离散数学二元关系和函数知识点总结

1、集合论部分第四章、二元关系和函数集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体X和y,按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标（3,4）有序对性质有序性 （当x y时）y=v与相等的充分必要条件是 = x=u 例 1 = ,求 x, y .解 3 y 4 = 2,x+5 = y y = 2, x =3定义 一个有序n （n 3）元组是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即 = , Xn当n=1时，形式上可以看成有序1元组.实例n维向量是有序n元组.笛卡儿积及其性质B= 定义 设A B为集合，A与B的笛卡儿积记作A B,即 A| x A y B 例 2 A=1,2,

2、3,B=a, b, cA B =,B A =, ,A= , P(A) A=, 性质：不适合交换律A B B A ( A B, A , B )不适合结合律(A场 CA(BQ(A , B )对于并或交运算满足分配律 TOC o 1-5 h z A(BQ=(AB)(AQ( BQA=(BA)(CA)A(BQ=(AB)(AQ( BQA=(BA)(CA)若A或B中有一个为空集，则A B就是空集.A = B=Jr | A|= n | B|= n,则 | A B|= mn 证明 A (B Q=( A B) (A Q证任取vx, y Ax (BU C)xAAy BU Cx AA (y BVy Q(x AAy B

3、) V (x AA y Qx, y Ax Bv Ax Cx, y (AX B) U (Ax Q所以有 AX(BUQ = ( AXB) U (AXQ.例 3 (1)证明 KB C=D A OB DA C=B D是否推出A=B OD为什么 解任取 y A C x A y C x B y D B D不一定.反例如下：A=1 , B=2, OE ，则 A C=B D 但是 A B.二元关系的定义定义女睥T集合满足以下条件之一二(1)集郃度，且它的元素都是有序对(2)集合是空集则称该集合为一二元关系,简称为关系，记作R如yE &,可记作球心女喋和乃尔则记作;我下实例：K=t,33$=HiA融外我是二兀关

4、系I当火环是有序对时，&F是二7G关系根据上面的记法.可以写1K2,崂如 c等.定义 设A,B为集合，AX B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，当上B时则叫做A上的二元关系.例 4 A=0,1, B=1,2,3,R=,R=AX B, R= , R=.那么R, R, R, R是从A至ij B的二兀关系，R和R同时也是A上的二兀关系.计数| A|=n, | AX A=n2, AX A的子集有个.所以A上有个不同的二元关系.例如| A|=3,则A上有=512个不同的二元关系.设A为任意集合，是A上的关系，称为空关系E, Ia分别称为全域关系与恒等关系，定义如下：E=| x C AA

5、y C A= AX AI a=| x A例如,A=1,2,则E=,I a=,小于等于关系La,整除关系D,包含关系R定义：L a=| x,yCAA x y, A R, R为实数集合D b=| x, y C BA x 整除 y,B Z*, Z*为非0整数集R =| x, yCAA x y, A是集合族.类似的还可以定义大于等于关系，小于关系，大于关系，真包含关系等等.例如 A = 1,2, 3, B =a, b,则La=,DA=,A=P(B)=, a, b, a, b,则 A上的包含关系是R =,二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A=a1,a2,，am, B=

6、b1,b2,，bn, R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = rj m n,其中rj = 1 R关系图：若A= Xi,x2,xm,R是从A上的关系，R的关系图是GR=,其中A为结点集，R为边集.如果属于关系R,在图中就有一条从Xi至ij Xj的 有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A=1,2,3,4,R=,R的关系矩阵M和关系图G如下：关系的运算基本运算定义：定义域、值域 和域dom R = x | y ( R) ranR = y |x ( R) fldR = domRran R例 1 R=, 则dom R=1,2,

7、 4ran R=2, 3, 4fldR=1,2, 3, 4逆与合成R 1 = | R S) R S = | | y ( R 例 2R=, , , S=, , , , R 1=, , , R0 S =, , S0 R =, , , 合成运算的图示方法 利用图示(不是关系图)方法求合成 =1y 12 3阳5r后需定义F在A上的限制F? A = | xFy x AA 在F下的像FA = ran( F? A) 实例 R=, , , R? 1=,用1=2,4R?= 用1,2=2,3,4 注意：F? A F, FA ranF 基本运算的性质定理1设F是任意的关系，则(F 1) 1=Fdom F 1=ran

8、F, ran F 1=donF 证(1) 任取,由逆的定义有 (F1) 1 F 1 F所以有(F 1) 1=F任取x,x donF 1y( F 1)y( F) x ran F 所以有 donF 1= ran F.同理可证 ran F 1 = domF.定理2 设F, G H是任意的关系，则( F。q。H=F。(G H)( F。3 1= G 10 F 1证(1)任 W, (F g H t( F0 GA H) t ( s( FA G)AeH) t s ( FA GA H) s(CFA t (CGA H)s ( FA G0 H)CF。(G H所以(F 3 H = F0 (G0 H)任W,e (F。G

9、) F0 Gt ( FA (t, x) Gt ( G 1A (t ,y) C F 1)G10 F 1所以(F。g 1 = G 10 F 1幕运算n次幕定义为:设R为A上的关系，n为自然数，则R的R0= | x A =I aRn+1 = Rn0 R注意：对于A上的任何关系R和F2都有R0 = R20= I a对于A上的任何关系R都有R1 = R幕的求法对于集合表示的关系凡计算出就是，个跖&复合. 矩阵茄薄后4阵相乖，其巾相加栗用逻辑加 例3设无姐a阵 松的各次京分别用矩陶U关系图表示.解R与用的关系矩影小忱同理，津耳区*J矩阵潮|J是二因此挺7%即把=足.因此可以得到於匚R*=S= RR0=R7

10、=.网叫屈，和的关系图irF醐示9 9 9 993o57炉X性质：定理3 设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t,使得 RS= R.证 R为A上的关系，由于|A|=n, A上的不同关系只有个.当列出R的各次幕R0, R1, R ，,，必存在自然数s和t使得 Rs=R.定理4设R是A上的关系，m n C N,则 成Rn=RRn（2）（ 叩=不证用归纳法（1）对于任意给定的 m N,施归纳于n.若n=0,则有Rm。R0=Rr10 Ia=FT=Rr0假设Rm10用二Z1,则有内。中二内。（r中时 R） R=,所以对一切 m nCN 有 Rm Fn=Rm+n. 对于任意给定的 mE N,施归

11、纳于n.若n=0,则有(R)0=I 痔代FT0假设(出n=Rm：则有(R) n+1=( R)n R=(Fm) Rm=Rmr+m=Fm(n+1)所以对一切 m n e n有(R) n=Rmn.关系的性质自反性反自反性定义 设R为A上的关系，(1)若x(xCA-电则称R在A上是自反的.(2)若 x(xCA- 电 则称R在A上是反自反的. 实例：反关系：A上的全域关系员恒等关系Ia小于等于关系La,整除关系DA反自反关系：实数集上的小于关系募集上的真包含关系例1A=1,2,3,Ri, F2, R是A上的关系，其中R = ,R= ,R=R自反，R反自反，R既不是自反也不是反自反的对称性 反对称性定义设

12、R为A上的关系，若 x y(x, yCAA CRf R), 则称 R为 A上对称的关系.若 x y(x,yCAA CRA CR x=y),则称 R为 A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E,恒等关系I a和空关系反对称关系：恒等关系Ia,空关系是A上的反对称关系.例2设人=1,2,3,Ri, R, R和R都是A上的关系，其中R = , , R = ,R = , , R = ,R对称、反对称.R对称，不反对称.R反对称，不对称.R不对称、也不反对称.传递性定义 设 R 为 A 上的关系，若 x y z(x,y,zCAA CRA Rf R),则称R是A上的传递关系.实例：A 上的全域关

13、系反恒等关系I A和空关系 小于等于关系，小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系例3设人=1,2,3,R1, R, R是A上的关系，其中R=,R= ,R= Ri和R是A上的传递关系R不是A上的传递关系关系性质的充要条件设R为A上的关系，则R在A上自反当且仅当 Ia RR在A上反自反当且仅当RA Ia=1R在A上对称当且仅当R=RR在A上反对称当且仅当RA R1 IaR在A上传递当且仅当R R R关系性质判别白反良白良咕群反对称偌建表达式J?njj=e夫咏讨美柔拒悔茎是】主对的 妖元我 全是0逅陈是对称 矩阵若2 L且 烤融铲0对M讨】 所在位置， M中相应 位置都是1关系圉个点有 国茯鄙环

14、每个项点都没 有坏如果两个孩 点之词有运 是一对方向 相反的边 (天单辿)如要两点 之回有也， 是一条有 向迪无故 向西如果前点 连都到 打,则从-T.S5有 ih例S判断下图中关系的性质，并说明理由.(1)不自反也不反自反；对称T不反对称；不传递.Q反自反.不是自反不是是传递的.。)自反,不反自反；反对称，不是对称.不传递.证明模式证明R在A上自反任取x, R结论前提推理过程例4 证明若Ia R ,则R在A上自反.证 任取X,x A IA R 因此R在A上是自反的.证明模式证明R在A上对称任取 R R结论前提推理过程例5 证明若FR 1 ,则R在A上对称.证 任取vx, y R R R因此R

15、在A上是对称的.证明模式证明R在A上反对称任取 R R x=y结论前提推理过程例6 证明若Rn R 1 Ia, 则R在A上反对称.证 任取vx, y R R R R- RA R I a x=y因此R在A上是反对称的.证明模式证明R在A上传递任取, R R前提 R推理过程结论例7 证明若R R R,则R在A上传递.证任取 , R R R R R因此R在A上是传递的.运算与性质的关系白反性度对IS性传最性展qV用ryur2%7XXRi-RiX(XVXXXX关系的闭包闭包定义定义 设R是非空集合A上的关系，R的自反(对称或传递)闭包是 A上的关 系R ,使得R满足以下条件：R是自反的(对称的或传递的

16、)R R(3)对A上任何包含R的自反(对称或传递)关系 R 有R R . 一 般将R的自反闭包记作r(R),对称闭包记作s(R),传递闭包记作t(R).闭包的构造方法定理1设R为A上的关系，则有r(F) = RU Rs(R) = RU R 1t(R) = RU RuRu 说明：对于有穷集合A (| A=n)上的关系，(3)中的并最多 不超过M 若R是自反 的，则r(R)=R;若R是对称的，则 s(R)=R;若R是传递的，则t(R)=R.设关系R, r(R),s(R), t(R)的关系矩阵分别为M M, M和M ,则M s= M + MM= M + M2 + M+ E是和M同阶的单位矩阵，M是M

17、的转置矩阵.注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, G, G, G ,则G, G, G的 顶点集与G的顶点集相等.除了 G的边以外，以下述方法添加新边：考察G的每个顶点，如果没有环就加上一个环，最终得到 G.考察G的每 条边，如果有一条Xi至ij Xj的单向边，i wj ,则在G中加一条Xj至ij Xi的反方向 边，最终得到GS.考察G的每个顶点Xi,找从Xi出发的每一条路径，如果从Xi 到路径中任何结点Xj没有边，就加上这条边.当检查完所有的顶点后就得到图 G .例1设月m “皿t k=i=口力七产瓦心产与c产建和浦的关系

18、图如下图所示*用等价关系和偏序关系定义 设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的，则称 R为A上的等价关系.设R是一个等价关系，若。/尺 称X等价于y, 记做Xy.实例 设A=1,2,阳 如下定义 A上的关系R： R = | X,yCAA Xmy(mod 3) 其中x=y(mod 3)叫做x与y模3相等，即x除以3的余数 与y除以3的余数相等.验证模3相等关系R为A上的等价关系，因为x A, 有 x m x(mod 3)x, y A,若 x m y(mod 3),则有 y = x(mod 3)x, y, z A, 若 x m y(mod 3), y = z(mod 3),则有xm

19、z(mod 3)自反性、对称性、传递性得到验证A上模3等价关系的关系图设跳J?=内 叼E 4 Axv,frnod 3) 定义 设R为非空集合A上的等价关系，xC A,令x r = y | y AA xRy 称x r为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简 记为x.实例 A= 1,2,，8 上模3等价关系的等价类：1=4=7=1,4,72=5=8=2,5,83=6=3,6等价类的性质：定理1设R是非空集合A上的等价关系，则xe A x是A的非空子集.x,yC A如果x R y,则x= y.x,yC A如果x y ,则x与y不交.U x | xCA=A,即所有等价类的并集就是 AA= 1,2,，8

20、 上模3等价关系的等价类: TOC o 1-5 h z 1=4=7=1,4.7),2=5=8=2,5,8,3=6=3.6以上3类两两不交，1,4,72,5.83,6 = 1,2,，8定义 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记做A/R A/R = xr| xCA 实例 A=1,2, ,8,A关于模3等价关系R的商集为A/R = 1,4,7, 2,5,8, 3,6 A关于恒等关系和全域关系的商集为：A/I a = 1,2,，8A/Ea = 1,2, ,8 集合的划分：定义 设A为非空集合，若A的子集族冗(冗P(A)满足下面条件：九x y (x, y T

21、tAxwy-xAy=)U 九二A则称冗是A的一个划分，称冗中的元素为A的划分块.例 1 设人=” b, c, d,给定冗1,九2,九3,九4,九5,九6如下：冗尸 a, b, c, d , 九 2= a, b, c, d 九 3= a, a, b,c,d ,兀4= a, b, c 冗 5= , a, b, c,d ,兀6= a, a, b,c, d 则九1和九2是A的划分，其他都不是A的划分.为什么等价关系与划分的一一对应商集A/R就是A的一个划分不同的商集对应于不同的划分任名& A的一个划分冗,如下定义A上的关系R：R = | x, yCAA x与y在冗的同一划分块中则R为A上的等价关系，且

22、该等价关系确定的商集就是冗.例2给出人=1,2,3上所有的等价关系求解思路：先做出A的所有划分，然后根据划分写出对应的等价关系.等价关系与划分之间的对应%对应干全域关系天小再时应于恒等关系开山和明分别对应等价关:系ffi，凡利必风例3 设A=1,2, 3, 4,在A A上定义二元关系R：, R x+y = u+v,求R导出的划分.解 A A=, , , , , , , , , , , 根据 的 x + y = 2,3,4,5,6,7,8 将 A A划分成 7 个 等价类：(A A)/ R= , , , , , , , , , , )定义 非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，称为 A上的偏序

23、关系，记 作？.设？为偏序关系,如果 ?,则记作x? y,读作x ”小于或等 于y.实例集合A上的恒等关系Ia是A上的偏序关系.小于或等于关系，整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系.x与y可比：设R为非空集合A上的偏序关系，x, y A, x 与 y 可比 x? y V y? x.结论：任取两个元素x和y,可能有下述情况：乂？丫(或丫？乂)，x = y, x与y不是可比的.全序关系：R为非空集合A上的偏序，x,y A, x与y都是可比的，则称R为全序(或 线序)实例：数集上的小于或等于关系是全序关系整除关系不是正整数集合上的全序关系覆盖：设R为非空集合A上的偏序关系，x, yeA,如果x

24、 ? y且不存在z A 使得x ? z ? y,则称y覆盖x.实例： 1,2, 4, 6 集合上的整除关系，2覆盖1,4和6覆盖2.4不覆盖1.定义 集合A和A上的偏序关系？ 一起叫做偏序集，记作.实例：整数集和小于等于关系构成偏序集 ，募集P(A)和包含关系构成偏 序集 .哈斯图：利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图特点：每个结点没有环，两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边哈斯图实例例4 7123H5,6： 7凡 93-V毋M瓦啦次68 TOC o 1-5 h z 例5/已知偏氏/X的哈斯图如右图标勺(0试求出集合4和关

25、系VK的表达式o 0 D Aa b c g外加4 c,d*/ g.kR -介:Q,c否,为偏序集，B A, y C B. 若 x(xCB y? x)成立，则称y为B的最小元. 若 x(xCB-x? y)成立，则称y为B的最大元.若x (xeBAx ?y)成立，则称y为B的极小元.若x (xCBAy ?x)成立，则称y为B的极大元.特殊元素的性质 对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在 多个.最小兀和最大兀不一定存在，如果存在一定惟一.最小元一定是极小元；最大元一定是极大元 .孤立结点既是极小元，也是极大元.定义 设4? 为偏序集,B A, y A 若 x(x B-x? y)成立，则称y为B

26、的上界.若x(xCB-y? x)成立，则称y为B的下界.C=y| y为B的上界,则称C的最小元为B的最小上界 或上确界.令0=丫| y为B的下界,则称D的最大元为B的最大下界 或下确界.特殊元素的性质下界、上界、下确界、上确界不一定存在下界、上界存在不一定惟一下确界、上确界如果存在，则惟一集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的上确界；反之不对.例6堡偏序集圈车如下图所示，求金的极小元，最小元、极大元 最大元设5=9用血求5的下界、上界、下确界，上确紧f极h元：4瓦h极大元：打)加d. A 9没有最，I沅与最大元.y后的下界和最大下界都o y YA不存在，上界有，和工2尸c ?最小上界为无函

27、数的定义和性质函数定义：定义 设F为二元关系，若 x donF都存在唯一的y ranF使 xFy成立，则称F为函数.对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称 y为F在x的值.例 1Fi=,”, y2F2=,Fi是函数，F2不是函数函数相等：定义 设F, G为函数，则F = G F GA G F如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件：dom F = domGx d donF = domG 者B有 F(x) = Gx)实例 函数F(x)=( x2 1)/( x+1), G(x)=x 1不相等，因为domF donG.定义 设A, B为集合，如果f为函数dom f = Aran f

28、B,则称f为从A到B的函数，记作f：2B.实例f ： NfN, f(x)=2x是从N到N的函数g : NN, g(x)=2也是从N至ij N的函数定义所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“ B上A”，符号化表示为BA = f | f ：2B 计数：| A二m | B|=n,且 m n0, | BA=nA =，则BA=B = .Aw 且匕，则 BA= A=.例 2 设 A = 1,2, 3, B = a, b,求才解 BA = fo, f1,，f7,其中f o=, f 1=,f 2=, f 3=,f 4=, f 5=,f 6=, f?=,定义 设函数 f： A- B, A A.A 在 f 下的

29、像：f(A) = f(x) | xCA函数的像f(A)高药福教若上为奇数注意：函数值f(x)CB,而彳象f(A) B.例3设f方一网且3=佳1令胃二仙1津=2挪么有 用)=/ 仅1)= 加16) = 0/函数的性质 定义设f :2B,(1)若ranf = B,则称f： AB是满射的.(2)若yCranf都存在唯一的x C A使得f(x)=y,则称f ： AcB是单射的.(3)若f： 2B既是满射又是单射的，则称f： 2B是双射的f满射意味着： yB,都存在x A使得f (x) = y.f 单射意味着：f(xi)= f(x2)xi= x2例4判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么？(1)

30、f： FHR, f (x) =x2+2x 1f：Z+-R,f(x) = In x, Z+为正整数集f：FHZ,f (x) = xf：FHR,f (x) = 2 x+1f : F(-R+, f(x)=(x2+1)/x,其中 R+为正实数集.解(1) f： FHR, f (x)= x2+2x 1在x=1取得极大值0.既不单射也不满射.f : Z+一R, f(x)=ln x单调上升，是单射.但不满射，ran f =In1, In2, .f: FHZ, f (x)= x满射，但不单射，例如f =f =1.f： FHF, f(x)=2x+1满射、单射、双射，因为它是单调的并且ranf=F.f： Ff-R

31、+, f(x)=( x2+1)/x有极小值f(1)=2,该函数既不单射也不满射构造从A到B的双射函数有穷集之间的构造例 5A=P(1,2,3),B=0,1 1,2,3解 A = ,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.B= f。，3,，f7 . f 产, f2=, f4=, f6=, 令 f： A- B,其中f1=, f3=, f5=, f 7=,.f ( )=f0,f(1)= f1, f (2)= f2,f(3)= f31实数区间之间构名双射f (1,2)= f4,f(1,3)= f5, f(2,3)= f6, f (1,2,3)= f7枸造方法工直线底 例6，0周枸造双射手/一万

32、斛令声(1,一4xM十】退A与自雇集合之间构造双射方法二将A中元素排成有序圉形，然后从南一个元素开始 按瞟次序与自然麴对应例7 A=Z,=y-有趣双射,二d一5将工中元素以下列顺序排列并与N中元素对施工则这种对应所表示的函数是: (2x /： ZN,/(x)U .Z： 0 -1 1 -2 2 -3 5.0 x 0常函数、包等函数、单调函数.设f :2B,若存在c B使得 x A都有f(x)=c,则称f： A- B是常函数.称A上的恒等关系Ia为A上的恒等函数,对所有的 xC A 都有 I a(x)=x.设f： R- R,如果对任意的 xi, X2C R, xiX2,就有f(xi)f(x2),则

33、称f为单调递增的；如果对任意的 xi, x2C A xi x2,就有 f(xi) f (x2),则称 f 为严格单调递增的.类似可以定义单调递减和严格单调递减的函数.集合的特征函数4,漫为集合,4七W, 4的特征函数SLr;4一E。4)定乂为fl, /色才实例 集合 X=A,B,C?DtE,F.G:Hs 子集：T=；A, C, F. G, H7的特征函数元，H ABCDEFGH工4)1 10 0 L 11自然映射.设我是上的等价关施令p .4T旅ff(a= o，ViE 4称修星从4到商集a或的自然映也例8 (i)A的每一个子集A都对应于一个特征函数，不同的子集对应于不同的特征函数.例如A=a,

34、 b, c,则有= , , ,a,b = , , (2)给定集合A, A上不同的等价关系确定不同的自然映射，其中恒等关系确 定的自然映射是双射，其他的自然映射一般来说是满射.例如A =1,2, 3,R=, UI ag (1) = g(2) = 1,2,g(3) = 3函数的复合和反函数函数复合的定理定理 设F, G是函数，则F。G也是函数，且满足dom( F0 G)= x | xCdonFF(x) donGxCdom(F 3 有 F G(x) = G(F(x)推论1 设F, G, H为函数，则(F。H和F。(G H)都是函数，且(F。G) H = F。(G H)推论 2 设 f： 2 B, g

35、： B- C,则 f g： Af C 且x A 都有 f0 g(x) = g(f(x).函数复合运算的性质定理设 f : 2B,g： B-C.如果f： 2B, g： B-C都是满射的，则f 0 g： 2C也是满射的.如果f： 2B, g： B-C都是单射的，则f 0 g： 2C也是单射的.如果f : 2B, g： B-C都是双射的，则f 0 g： 2C也是双射的.证(1) cC C,由g： B-C的满射性，bC B使得g(b)=c.对这个b,由f： Af B的满射性，a A使彳# f (a)= b.由合成定理有 f0 g(a)=g(f(a)= g(b)=c从而证明了 f0 g： A-C是满射的

36、. 假设存在x1, xzCA使彳3f0 g(x1)= f0 g(x2)由合成定理有g(f(x1)= g(f(x2).因为g： B-C是单射的，故f(xi)=f(x2),又由于f : 2B也是单射的,所以xi=x2.从而证明f。g： A-C是单射的.(3)由(1)和(2) 得证.定理设f: A B,则f = f IB = I A0 f反函数存在的条件任给函数F,它的逆F 1不一定是函数，是二元关系.实例：F=, F 1=,任给单射函数f：2B,则f 1是函数，且是从ran f到A的双射函数，但 不一定是从B到A的双射函数.实例：f : N -N, f (x) = 2 x,f 1 : ran f -N, f 1 ( x) = x/2反函数定理 设f： A-B是双射