列一元二次方程解应用题经典题型详细讲解

1、列一元二次方程解应用题经典题型剖析学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应 用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事 实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到 已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间 的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确 性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了 20乐 商

2、厦从十一 月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6万元，求 这两个月的平均增长率.解 设这两个月的平均增长率是工，则根据题意，得200(120%)(1+*)2=193.6,即(1+工尸=1.21,解这个方程，得乂=0.1,用=一2. 1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每 一个数据的意义，即可利用公式(l+x)2=求解，其中几对于负的增长率问题，若经过 两次相等下降后，则有公式勿(1一外2=即可求解，其中R.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以

3、自行定价，若每件商 品售价a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店 计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意,得(4-21) (350 10刘)=400,整理，得一-56a+775=0,解这个方程，得国=25, a2=31.因为因X (1+20%) =25. 2,所以忿=31不合题意,舍去.所以 350 10a=35010X25 = 100 (件).答 需要进货100件，每件商品应定价25元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“

4、少儿银行”，到期后 将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入， 这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为工则根据题意,得1000（1+力-500 （1+0.9*） =530.整理,907+145a3=0.解这个方程，得乂比0. 0204=2. 04%,1.63.由于存款利率不能为负数，所以将题比1. 63舍去.答 第一次存款的年利率约是2. 04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城

5、，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁 边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人 没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚 好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为加，那么渠底宽为（户0. Dm,上口宽为（，叶0. l+1.4）m.则根据题意，得上（户0. 1+N4.4+0. 1） x=L8,整理，得 f+0.8xL8=0.2解这个方程，得汨=一1.8 （舍去），尼=1.所以 户 1. 4+0. 1 = 1+1. 4+0. 1=2. 5.答渠道的上口宽2. 5m,渠深1m.说明 求解本题开始时好象无从

6、下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量 关系，列出方程求解.五、古诗问题例5读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x3.则根据题意，得f=10（x3）+x,即-1以+30=0,解这个方程，得x=5或x=6.当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当*=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为36岁.说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求

7、解同学们应从中 认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0 分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是 1979, 1980, 1984, 1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少小选手参 加.解 设共有个选手参加比赛，每个选手都要与S1）个选手比赛一局，共计（一1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为21）局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为（一1）分.显然s1）与为相邻的 自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2,

8、6,故总分不可能是1979, 1984, 1985,因此总分只能是 1980,于是由 （- 1） = 1980,得 /一一1980=0,解得口 =45, 2=44 （舍去）.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方 法求解.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去湾风景区旅游，共支付绐春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次 共有多少员工去湾风景区旅游？解 设该单位这次共有“名员工去湾风景区旅游.因为1000X25=2500027000,所以 员工人数一定超过25人

9、.则根据题意,得1000 20 （l 25） x= 27000.整理，得三一75卢1350=0,解这个方程，得汨=45,照=30.当 *=45 时，1000-20Cy-25） =600700,符合题意.答：该单位这次共有30名员工去湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找八、等积变形例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条

10、件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.2解 都能.（1）设小路宽为乂则18户16xf=_ X18X15,即/一34户180=0,3解这个方程，得x= ： 4 42 ,即*七6. 6.22（2）设扇形半径为r,则3. 14产=一 X18X15,即产七57. 32,所以 K7.6.3说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变;或形变积也变，但重量不变，等等.P图4C图2九、动态几何问题例9如图4所示，在/r中，ZC=90 ,4=6cm,仇=8cm,点尸从点月出发沿边 力。向点。以lcm/s的速度移动，点。从C点出发沿）边向点

11、8以2cm/s的速度移动.（1）如果只。同时出发，几秒钟后，可使尸。的面积为8平方厘米？（2）点只。在移动过程中，是否存在某一时刻，使得内。的面积等于力%的面积 的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解 因为NC-90 ,所以 AB= -62+8=10 （cm）.（1）设%s 后，可使的面积为 8cm* 所以 AP=xcm, AX（6-x）cm, CQ=2xcm.则根据题意，得1（6*）2x=8.整理，得一6户8=0,解这个方程，得m=2,2 xi=4.所以巴。同时出发，2s或4s后可使凡、。的面积为8cm2.（2）设点尸出发x秒后，夕S的面积等于4K面积的一半.则根据题意，得1

12、 （6力-2x=1 x1X6X8.整理，得/一6户12 = 0.222由于此方程没有实数根，所以不存在使/T0的面积等于月比面积一半的时刻.说明 本您虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路 程=速度X时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑hn,求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少 米？解 依题意，梯子的顶端距墙角Jd6? =8 5）.（1）若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面71n.

13、设梯子底端滑动曲.则根据勾股定理,列方程72+（6+*）2=1（）2,整理，得9+1215=0,解这个方程，得汨比1.14,即七一13. 14 （舍去），所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约L 14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动加.则根据勾股定理，列方程（8 *）2+（6+1）2=100.整理，得- 16TH3=0.解这个方程，得乂比0.86, 加七15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动八in时，底端向外也滑动,m.则根据勾股定理，列方程(8-x)2+(64-x)2=10整理,得2-4*=0,解这个方程

14、，得汨=0 (舍去)，生=2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角 形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于力处，在其正南方向 A200海里处有一重要目标氏在3的正向200海里处有一重要目 UX 标c小岛。恰好位于力。的中点，岛上有一补绐码头；小岛尸 位于形上且恰好处于小岛的正南方向，一艘军舰从/出发， |/B E F C经6到C匀速巡航.一般补给用同时从出发，沿南偏西方向图5 匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛和小岛尸相距多少海里？(2)已知军舰的速度是补给那的2倍，军舰在由4到C的

15、途中与补绐船相遇于处， 那么相遇时补绐船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1)/位于的正南方向，则团让8c因为月员1园为/I。的中点，所以DF=LaB 2= 100海里，所以，小岛与小岛少相距100海里.(2)设相遇时补给船航行了 x海里，那么庞=x海里，AB+BE=2x海里,EF=AB+BC (AB+BD-CF= (3002力海里.在RtZ字中，根据勾股定理可得方程/= 10()2+(300-2*)2,整理，得3/一 1200户100000 =0.解这个方程，得汨=200U2亚比118. 4,泾=200+吧如(不合题意，舍去). 33所以，相遇时补给船大约航行了 118.4海里.说明

16、求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形 中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12如图6所示，正方形力?切的边长为12,划分成12X12个小正方形格，将边长 为（为整数，且2WWU）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第 一X。的纸片正好盖住正方形4%左上角的X个小正方形格，第二纸片盖住第一纸片 的部分恰好为S1）X（一1）个小正方形,如此摆放下去，直到纸片盖住正方形出霜的右下 角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的数也不同, 请填写下表：纸片的边长

17、 n23456使用的纸片数（2）设正方形43被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S,未被盖住的面积为当=2时，求S ： S的值;是否存在使得S = S的值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.图6解(1)依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.(2) 5=/+(12 )/?2- (/7-1)2 = -n+25/7-12.当 =2 时，5 = -22+25X2-12 = 34, =12X12-34 = 110.所以 S ： =34 ： 110=17 ： 55.若 S = W,则有一”+25-12=! X12) 即k一25加84=0, 2解这个方程，得川=4, “2=21 (舍去)所以当

18、=4时，S = S,所以这样的值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于 求解笫（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方 程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方 形.图7（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能, 请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为（20 x） cm.则根据题意，得

19、;）+（空宁）=17,解得乂 = 16,数=4,当 *=16 时，20 x=4,当 x=4 时，20 x=16,答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.（2）不能,理由是：不妨设剪成两段后其中一段为广川，则另一段为（20y） cn则由v 丫 f2O-V Y题意得一 十 -一- =12,整理，得y-20-104 = 0,移项并配方，得310）2=-4 4 J 4 ；0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm224所以以距=BEFG=- - xx （7xW10）. 55.说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的4ac来判定.若力Me，。，方程有两个实数根，若力240,

20、方程没有实数根，本题中的Z/4ac= - 160即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14如图7,在等腰梯形ABCD中，AB=DC=S, 49=4,旌=10,点在下底边BC上，点尸在腰/火上.（1）若用平分等腰梯形/步09的周长，设庭长为x,试用含4的代数式表示闲的面积;（2）是否存在线段即将等腰梯形4%刀的周长和面积同时平分？若存在，求出此时跖的长；若不存在，请说明理由;（3）是否存在线段必将等腰梯形儿39的周长和面积同时分成1 ： 2的两部分？若存在,求此时的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为12,高4,面积为28.过点尸作用LL%于G,过点月作比于412-x

21、则可得，月三一X4,224（2）存在,由（1）得一二/+二工=4,解这个方程，得必=7,乃=5 （不合题意，舍去），所以存在线段站将等腰梯形力成刀的周长与面积同时平分，此时BE=7.（3 ）不存在.假设存在，显然有SixBS3: : S，边册 1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为R,白色小正方形的 个数为2,问是否存在偶数，使己=5片？若存在，请写出的值；若不存在，请说明理由. 解（1）观察分析图案可知正方形的边长为L 3、5、7、时，黑色正方形的个数 为L 5、9、13、24一1 （奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、时，黑色正方形的个 数为 4、8、12、16、2n （偶数）.（2）由

22、（1）可知为偶数时百=2，所以旦=/-2.根据题意，得“2-2/7= 5X2， 即/-12=0,解得m = 12, “2=0（不合题意，舍去）.所以存在偶数 =12,使得月=5几说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从 中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延 续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际 问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将 实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关

23、键词 语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌 握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长 率问题中的一些特殊关系等等.列一元二次方程解应用题练习一、选择题1、足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分，一 个队踢了 14场比赛，负5场共得19分，那么这个队胜了（）（A）3 场； （8）4 场； （C）5 场； （0）6 场。2、原价元的某商品经过两次降价后，现售价元，如果每次降价的百分比都 为x,那么下列各式中正确的是（）（4.（1 - 2x） = b ；- x） = b ；（C（1 + 2x）

24、 = a ；+ x）2 = a。3、某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每 月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率是x,则列出的方程是（ ）（A） 50（l + x） = 72（B） 50（1+ x）+50（1+ x）2 =72（C） 50（l + x）x2 = 72（D） 50（1 + x）2 = 724、用一块长80 cm、宽60 cm的矩形薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为x cm的小正方形，然后做成底面积为1500 cm?的没有盖的长方体盒子，为求出x, 根据题意列方程并整理后得（）(A) x2 -70 x + 825 = 0(B) x2+70

25、 x-825 = 0(C) x2-70 x-825 = 0(D) x2+70 x + 825 = 0二、填空题1、两个连续自然数的积是56,那么这两个自然数的和是2、直角三角形两条直角边长分别为x+1, x + 3,斜边长为2x,那么 3、2003年10月15日，上证指数为1608点，到2003年10月17日上升为1622 点，若平均每日指数增长率为X,则可列出方程为 O4、某厂计划在两年把产量提高44%,如果每年与上一年的增长率相同，那么这增长率是 O5、梯形的下底比上底长3,高比上底短1,面积为26,如果设上底为x,那么可 列出的方程 O6、某小组每人给他人送一照片，全组共送了 90,那么

26、这小组共有 人。7、把棱长为30mm的正方体钢材锻压成半径为xnun,高为100mm的圆柱形零件毛 坯，那么可列出的方程是 O8、一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位上的 数字比个位上的数字大2,若设个位数字为工，列出求这个两位数的方程 三、简答题1、有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是80如把十位上的数 字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855o求 原来的两位数。2、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件 商品售价a元，则可卖出(350 10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超 过20%,商店

27、计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期 后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一 年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期 后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)4、某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了 20%,商厦从十 一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6万元，求这两个月的平均增长率.5、将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部

28、分）所占的面 积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图1）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2 （如图2）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.图1图2能力提升如图3所示，在/回中，ZC=90 , 4C=6cm,欧 =8cm,点尸 从点A出发沿边力。向点。以lcm/s的速度移动，点0从C点出发沿 边向点8以2cm/s的速度移动.（1）如果只0同时出发，几秒钟后，可使/T。的面积为8平 方厘米？（2）点只0在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的 面积等于/回的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在， 说明理由.答案：一、选择题.C2. B 3. D 4. A二、填空题7 与 8 或一7 与一82. 53. 1608x(1 +a)2 =1