函数一致连续性的判别

1、 函数一致连续性的判别函数一致连续性的定义1.函数一致连续性的概念xx,12定义：设函数f(x)在区间I有定义，若0,30,xxI1,2有If(x)-f(x),称函数f(x)在I上一致连续。例1.证明：函数f(x)=ax+b(a丰0)在(-,+0,由于f(x)一f(x)=|axx，取=，则对任何x,x”(一，+),只要xx”,，就有f(x)f(x”),s，故函数f(x)=ax+b(a丰0)在(,+0,由于f(x)f(x)|=xxxxxx1V仔1取xr=岛,x=ns，虽然有-1，丄,丄,n+1nn(n+1)n2但|f(xx”)|S=1，故函数f(x)=1在区间(0,1上非一致连02x续。例3.(

2、1)叙述f(x)于区间I一致连续的定义(2)设f(x)，g(x)都于区间I一致连续且有界，证明：F(x)=f(x)g(x)也于I一致连续。解：(1)若s0,360,xx1,2,有|f(x)-f(x)，s,称函数f(x)在I上一致连续。(2)由题设f(x),g(x)有界，从而存在M0,使|f(x)M,g(x)M,xeI再由f(x)，g(x)都一致连续，则,80,50,50使,xx,x,xeI且121,2345,1=min备,51252时有f(xi)-f(x2)|82M，g(x3)一g(x4)x565 # #F(x5)F(x6)|二f(x5)g(x5)f(x6)g(x6)|f(x5)|g(x5)g

3、(x6)+|g(x6)|f(x5)f(x6)88M+M=8.2M2M所以F(x)在I上一致连续。例4.函数f(x)在la,b上连续，又在lb,上一致连续,abc，用定义证明： #f(x)在L,c上一致连续.证：由f(x)在L,b上一致连续，故,80，存在50当x，5时，有1f(x1)一f(x2)|2同理，f(x)在b,c上一致连续，对上述80，存在50,2当x,x,eb,c，且345时，有2xx34f(x)f(x)三八3八42令5=min,5，则对80，当x,xe1256若x,xeta,b，由式有56f(x5)f(x6)|28.若x,xeb,c，由式也有56f(x5)f(x)8.6(3)若xe

4、ta,b，xe56th,c时，则x一b|5，5时，数学分析选讲课程论文2x121 所以If(X5)f(x6)If(X5)f(b),|f(b)f(x6)0上一致连续，g(x)二sin丄在(0,1)上不一xx致连续。证：对V0取8=a2e区间，当x一x”6时，TOC o 1-5 h ziix”一xx一x”81-=0，只要n充分大总有o22n(n+1)k8，一sin(n+1)兀2数学分析选讲课程论文2x121 #数学分析选讲课程论文2x121 #所以f(x)在(0,1)上不一致连续。例6.设函数f(x)定义在区间(a,b)上。用-8方法叙述f(x)在(a,b)上一致连续的概念；设0a0,380,Vx

5、xeI:xx8有If(x)-f(x)0,取8=a2,则当x,xe(a,1)128时，1,2一1f(x)一f(x2)xx21xx1a21.sin一sinx18=a22cos盒二sin211sm2一1数学分析选讲课程论文 所以f(x)sin丄在(a,l)上一致连续.x由例5可知函数f(x)sin!在(0,1)上非一致连续.x例7.用定义证明x在t),)上一致连续.证：令f(x)=x，先证f(x)在1,+)上一致连续.设x,xw1,+)且xxTOC o 1-5 h zl2l2x-xx-xx-x1212。l2x+x212V0,取62，当x,xw1,+)且lx一x6时，有12I12x】-x?兀1“2。即

6、证f(x)在1,+)上一致连续。122函数连续性的康托定理判别及其推论康托定理：函数f(x)在la,b上一致连续的充分条件是f(x)在la,bl上连续.有限非闭区间的定理1：函数f(x)在(a,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b)上连续且f(a+)与f(b-)都存在。有限非闭区间的推论1：函数在L,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在L,b)上连续且f(b-)存在。有限非闭区间的推论2：函数f(x)在(a,b上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b上连续且f(a+)存在。组合空间的定理1：(-致连续函数的区间可加性)函数f(x)在I,I上一12致连续，若InI制,则f(x

7、)在II上一致连续。1212无穷区间的定理1:函数f(x)在La,+)上一致连续的充分条件是f(x)在a,+)上连续且f(+刈存在。无穷区间判别定理的推论函数f(x)在(a,+)上连续且f(a+)和f(+刈都存在。无穷区间的定理2：函数在(-，b上一致连续的充分条件是f(x)在(-，b上连续且f(-)存在。无穷区间定理2推论：函数f(x)在(一，b)上一致连续的充分条件是f(x)在(一，b)上连续且f(-)和f(-)都存在。类似于有限开区间一致连续性判别法的定理函数在f(x)上一致连续的充分条件是f(x)在(-,+)上连续且f(-)和f(+)都存在。一般任意区间上的判别法即莱布希茨判别法：若对

8、于定义在区间X上的函数f(x)和g(x)，3L,O,Vx,x”X,有f(x)一f(x”)Lg(x)一g(x”)成立，而g(x)在X上一致连续，则f(x)在X上也一致连续。般任意区间上的判别法定理:设函数f(x)在区间X上连续，且满足f(x)在X上有界，则f(x)在X上一致连续。例1.(1)f(x)=x3,x(0,1)；(2)f(x)=-,x(0,+8)；(3)1+x2sinxf(x)=,x(0,)。x解：(1)f(x)=x3,x(0,1)在(o,i)内连续，且limf(x)=o,limx3=1xt0+xt1一即limf(x)=0,limx3=1都存在，故f在G,1)致连续。xt0+xt1一f(

9、x)=-在(0,内连续，且limf(x)=1,lim=0，1+x2xt0+xt+故f(x)=,x(0,+s)致连续。1+x2(3)limf(x)=1,lim=0满足定理条件，故f(x)在区间内一致连续。xt0+xt兀一例2.若f(x)在b,+x)上连续，limf(x)=a存在，则f(x)在b,+s)上一致连续。证：因为limf(x)=A，由柯西准则，Ve,0,3M,0当xx,Ms时，有1,2|f(xp-f(x2)|,-又由于f(x)在b,M+1上连续，从而一致连续，故对上述e,0,mJ,0,有|f(x)-f(x4)|e,bb俩式知当x,x(0,M+11，且lx一x时，34I341取=min备，

10、1“则Vx,x”t),+J且x一x”时，由a,f(x)一f(x”)e.此即证f(x)在b,+x)上一致连续.例3.求证：f(x)=在(0,+8)上一致连续。exxT+g证：因为f(x)在la+s上连续，又由罗比塔法则可证lim注=0。由上题ex得f(x)在h+g)致连续。例4.已知f(x)在(a,b)上连续，证明：limf(x)存在。证：由假设Ve0,50，对x,x(a,b)x一x125，都有If(x1)-f(x2)|,故当axa+5,axa+5时，有f(x)_f(x),由柯西准则知limf(x)12V127?12存在。例5.设f(x)在有限开区间C,b)上连续，证明：f(x)在(a,b)上一

11、致连续的充要条件是limf(x)及limf(x)都存在。xa+0 xb一0证：充分性，设limf(x)=c,limf(x)=b规定xTb-0 x=0F(x)=f(x),x(0,1)x=1则F(x)在la,b上连续，从而在la,b上一致连续，所以f(x)在(a,b)上一致连续。再证必要性，由上题可证limf(x)存在，类似上题可证limf(x)存在。xa+0 xb一0例6证明：如果一个函数f(x)在区间(0,1)里一致连续，那么存在一个函数F(x)在闭区间Hl里连续，并且对任何x(0,1),F(x)=f(x)。证：由例5可知limf(x)=c存在，lim=d存在，令f(x)=x-1_xtO+则F

12、(x)在t),l里连续，且F(x)=f(x)，Vx(0,1).例7.讨论f(x)=sin在0vxv“上的一致连续性。x解:因为lim沁=1,氾=0,x“sinxt0 x=0f(x),x(0,1)x=11x=0构造新函数F(x)=f(x)0vx“0 x=“则f(x)在b,“上连续，从而一致连续，所以f(x)在b,“上连续，从而一致连续所以F(x)在(0,“)上连续，所以在其上一致连续。例8.若函数f(x)在区间I上满足利普希茨条件：f(x)一f(x”)”Lx一xI,Vx,xI,则f(x)在I上一致连续。1212证：V，0，取一，则当X,xI且lx一x6时L12112f(X)-f(X”)LX-兀2

13、L三=，,VX,兀2I,所以f(x)在I上一致连续。例9.证明：函数f(x)二xlnx在1,炖)上一致连续。证：因为f(x)=xlnx，所以广(x)x+20,2xx1,+8),f(x)=lnx0,4xxx1,+8).数学分析选讲课程论文 #数学分析选讲课程论文 故f(x)单调递减,1limf(x)=limlnx+2=limA=lim2xxT+8xT+8xT+8limf(x)二limlnx+2二1,xT1xT12x所以f(x)在1,炖)上有界，设1,+8)，且6时，f(x)M,x1,+8).V,0，存在6=，那么当x,x，M12f(x)f(x)=f(g)(x-x_)Mx12-x2，nn(n丿n2

14、(2)令所以x2在b,+8)上非一致连续。例ii.设f(x)在1,+8)上可导，且lim，f(x)=+8，证明：f(x)在1,+J上非x+8一致连续.证：由limf(x)=+8知V80,取M=2,则存在N0,当xN时，有0 x+8f(x)M=0。再取x,xN，且x0,3,0,Vxx1,2,时，由limZxTg(x)=A，因此Ve0,3M,VxM,g(；)Ae，由数学分析选讲课程论文 #数学分析选讲课程论文 Cauchy微分中值定理知，e(x,x)，使12f(g)/(x)/(x)g(g)g(x)g(x)12因为xTlimf(xi)f(3)lim广点)0,x,xM,f(xi)f(x2)Ae,12g

15、(x)g(x)12用.f(x)f(x)aL(x)g(x)因此12120,xM,xM，当xx,f(x)f(x)e(A+e)，因此f(x)在(M,+)上一致连续，因为f(x)在la,M+1上连续，故在la,M+1上一致连续，所以f(x)在I上一致连续。同理可证明f(x)在I上一致连续，则g(x)在I上一致连续，因此定理得证，类似可以得到一下推论。推论1.函数f(x)，g(x)eC(I)Ie，b，f(x),g(x)满足：(1)limf(x)limg(x)；(2)f(x)，g(x)在I上可导，且g(x)0；xTxT(3)limS存在，若limf(x),a(a为非零定值)，则f(x),g(x)有一g(x

16、)xT相同的一致连续性。g(x)xT例1.判断函数f(x)，xlnx2+x的一致连续性。解：选取函数x为比较函数，有limxlnx2+x,1，函数g(x)，x在区间(0,+：xxT+上一致连续，有定理1可知，函数f(x)，xlnx2+x在区间(0,+)致连续。例2.讨论函数f(x)，x+lnx+ex的一致连续性。解：选取函数ex作为比较函数，则有limx+lnx+ex,1，而ex在(0,+上不一exxT致连续，有定理1可知f(x)，x+lnx+ex也不一致连续。例3.判断函数f(x)，x4+x2+sinx在t),+)上的一致连续性。解：构造函数g(x)，x2，则有：lim/凹=limx4+x2

17、+sinx,1，g(x)，x2g(x)x卄x4在定义域上非一致连续，由定理1，f(x)，x4+x2+sinx在t),+)上不一致连续。例4.判断函数f(x)，巴sinx在区间1,+)上的一致连续性。x+9解：构造函数g(x)，sin1，则有xx+71limf(x)g(x)smx+9x,x+71x+9sinxx+7sinx在区x+9又因为g(x)，sin在区间1,+)上一致连续，由定理1,x间11,+)上一致连续。例5设函数列f(x)在区间I上一致收敛于f(x)，且f(x)在I上一致连续nn(neN).证明：f(x)在I上一致连续证：0，3N0，当nN时,00If(x)-f(x)0,当Nx,x12eI且|X1，X25时，f(X)-f(x2)-NoN02则由