数学概率论讲义

1、第一讲随机事件与概率考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝 斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型试验，样本空间与事件.古典概型：设样本空间 为 个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则A中有利事件数P( A)基本事件总数3几何概型：设 为欧氏空间中的 个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则A的

2、度量（长度、面积 、体积）P( A)的度量（长度、面积、体积）【例 1】个盒中有 4 个黄球, 5 个白球, 现按下列三种方式从中任取 3 个球, 试求取出的球中有 2个黄球, 1 个白球的概率.（1）（2）（3）【例 2次取 3 个；次取 1 个, 取后不放回；次取 1 个, 取后放回.】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率：（1） 两数之和小于 1.2；3（2） 两数之和小于 1 且其积小于.16一、 事件的关系与概率的性质事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：A 与B 互斥（互不相容） AB A 与 B 互逆（对立事件） AB , A U B A 与B

3、相互独立 P（AB）=P（A）P（B）. P（B A）=P（B）（P（A）0）. P(B | A) P(B | A)1 （0P（A）1）. P（B A） =P（B A ） （ 0 P（A） 1 ）注: 若（0P（B）0）P( A | B) P( A | B )1 （0P（B）1）.P（A B）=P（A B ） （0P（B）1）P（ A B）=P（ A B ） （0P（B）0）P( A)1【例 3】知（A B ）（ A B ） A B A B C, 且 P（ C ） , 试求 P（B ）.31【例 4】 设两两相互独立的三事件 A, B, C 满足条件: ABC, P（A）P（B）P（C）,且2

4、9,16知 P( A U B U C)则 P（A）.【例 5】 设三个事件A、B、C 满足 P（AB）P（ABC）, 且 0P（C）1, 则 【】（A）P（A U B C）P（A C）（B）P（A U B C）P（A U B）.（D）P（A U B C ）P（A U B）.P（B C）.（C）P（A U B C ）P（A C ） P（B C ）.11【例 6】 设事件 A, B, C 满足条件: P（AB）P（AC）P（BC）, P（ABC）, 则事件A, B,816C 中至多 个发生的概率为.【例 7】 设事件A, B 满足 P（BA）1 则【】（B） P（B A ）=0.（D） A B .

5、（A） A 为必然事件.（C） A B .【例 8】 设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且 0P（C）1, 则不独立的事件为 【 】2 / 17（A） A B 与 C .（B） AC 与C（D） AB 与C（C ） AB 与C【例 9】 设A，B 为任意两个事件，试证1P（A）P（B）P（AB） P（AB） P（BA） .4三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式1 乘法公式：P( A)P( A )P( A | A1 )P( A2 )P( A1 | A2 ).P( A1 A2 L An )2 全概率公式：P( A1 )P( A2 | A )P( A | A)L P( A

6、n | AL An ).P(B) P(B | Ai )P( Ai ),i1, i U.Ai Ajj,Aii13Bayes 公式：P(B | Aj )P( Aj ), i j,U i.P( Aj | B),Ai AjA P(B | Ai )P( Ai )i1i14二项概率公式:P (k )Ck Pk (1 P)nk ,k0,1, 2,L, n. ,nn【例 10】 10 件产品中有 4 件次品, 6 件正品, 现从中任取 2 件, 若 知其中有 件为次品,试求另 件也为次品的概率.【例 11】设 10 件产品中有 3 件次品, 7 件正品, 现每次从中任取 件, 取后不放回.试求下列事件的概率.

7、第三次取得次品;第三次才取得次品;（3）知前两次没有取得次品, 第三次取得次品;（4） 不超过三次取到次品;【例 12】 甲, 乙两人对同 目标进行射击,命中率分别为 0.6 和 0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件 “ 知目标被命中,它是甲射中”的概率.（1）在甲, 乙两人中随机地挑选 人, 由他射击 次;（ 2）甲, 乙两人独立地各射击 次.【例 13】设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3 份,7 份和5 份. 随机地取 个地区的报名表,从中先后任意抽出两份.(1)求先抽到的 份是女生表的概率 p;(2)知后抽到的 份是男生表,

8、求先抽到的 份是女生表的概率 q .第二讲随机变量及其分布考试要求1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（ F (x)算与随机变量有关的事件的概率.P( X x) ） 的概念及性质.会计3 / 172. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 01 分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布 N (, 2 ) 、指数分布及其应用，其中参数为 ( 0) 的指数分布的概率密度为ex ,x 0,x 0.f (x) 5. 会求随机变量函

9、数的分布.0,一、分布函数1随机变量：定义在样本空间 ，取值于实数的函数称为随机变量.2分布函数： F (x) P( X x),x （x）为分布函数 （1） 0 （x） 1（2）（x）单调不减（3） 右连续 （x 0）= （x）F () 0, F () 1（4）3离散型随机变量与连续型随机变量（1） 离散型随机变量P( X xi ) pi , i 1,2,L, n,Lpi 0, pi 1i1分布函数为阶梯跳跃函数.xF (x)f (t)dt（2） 连续型随机变量（x）为概率密度 （1）（x） dx 1（x）0,（2）bP(a X b)P(a X b)f (x)a4几点注意【 例 1 】 设随机

10、变量 X 的分布函数为x 1, 1 x 1,x 1.0, 57x ,F (x)16161,则 P( X 21).4 / 17【 例 2 】 设随机变量X 的密度函数为（x）, 且（x） = （x）, 记 FX (x) 和 F X (x)分别是 X 和 X 的分布函数, 则对任意实数 x 有【】（A） F X (x)FX (x) .（C） F X (x)1 FX (x) .（B） F X (x)（D） F X (x)FX ( x) .2FX (x) 1 .试求随机变量 Y= min X, 2 的分布【 例 3 】 设 随机变量X 服从参数为 0 的指数分布,函数【 例 4 】设某个系统由 6 个

11、相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从参数为 0 的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.| x |,| x | 1,1【 例 5】设随机变量 X 的概率密度为f (x)0,其他.1试求（1） X 的分布函数 F (x) ; （2）概率 P( 2 X ) .4常见的一维分布二、 k ) pk (1 p)1k 0, 1 .k ,（1） 0 1 分布： P( X（2） 二项分布 B(n, p) :P( Xk )Ck pk (1p)nk ,k0,1,L, n .nkP()0,k： P( Xk )ek!,0,1,2,L .（3） Poisson

12、 分布1， axb,均匀分布U (a, b) :f (x) b a（4），其他.( x )21 0, 2 2f (x)e,（5） 正态分布N（，2）：2e x , x0,指数分布E() :f (x) （6）0 .0, 其他.k )(1p)k 1 p,（7） 几何分布G( p) :P( X0p1,k1,2,L.Ck Cn kP( Xk)M N M ,k0,1,L, minn, M .（8） 超几何分布H（N,M,n）:CnN【例 6】某人向同 目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p（0p1）, 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为【（A） 3 p(1 p)2 .（C） 3

13、p2 (1 p)2 .】（B） 6 p(1 p)2 .（D） 6 p2 (1 p)2 ., 2 ）, 则 P （ X 1）【例 7】 设 X （【】（A） 随 的增大而增大 .（B） 随的增大而减小.5 / 17（C） 随 的增大而不变 .【例 8】设 X （, 2 ）,（A） F ( a) F (a) 1.（D） 随 的增大而减小.F (x) 为其分布函数， 0 ，则对于任意实数 a ，有（B） F ( a) F (a)1.【】12（D） F (a) F ( a)（C） F ( a) F (a) 1.【例 9】 甲袋中有 1 个黑球，2 个白球，乙袋中有 3 个白球，每次从两袋中各任取球交换

14、放入另袋中，试求交换 n 次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、 随机变量函数的分布：1. 离散的情形2. 连续的情形3.般的情形【例 10】 设随机变量 X 的概率密度为1 ,1 x 0,21f X (x) 4 ,0 x 2,其他. 0,令YX 2 , F (x, y) 为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.（） 求 Y 的概率密度 fY ( y) ;（）F ( 1 ,4) .2第三讲多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随

15、机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、 各种分布与随机变量的独立性1. 各种分布（x, y）=P X x, Y y , x （ , ）, y （ , ）的性质（1） 般二维随机变量（x, y）为联合分布函数 1） 0 （x, y）1 , x （, ）, y （ , ）;（ , ）=1;2） （ , y ）=（x,）=0,3）（x, y）关于x, y 均为单调不减函数；4）（x, y）

16、关于x, y 均分别右连续.6 / 17（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布 p i j ij1 .i, j =1, 2 , , 0,联合概率分布律PX = x , Y =yj = pj ,pjp = PX = x = pi j ,ji =1, 2 , ,边缘分布律= pi j ,ij =1, 2 , ,p j =P Y =yjp i jp i j条件分布律PX = x Y = yj =,p jP Y = yjX = x =.p i 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度（x, y）为联合概率密度 1（x, y）0,2 f (x, y)dxdy1 .设（ X

17、, Y） （x, y）则xy F (x, y)f (x, y)dxdy分布函数:;f X (x) f (x, y)dyfY (x)f (x, y)dx边缘概率密度:,.f (x, y)f (x, y)f X |Y (x | y)fY | X ( y | x)条件概率密度:,.f ( y)f(x)YXP( X ,Y ) D f (x, y)dxdyD 2 F (x, y)x yf (x, y).2. 随机变量的独立性和相关性X 和Y 相互独立 （x, y）=（x）（y）;Xp pj =p j（离散型）【注】1 X 与Y 独立,（x, y）=（x）（y） （连续型）X（x）为连续函数 （x）, g

18、（X）与 g （Y）也独立.2 若X , ,Y , ,Xm,Yn 相互独立, g 分别为m 元与 n 元连续函数（X , ,（Y , ,Xm）与gYn）也独立.3 常数与任何随机变量独立.3. 常见的二维分布7 / 17（1）二维均匀分布 （X, Y ） U （D）, D 为 平面区域. 联合概率密度为1, (x, y) D.其他.f (x, y) S (D)0,2, , ,222 ）, 0,2（2）二维正态分布 （X, Y ） N （ ,2 0,1. 联合概率密度为( y 2 ) 2 ( x 1 ) 22 ( x 1 )( y 2 )1 1 2 2(1 2 ) 2 21e12 (x, y)

19、2 1 21 2性质:（ a ） X N （ , 2 ）, Y N（2, 22）（ b ） X 与Y 相互独立 X=0 , 即 X 与Y 不相关.C 2 2C2 2C C ）.2 2222（ c ） C X C2Y N （C C2 2,N 1 ( y ), 2 (1 2 )（ d ） X 关于 Y=y 的条件分布为正态分布:12121【 例 1 】 设 A，B 为事件，且 P（A）,41,若A发生1P（B A）, P（A B）21,若B发生Y 12令X ,0,否则0,否则（1） 试求（X, Y）的联合分布律；（2）计算 Cov（ X, Y ）；（3） 计算 Cov(2 X 2 , 4Y 2 3

20、) .【 例 2 】设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y）联合分布律及关于 X 和关于 Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.【 例 3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为8 / 17YXy1y2y3PXxi pix118x218PYy j p j161X1221P33记U maxX ,Y ,V minX ,Y .（I）求（U, V）的概率分布;（II）求（U, V）的协方差Cov（U, V）.【详解】（I）易知 U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且P(U 1,V 1) P(maxX ,Y 1, minX ,Y 1)

21、4, P( X 1,Y 1) P( X 1)P(Y 1) 9P(U 1,V 2) P(maxX ,Y 1, minX ,Y 2) 0 ,P(U 2,V 1) P(maxX ,Y 2, minX ,Y 1) P( X 2,Y 1) P( X 1,Y 2)4,9 P( X 2)P(Y 1) P( X 1)P(Y 2) P(U 2,V 2) P(maxX ,Y 2, minX ,Y 2) P( X 2,Y 2) P( X 2)P(Y 2) 1 ,9故（U, V）的概率分布为:44116（II） E(UV ) 11 0 2 1 2 2 ,999945148110E(U ) 1 2 , E(V ) 1

22、2 .而9999991614104Cov(U ,V ) E(UV ) E(U )E(V ) .故99981【 例 4】 设随机变量 X 在区间（0, 1） 服从均匀分布, 在 Xx(0 x 1) 的条件下,随机变量Y 在区间(0, x)服从均匀分布, 求（）随机变量 X 和Y 的联合概率密度;（） Y 的概率密度;（）概率 PX Y 1.二、 二维（或两个）随机变量函数的分布9 / 17VU121240941991分布的可加性（1）若 XB（m, p）, YB（n, p）, 且 X 与 Y 相互独立，则 X Y B （m n, p）.（2）若 XP（ ）, YP（2）, 且X 与Y 相互独立，

23、则X Y P （ 2）.（3）若 XN（ 1, 2 ）, YP（ , 2 ）, 且 X 与Y 相互独立，则 X Y N （ , 2 2 ）.12 212 12般地，若 X N（ i , 2 ）, i=1, 2, , n, 且 X ，X2，Xn 相互独立，则 Y=C X C2X2 CnXn C 仍i服从正态分布，且此正态分布为nnN (Ci iC, C 2i 2i ),其中C ，Cn 为不全为零的常数.i 1i 12. 两个随机变量函数的分布.【例 5】设X 与Y 相互独立, 且 X P(1),Y P(2), 则 Pmax( X ,Y ) 0 _;Pmin( X ,Y ) 0 _ .【 例 6】

24、 设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:0 x 1,e1,y ,y 0,其他.f X (x)fY (x)0,其他.0,求 Z2XY 的概率密度.【 例 7】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为0 x 1, 0 y 1,其它.2xy,0,f (x, y)（I）求 PX 2Y；（II）求Z 的概率密度 fZ (z) .1 7 X 2Y f (x, y)dxdy dy(2 x y)dx .1x2 y【详解】（I） P22402 y（II）方法一： 先求Z 的分布函数:FZ (z) P( X Y Z ) f (x, y)dxdyx y z当 z0 时, FZ (z) 0 ;z yz当 0 z 1

25、时, FZ (z) f (x, y)dxdy dy(2 x y)dx00D1 z 2 1 z 3 ；3当1 z 2 时, FZ (z) 1 f (x, y)dxdy 1 D 211dy(2 x y)dxz1z y10 / 17 1 1 (2 z) 3 ；3当 z 2 时, FZ (z) 1 .故 Z 的概率密度 2z z 2 ,0 z 1,1 z 2,其他. (2 z) ,2f (z) = F (z)ZZ0,方法二： fZ (z) f (x, z x)dx ，f (x, z x) 2 x (z x),0 x 1,0 z x 1,其他.0,z,0 x 1, x z 1 x,其他.20,当 z 0

26、 或z 2 时,fZ (z) 0 ;z当 0 z 1 时,f (z) (2 z)dx z(2 z) ；Z01当1 z 2 时,f (z) (2 z)dx (2 z) 2 ；Zz1故 Z 的概率密度 2z z 2 ,0 z 1,1 z 2,其他.f (z) (z 2) ,2Z0,【例 8】设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数 （x）, Y 的分布律为 P(Y试求 ZXY 的概率分布.ai )pi ,i=1,2.第四讲数字特征与极限定理考试要求1理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.2会根据随机

27、变量 X 的概率分布求其函数 g ( X ) 的数学期望 Eg ( X ) ；会根据随机变量 X 和Y 的联合概率分布求其函数 g ( X ,Y ) 的数学期望 Eg ( X ,Y ) .3了解切比雪夫不等式.4了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）5了解棣莫弗 拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维 林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率11 / 17一、 数学期望与方差（标准差）1. 定义（计算公式）E( X ) xi piPX xi pi ,离散型iE( X ) xf (x)

28、dxX f ( x) ,连续型E( X 2 ) E( X )2E( XE( X )2方差： D( X )标准差： D( X ) ,2. 期望的性质：1 E(C)C, E(E( X )E( X )E(C1 X C2Y ) C1E( X ) C2E(Y )2若X与Y独立， 则E( XY )E( X )E(Y )34 E( XY )2 E( X 2 )E(Y 2 )3. 方差的性质：D(C)0, D(E( X )0, D(D( X )01X与Y相互独立，则D( X Y )D( X ) D(Y )2D(C1X C2 ) C 2D( X )31般有 D( X Y )D( X )D(Y ) 2Cov( X

29、 ,Y )4D( X )D(Y ) 2 D( X ) D(Y )5 D( X ) E( XC)2 , C E( X )31【例 1】设试验成功的概率为 , 失败的概率为, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数44的数学期望.【例 2】 n 片钥匙中只有 片能打开房门, 现从中任取片去试开房门, 直到打开为止.试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差:（1）试开过的钥匙即被除去;（2）试开过的钥匙重新放回.1x0 x ,其他.cos,【例 3】设随机变量X 的概率密度为 f (x) 22对X 独立地重复观察4 次, 用0,2Y 表示观察值大于的次数, 求Y 的数学期望.3【例 4

30、】 设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯 楼, 电梯在中途只下不 , 每个乘客在哪 层（2 11 层）下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望.二、随机变量函数的期望（或方差）12 / 171、一维的情形 Y g ( X )E(Y )g(xi ) pi xi pi离散型： PX，iE(Y ) g(x) f (x)dx连续型： X f (x)2、二维的情形 Z g ( X ,Y )E(Z ) g(xi , y j ) pij离散型( X ,Y ) PX xi ,Y yi pij,ijE(Z ) g(x, y) f (x, y)dxdy连续型( X ,Y ) f (x

31、, y) ,【例 5】 设X 与Y 独立且均服从 N （0，1），求 Z X 2 Y 2 的数学期望与方差.1【例 6】设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从 N （0，）, 试求ZXY的数学期望与方差.2三 、协方差，相关系数与随机变量的矩1、重要公式与概念：Cov( X,Y )E( XE( X )(YE(Y )协方差Cov(X,Y )相关系数XYD( X ) D(Y )k阶原点矩 E( X k )k阶中心矩 E( X2、性质：E( X )k Cov( X ,Y ) Cov(Y , X )1Cov(aX , bY )abCov( X ,Y )2Cov( X1X 2 ,Y )Cov( X1,

32、Y )| ( X ,Y ) | 1 ( X ,Y ) 1 P(Y aX b) 1Cov( X 2,Y )345(a 0) ( X ,Y ) 1 P(Y aX b) 13、下面 5 个条件互为充要条件：（1） ( X ,Y ) 0(a 0)（2） Cov( X,Y )0（3） E( XY )E ( X )E(Y )（4） D( X Y ) D( X ) D(Y )（5） D( X Y ) D( X ) D(Y )13 / 17【 例 7 】 设 X 1 , X 2 ,L, X n (n 2) 为独立同分布的随机变量,且均服从 N (0,1) , 记1nn iXX , YiX iX , i1,2,

33、L, n. 求:i 1Yi 的方差 D(Yi ), i1,2,L, n ；Y1 与Yn 的协方差Cov(Y1,Yn ) ;PY1 Yn 0.四、极限定理1. 切比雪夫不等式D( X )D( X )P | XE( X ) | , 或P | XE( X ) | 1 -222. 大数定律3. Poisson 定理4. 中心极限定理列维 林德伯格定理: 设随机变量 X ，X2，Xn，相互独立同分布, 且 E( Xi ), D( Xi ) ,2i1, 2,L , n,L ， 则对任意正数 x，有nXin2-t1xlim P i1 x e 2 dtn2n棣莫弗 拉普拉斯定理: 设n B(n, p),（即

34、X ，X2，Xn，相互独立, 同服从 01 分布） 则有t 22 dt .n np 1 ex x lim P np(1 p)2n【例 8】 银行为支付某日即将到期的债券须准备 笔现金， 知这批债券共发放了 500 张，每张须付本息1000 元，设持券人（1 人 1 券）到期到银行领取本息的概率为 0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换.【分析】若 X 为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为 1000X，设银行该日应准备现金 x 元.为使银行能以 99.9%的把握满足客户的兑换，则 P（1000Xx）0.999.【详解】设 X 为该日到银行领取本息的总人数，

35、则 XB（500，0.4）所需支付现金为 1000X，为使银行能以 99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金 x 元，则 P（1000 Xx）0.999.由棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理知：xP(1000 X x)P( X )100014 / 17x500 0.4 PX500 0.4 1000 X500 0.4 0.6500 0.4 0.6200 x200000 1202000 30 x200000 0.999 (3.1).2000 30 x200000 3.1, 得 x 233958.798.即2000 30因此银行于该日应准备 234000 元现金才能以 99.9%的把握满足客户

36、的兑换.第五讲 数理统计考试要求1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为n X )2.1S 2 n 1( Xii1了解 2 分布、t 分布和 分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算.了解正态总体的常用抽样分布.4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数.5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.6. 掌握矩估计法（ 阶、二阶矩）和最大似然的估计法.7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和 致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求

37、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误.10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验一、样本与抽样分布1. 总体、个体与简单随机样本:2. 常用统计量:n1ni 11 样本均值X Xin ( Xi X )21n 1i 12 样本方差S 2 15 / 171n ( XiX )23 样本标准差:Sn1i11nnkAkXi , k1, 2,L k4 样本k 阶原点矩i11nni1Bk( XiX ) , k1, 2,L5 样本k 阶中心矩3分位数4. 重要抽样分布（1） 2分布（2） t 分布（3）分布布 : 设X1 , X