强度分量为xx-J,sincosRd=4,80R20=JdE HYPERLINK l bookmark88-,sin2doJ=0 HYPERLINK l bookmark844,80R288R00方向沿y轴负向。10-13如图所示，一无限长圆柱面，其面电荷密度为“cos，为半径R与x轴之间的0夹角，试求圆柱面轴线上一点的场强。解在圆柱面上取一窄条1，窄条1可看成无限长带电直线。设窄条的电荷线密度为，圆柱的半径r,窄条1在轴线上

11、任一点O的电场强度为dE12,8r方向如图10- #10- #取另一窄条2,与窄条1对称于x轴。故电荷线密度相同。窄条2在O点产生的电场强度为10- dE22r0方向如图dE和dE的合电场强度dE沿i方向。12由于整个柱面可以分成无数对这样的窄条，故O点的电场强度沿-i方向，其大小为E=24dEcos001考虑到，=brd，则10- #10- #42ns0”ord=24-cos=02ksr0TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark150O HYPERLINK l bookmark1082ocos2d=0002s010- #10- O-所以E=0i02s010-14半

12、径为R、线电荷密度为，的均匀带电圆环，在其轴线上放一长为1、线电荷密度为，的12均匀带电直线，该线段的一端处于圆心处，如图所示。求该直线段受到的电场力。解在细棒上任选一线元dx,所带电量为dq=,dx2dq在带电圆环的电场中所受到的电场力的大小为dF=Edq=E,dx2均匀带电圆环轴线上的场强为E=14ns0qx2x22所以dF=Edq=4ns0,2nRx2丿,Rdx=122+x2/22s0方向沿X正方向10-15真空中一半径为R的圆平面，在通过圆心O与平面垂直的轴线上一点P处，有一电量为q的电荷，OP=h。求通过圆平面的电通量。解如图，在以P点为球心，PB为半径的球面上剖出一个球冠，通过圆面

13、的电10- 量等于通过球冠面的电通量。球冠面的表面积为S=2兀rh,h为球冠高，只为球面半径S2X2,R2一xX2,R2通过球面单位面积的电通量为q9=.o4Sr20 xqgqqs02s2sx2,R200q2soq1-cos*2so10- #10- 10-16有一边长为a的正方形平面，在其中心垂线上距中心点O为a2处，有一电量为q的正点电荷，如图所示。求通过该平面的电通量是多少？解构造正立方体使q为中心，a为边长。由高斯定理知，通过此立方体表面电通量为9qs0又由于对称性，通过此正立方体六个正方形面的电通量相等。所以通过每一面的电通量为,1q9=966s010-17A、B为真空中两个平行的“无

14、限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E，0两平面外侧电场强度大小都是丑E3，方向如图。求两平面A、B上的电荷和。3J解参照题9无限大平面产生的场强为E-2s0S0ABBAE2s2s000EB,A02s2s30010-18一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为-Ar(rWR)-0(rR)A为常量。试求球内、外的场强分布。解在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。应用高斯定理有E-4兀r2，-0q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dqdq，-4兀r2dr，4兀Ar3drrWR时q，Jr4兀Ar3dr，兀Ar40解得E，-A-(rWR)4ks0rR时高斯面内

15、包围的是带电体的总电量QQ，Rdq，JR4兀Ar3dr，兀AR400应用高斯定理E-4兀r2，-0AR4E，丁(rR)4r20当A0时，场强方向均径向向外；当AvO时，场强方向均指向球心。l0-19一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为(rWR)(rR)qr冗R4，0试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。解(1)因为电荷分布具有球对称性，把球体分成许多个薄球壳，其中任一球壳厚度为dr,体积为4冗r2dr。在此球壳内电荷可看成均匀分布。此球壳所带电量为dq，-dV=r3drR4则总电量为QdqpdV0R4(2)在球内作半径为r的高斯球面，按高斯定理有qr

16、qr4qr24兀r2dr，E，O兀R4R414KSR4000得E，严厂(rWR)14ksR40在球外作半径为r的高斯球面，按高斯定理有E4兀r2，20(rR)得E,-r-1-24兀r20(3)球内电势U，f%-dr+fEdr，fR竺dr+JqdririR2r4ksR4R4ksr200qqr33兀r12兀R4004-12ksR(rR)10- 球外电势U，J*E-dr，fq一dr，J2r2r4ksr24ksr0010-20有一带电球壳，内、外半径分别为R和R,体电荷密度p，Ar,在球心处有一点电荷12Q,试证明：当A=QG兀R2)时，球壳区域内(RrR)的场强E的大小与r无关。112解以同心球面为

17、高斯面，电通量为UE-dS，4兀r2E，2R2)+Q10Sq，0/0)气2kAY2R2丿+QE，4冗r2AE,I与r无关。因此得证。10-21设电荷体密度沿x方向按余弦规律p，pcosx分布在整个空间，式中p为体电荷密度,0p为其幅值。试求空间的场强分布。0懈由于电荷体密度与y、z无关，即在任何平行y-z平面的平面上电荷均匀分布，所以场强只有x分量。沿x轴方向电荷是周期性分布，所以在与过圆点的y-z平面相对称的两平行平面上场强数值都一样。过坐标为+x及-x的两点作平行于y-z平面的面元”。用平行于x轴的侧面将其封闭构成闭合高斯面，它的电通量为于是根据高斯定理可得厂*E=0sinx0方向由的正负

18、确定0ffE，dS=2SEScosxdx=S2osinx10-22如图所示，在xOy平面内有与y轴平行、位于x=和x=-1a处的两条无限长平行均22匀带电直线，电荷线密度分别为+九和-九。求z轴上任一点的电场强度。解任意一点的场强都是两条无限长带电细线各自产生之场强的矢量和。过z轴上任一点，分别以两带电细线为轴作两个长为1,半径为r的柱面，并用平行于x-z平面的端面构成两个闭合圆柱面作为高斯面。ffE，dS=2r1E+q二X1rre-a/2a/2ffE，dS=1qs0 x10- #10- 九2r0总场强为E=E+E+cose=/2a九2+4z2方向指向x轴负方向10-23如图所示，在半径为R，

19、体电荷密度为的均匀带电球体内点Oo处放一个点电荷q。试求：点O、P、N、M处的场强（Oo、O、P、N、M在一条直线上）。解由电场叠加原理E=qo4r20OO4TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark247r3q3omqrE=OM HYPERLINK l bookmark217n4sr24sr242R)。求两求心间的电势差。解设带正电的球壳中心的电势为U，带负电的为U。12Q4nsR0Q4nsd04nsR04nsd0根据电势叠加原理有10- #10- #两球心间的电势差UU-U1212Q一Q2nsR2nsd0010- #10- 10-33在真空中半径分别为R和2R的两

20、个同心球面，其上分别均匀地带有电量+q和-q,今将一电量为+Q的带电粒子从内球面处静止释放，则该粒子到达外球面时的动能是多少？解粒子到达外球面时的动能等于电势能的减少EkQUQL0Qq2R丿8nsR010-34两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为只R=0.03m,R=0.01m。已12知两者的电势差为450V，求球面上所带的电量。解电势差U2R),单位长度上的带电量分别为+九和-九。求两直线间的电势差。解两导线之间任一点的电场强度为九2sr0九2(d-r)0两导线间的电势差为U=fdR九dr+fdR/)r，九加d-RR2rR2sdr丿R00010-36电荷面密度分别为+a和9的两块

21、无限大均匀带电平面，处于与平面垂直的x轴上的-a和+a的位置上。设坐标原点O处的电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。懈无限大带电平板外场强的大小为E=72当-aWxWa时，aE，U=fE-dl=f0Edr，ax1x00当-8xWa时，E，0U=-E-dl+f0E-dl，a“2x2a10当aWx8时，E，0U=f“Edl+fE-dl，aa3x3a100a-a10-37一锥顶角为0的圆台，上下底面的半径分别为R和R，在它的侧面上均匀带电，面电荷12密度为a，求顶点O处的电势(选无穷远处为零电势点)。解以锥顶为圆点，使x轴沿圆锥之轴线。在侧面取面元dS，Rddx0cos2r0/2R1R式中d是

22、垂直于轴线的平面中柱坐标的极角增量cos2R=xtg2面元上电荷在P点产生的电位是1odS1dU=otgd,dx4r420040tg?f2d,fR20R1tg2dx=G（R-R）212010-38一底面半径为R的圆锥体，锥面上均匀带电，面电荷密度为Q。试证明：锥顶点O的电势与圆锥的高度无关（取无穷远为零电势点），其值为U=竺。o20解把圆柱面分成许多环状面，每一环面在O点产生的电势为dU=dy、cos丿tan40因此O点总的电势为U=fdU=fh厂2：dytan=2!btan=空04y2200010-39若电荷以相同的面密度Q均匀分布在半径分别为r=10cm和r=20cm的两个同心球面12上，

23、设无穷远处电势为零，已知球心电势为300V，试求两球面的电荷面密度Q的值。解球心处的电势为两个球面上的电荷在球心处产生的电势的叠加，即U=UU012q4R20gRU=ii=ii4R4R01010q4R2ggR/1rr.22i4R4sR02020U=（RR）012U=300V得出的电荷面密度0UO00R+R12300 x8.85x10120.1+0.28.85x10-9c10-40如图所示，两无限长的同轴均匀带电圆筒，内筒半径为R，单位长度带电量为九，外11筒半径为R，单位长度带电量为九。求：图中a、b两点间的电势差U22ab当零参考点选在轴线处时，求U。a解以垂直于轴线的端面与半径为r，长为1

24、，过所求场点的同轴柱面为封闭的高斯面。E-dS3冗rlES(x1R221q00rRX11Rr2兀r10X+X12rR2兀r2220rR处2RdrX+XR212In2rr2ksr0RrR处12rR处2XU10X7R1In22ksr0X7RU1In22ksR0110-41如图所示，一半径为R的均匀带正电圆环，其线电荷密度为X。在其轴线上有A、B两点，它们与环心的距离分别为OA3R，OB8R。一质量为m、带电量为q的粒子从点A运动点B，求在此过程中电场力作的功。10- 10- #解从点A运动点B电场力作功-UAB12,010- 10-42如图所示，半径为R的均匀带电球面，带电量为q。沿径矢方向上有一均匀带电细线，线电荷密度为九，长度为1，细线近端离球心的距离为r。设球面和线上的电荷分布不受相互作0用的影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。解一取坐标如图，在距原点为x处取线元dx,量为dq入dX，dq在q的电场中具有电势能TOC o 1-5 h zdWdqUXdx-dx4,x4,x00:.WJ仏+ldx丄加丁!r4,x4,r0000该线元在带