第五章相似矩阵及二次型(共31页)

1、第五章相似矩阵及二次型1试用(shyng)施密特法把下列(xili)向量组正交化(1) (a1, a2, a3)1 1 11 2 41 3 9解根据(gnj)施密特正交化方法1b1a111b ,a 1ba1 2 b02 2 b ,b 1 11 11bab1,a3bb2,a3b 123 3 b ,b 1b ,b 2 311 1 2 2111011101110(2) (a1, a2, a3)解根据施密特正交化方法10b1 a1 11b2 a2b1,a2b113321b ,b 11 1bab1,a3b1b2,a3 133 3 b ,b 1bb ,b 2 5341 1 2 22下列(xili)矩阵是不

2、是正交阵:11123(1)11212;11132184999814999447999解此矩阵(j zhn)的第一个行向量非单位向量, 故不是(b shi)正交阵(2)解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵3设 x 为 n 维列向量xTx 1令 H E 2xxT证明 H 是对称的正交阵证明因为HT (E 2xxT)T E 2(xxT)T E 2(xxT)TE 2(xT)TxT E 2xxT所以 H 是对称矩阵因为HTH HH (E 2xxT)(E 2xxT)E 2xxT 2xxT (2xxT)(2xxT)E 4xxT 4x(xTx)xTE 4xxT 4xxTE所以 H 是正交矩阵4

3、设 A 与 B 都是 n 阶正交阵证明 AB 也是正交阵证明因为 A B 是 n 阶正交阵故 A 1 AT B 1 BT(AB)T(AB) BTATAB B 1A 1AB E故 AB 也是正交阵5求下列(xili)矩阵的特征值和特征向量:212(1)533 ;1022l12解| AlE |53l3(l1)3102l故 A 的特征值为l1(三重(sn zhn)对于(duy)特征值l1由3AE511223011 0 10 1 10 0 0得方程(A E)x 0 的基础解系 p1 (1 11)T向量 p1 就是对应于特征值l1 的特征值向量.(2)1 2 32 1 3 ;3 3 61 l23解| A

4、lE |21 l3336ll(l1)(l9)故 A 的特征值为l1 0 l21 l3 9对于特征值l1 0由1 2 3A2 1 3 3 3 61 2 30 1 10 0 0得方程 Ax 0 的基础解系 p1 ( 11 1)T向量 p1 是对应于特征值l1 0 的特征值向量.对于特征值l21, 由2 2 3AE2 2 3 3 3 72 2 30 0 10 0 0得方程(fngchng)(A E)x 0 的基础(jch)解系 p2 ( 1 1 0)T向量(xingling) p2 就是对应于特征值l21 的特征值向量对于特征值l3 9由A9E8231 11283 0 1103330 02得方程(A

5、 9E)x 0 的基础解系 p3 (1/2 1/2 1)T向量 p3 就是对应于特征值l3 9 的特征值向量0 00 10 01 00 10 01 00 0(3).解| AlE |l0010l1001l0100l(l1)2(l1)2故 A 的特征值为l1 l21l3 l4 1对于特征值l1 l21由1 0 010 1 100 1 101 0 01AE1 0 0 10 1 1 00 0 0 00 0 0 0得方程(A E)x 0 的基础解系 p1 (1 0 01)T p2 (0 11 0)T向量 p1 和 p2 是对应于特征值l1 l21 的线性无关特征值向量0111001 0 01对于特征值l

6、3 l4 1由1001AE01100 11 000 0 0010 0 00得方程(fngchng)(A E)x 0 的基础(jch)解系 p3 (1 0 0 1)T p4 (0 1 1 0)T向量(xingling)p3 和 p4 是对应于特征值l3 l4 1 的线性无关特征值向量6设 A 为 n 阶矩阵证明 AT 与 A 的特征值相同 证明因为|AT lE| |(A lE)T| |A lE|T |A lE|所以 AT 与 A 的特征多项式相同从而 AT 与 A 的特征值相同7设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A) R(B) n证明 A 与 B 有公共 的特征值有公共的特征向量证明设 R(A)

7、 r R(B) t则 r t n若 a1 a2an r 是齐次方程组 Ax 0 的基础解系显然它们是A 的对应于特征值l 0 的线性无关的特征向量类似地设 b1 b2bn t 是齐次方程组 Bx 0 的基础解系则它们是 B 的对应于特征值l 0 的线性无关的特征向量由于(n r) (n t) n (n r t) n故 a1 a2an r b1 b2bn t必线性相关于是有不全为 0 的数 k1 k2kn r l1 l2ln t使k1a1 k2a2kn ran r l1b1 l2b2ln rbn r 0记g k1a1 k2a2kn ran r(l1b1 l2b2ln rbn r)则 k1 k2k

8、n r 不全为 0否则 l1 l2ln t 不全为 0而l1b1 l2b2ln rbn r 0与 b1 b2bn t 线性无关相矛盾因此 g 0 g是 A 的也是 B 的关于l 0 的特征向量所以 A 与B 有公共的特征值有公共的特征向量8设 A2 3A 2E O证明 A 的特征值只能取 1 或 2证明设l是 A 的任意一个特征值 x 是 A 的对应于l的特征向量(xingling)则(A2 3A 2E)x l2x 3lx 2x (l2 3l 2)x 0因为 x 0所以(suy)l2 3l 2 0即l是方程l2 3l 2 0 的根也就是说l 1 或l 29设 A 为正交阵且|A|1证明(zhn

9、gmng)l1 是 A 的特征值 证明因为 A 为正交矩阵所以 A 的特征值为 1 或 1 因为|A|等于所有特征值之积又|A| 1所以必有奇数个特征值为 1即l1 是 A 的特征值10设l 0 是 m 阶矩阵 Am nBn m 的特征值证明l也是 n 阶矩 阵 BA 的特征值证明设 x 是 AB 的对应于l 0 的特征向量则有(AB)x lx于是B(AB)x B(lx)或BA(B x) l(Bx)从而l是 BA 的特征值且 Bx 是 BA 的对应于l的特征向量11已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3求|A3 5A2 7A|解令j(l) l3 5l2 7l则j(1) 3j(2) 2j(

10、3) 3 是j(A)的特征值故|A3 5A2 7A| |j(A)| j(1) j(2) j(3) 3 2 3 1812已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 23求|A* 3A 2E|解因为|A| 1 2 ( 3)6 0所以 A 可逆故A* |A|A 16A 1A* 3A 2E6A 1 3A 2E令j(l)6l 1 3l2 2则j(1)1 j(2) 5 j( 3)5 是j(A)的特征值故|A* 3A 2E| | 6A 1 3A 2E| |j(A)|j(1) j(2) j( 3)1 5 ( 5) 2513设 A、B 都是 n 阶矩阵(j zhn)且 A 可逆证明(zhngmng) AB 与 BA

11、相似证明(zhngmng)取 P A则P 1ABP A 1ABA BA即 AB 与 BA 相似14设矩阵 A解由2 0 13 1 x4 0 5可相似对角化求 x| A lE |2 l 0 13 1 l x4 0 5 l(l 1)2(l 6)得 A 的特征值为 l1 6 l2 l3 1因为 A 可相似对角化所以对于 l2 l3 1齐次线性方程组1 01 r1 0 1( A E)3 0 x 0 0 x4 040 0 0(A E)x 0 有两个线性无关的解因此 R(A E) 1由3知当 x 3 时 R(A E) 1即 x 3 为所求15已知 p (111)T 是矩阵 A量2 1 25 a 31 b

12、2的一个特征向(1)求参数 a b 及特征向量 p 所对应的特征值解设 l 是特征向量 p 所对应的特征值则2 l 1210(A lE)p 0即5 a l3101 b2 l10解之得 l1 a3 b 0(2)问 A 能不能相似(xin s)对角化？并说明理由解由2 l 1 2| A lE | 5 3 l 3(l 1)31 0 2 l得 A 的特征值为l1 l2 l3 111 2 r1 01A E52 3 0 11b 10 00由1知 R(A E) 2所以齐次线性方程组(A E)x 0 的基础解系只有(zhyu)一个解向量(xingling)因此 A 不能相似对角化16试求一个正交的相似变换矩阵

13、, 将下列对称阵化为对角阵:(1)220212 ;020解将所给矩阵记为 A由AlE2l221 l0202(1 l)(l 4)(l 2)l得矩阵 A 的特征值为l12 l2 1 l3 4对于l12解方程(A 2E)x 0即420 x1232x2 0022x3得特征向量(1 2 2)T单位化得 p(1, 2 , 2)T1 3 3 3对于l2 1, 解方程(A E)x 0即120 x1202x2021x30得特征向量(2 12)T单位(dnwi)化得 p(2 , 1,2)T2 3 33对于(duy)l3 4, 解方程(A 4E)x 0即220 x1232x2 0024x3得特征向量(22 1)T单

14、位(dnwi)化得 p(2 ,2 , 1)T3 33 3于是有正交阵 P (p1 p2 p3)使 P 1AP diag( 2 1 4)(2)222254245解将所给矩阵记为 A由AlE2l2225l4(l 1)2(l 10)245l得矩阵 A 的特征值为l1 l2 1 l3 10对于l1 l2 1解方程(A E)x 0即122x10244x20244x30得线性无关特征向量( 2 1 0)T 和(2 0 1)T将它们正交化、单位化得p1 (1 52, 1, 0)Tp12 3 5(2, 4, 5)T对于l3 10, 解方程(A 10E)x 0即822x10254x20245x303得特征向量(

15、 12 2)T单位(dnwi)化得 p1 ( 1,32, 2)T于是(ysh)有正交阵 P (p1 p2 p3)使 P 1AP diag(1 1 10)17设矩阵(j zhn) A1242x2 与42154相似求 xy并y求一个正交阵 P使 P 1AP解已知相似矩阵有相同的特征值显然l 5 l4 l y 是 的特征值故它们也是 A 的特征值因为l4 是 A 的特征值 所以解之得 x 4| A4E |5242 x424259(x4)0已知相似矩阵的行列式相同因为124| A|2424215100|4y20 y所以 20y100 y 5对于l 5解方程(A 5E)x 0得两个线性无关的特征向量(1

16、01)T (12 0)T将它们正交化、单位化得p1 (1, 0,1 21)Tp12 3 2(1,4, 1)T得 p3对于l4解方程(A 4E)x 0得特征向量(2 1 2)T单位化1 (2, 1, 2)T3 1 2 1 于是(ysh)有正交矩阵 P233 201433 2使 P 1AP 1 2 1 2 33 218设 3 阶方阵(fn zhn) A 的特征值为l1 2 l22 l3 1对应(duyng)的特征向量依次为 p1 (0 1 1)T p2 (1 1 1)T p3 (1 1 0)T求 A.解令 P (p1 p2 p3)则 P 1AP diag(22 1)A PP 1因为1 1 111

17、11 1 00110 1 11P 11 10所以APP 10 1 12001 101 331 1 102011 14 531 1 00010114 4219设 3 阶对称阵 A 的特征值为l1 1 l21 l3 0对应l1、l2 的特征向量依次为 p1 (1 2 2)T p2 (2 12)T求 A解设 Ax1 x2 x3 x2 x4 x5 x3 x5 x6则 Ap1 2p1 Ap22p2即x1 x2 x32x12x22x3再由特征值的性质有2x22x42x5x2 x4 x52x3 12x5 22x6 22x3 22x5 12x6 2由解得x1 x4 x6 l1 l2 l3 0 x11 xx1

18、xx21 x1 32 62 2 63 34 6x11 xx21 x4 32 615 34 6212令 x6 0得 x13x2 0 x3 3x4 3x5 3因此(ync)A1 0 210 1 2322 020设 3 阶对称矩阵(j zhn) A 的特征(tzhng)值l1 6l2 3l3 3与特征值l1 6 对应的特征向量为 p1 (1 1 1)T求 A.解设 Ax1 x2 x3 x2 x4 x5 x3 x5 x6因为l1 6 对应的特征向量为 p1 (1 1 1)T所以有11A 16 111x1 x2即 x2 x4x3 x5x3 6x5 6x6 6l2 l3 3 是 A 的二重特征值, 根据实

19、对称矩阵的性质定理知R(A 3E) 1利用可推出A3Ex1 3x2x3x2x4 3x5x3x5 x6 311x2 x4 3x3 x51x5x6 3因为 R(A 3E) 1所以 x2 x4 3 x5 且 x3 x5 x6 3解之得x2 x3 x5 1 x1 x4 x6 4因此A4 1 11 4 11 1 421设 a (a1 a2 an)T a1 0 A aaT(1)证明l 0 是 A 的 n 1 重特征值证明设l是 A 的任意一个特征值 x 是 A 的对应于l的特征 向量则有Ax lxl2x A2x aaTaaTx aTaAx laTax于是(ysh)可得l2 laTa从而(cng r)l 0

20、 或l aTa设l1 l2ln 是 A 的所有(suyu)特征值因为 A aaT 的主对角线性上的元素为 a12 a22an2所以a12 a22an2 aTa l1 l2ln这说明在l1 l2ln 中有且只有一个等于 aTa而其余 n 1 个全为 0即l 0 是 A 的 n 1 重特征值(2)求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量解设l1 aTa l2ln 0因为 Aa aaTa (aTa)a l1a所以 p1 a 是对应于l1 aTa 的特征 向量对于l2ln 0解方程 Ax 0即 aaTx 0因为 a 0所以aTx 0即 a1x1 a2x2anxn 0其线性无关解为p2 ( a2

21、 a1 0 0)Tp3 ( a3 0 a1 0)Tpn ( an 0 0 a1)T因此 n 个线性无关特征向量构成的矩阵为( p , p , p )a1 a2 ana2 a1 012142nan 0a122设 A解由03 4043求 A1001 l| AlE |00423l443l(l1)(l5)(l5)得 A 的特征值为l1 1 l2 5 l35对于(duy)l1 1解方程(fngchng)(A E)x 0得特征向量 p1 (1 0 0)T 对于(duy)l1 5解方程(A 5E)x 0 得特征向量 p2 (2 1 2)T 对于l15解方程(A 5E)x 0得特征向量 p3 (12 1)T

22、令 P (p1 p2 p3)则P 1AP diag(1 55)A PP 1A100 P100P 1因为100 diag(1 5100 5100)1 211P 1 0 120 21所以5051 0125 021A1001 21 0 15 0 210121510015100151005050120210 5100000510023在某国每年有比例为 p 的农村居民移居城镇有比例为 q 的城镇居民移居农村 假设该国总人口数不变 且上述人口 迁移的规律也不变 把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比 例依次记为 xn 和 yn(xn yn 1)(1)求关系式xn 1yn 1A xnyn中的矩阵 A解

23、由题意知xn1xn qyn pxn (1 p)xn qynyn1yn pxn qynpxn (1 q)yn可用矩阵(j zhn)表示为xn 1yn 11pqxnp1 qyn因此(ync)A1pqp1 qx0.5(2) 设 目 前 农 村人口 与 城 镇人口 相等即0y0 xnyn0.5求解由 xn 1yn 1| AlE |A xnyn1p p可知(k zh) xnynlq1 qlAn x0 由y0(l1)(l1pq)得 A 的特征值为l1 1 l2 r其中 r 1 p q对于l1 1解方程(A E)x 0得特征向量 p1 (q p)T对于l1 r解方程(A rE)x 0得特征向量 p2 ( 1

24、 1)T则q1令 P( p1, p2) p1P 1AP diag(1 r)A PP 1An PnP 1于是An1q11 0 n q1p10 rp1 1 q11 011pqp10 rnp q 1 qprn qqrnpqpprn pqrnxn 1 qprn qqrn0.5yn pqpprn pqrn0.5 1 2q( pq)rn2( pq) 2 p(q32p)rn10924 (1)设 A解由23求j(A) A5A| AlE |3l223l(l1)(l5)得 A 的特征值为l1 1 l2 5对于(duy)l1 1解方程(fngchng)(A E)x 0得单位(dnwi)特征向量1 (1, 1)T2对

25、于l1 5解方程(A 5E)x 0得单位特征向量 1 (21, 1)T于是有正交矩阵 P 1 112 1 1使得 P1AP diag(1 5)从而 A PP 1 Ak PkP 1因此j(A) Pj()P 1 P(10 59)P 1Pdiag(1 510) 5diag(1 59)P 1Pdiag( 4 0)P 1 1 114 0 1 1 12 110021 122222 1 22 1 11 1(2)设 A1 2 22 2 1, 求j(A) A10 6A9 5A8解求得正交矩阵为132P11326202使得 P 1AP diag( 1 1 5)A PP 1于是j(A) Pj()P 1 P(10 6

26、9 58)P 1P8(E)(5E)P 1Pdiag(1 1 58)diag( 2 0 4)diag( 64 0)P 1Pdiag(12 0 0)P 1131136202122020112330222112211222425用矩阵(j zhn)记号表示(biosh)下列二次型:(1) f x2 4xy 4y2 2xz z2 4yz1 2 1x解f(x, y, z) 2 4 2y1 2 1z(2) f x2 y2 7z2 2xy 4xz 4yz112xx3 2x1x解f(x, y, z)112y227z(3) f x12 x 2 x 2 x 22342x1x2 4x11121x11132x2解f(

27、x1, x2, x3, x4)2310 x31201x44 6x2x3 4x2x426写出下列二次型的矩阵(j zhn)2 1(1) f (x)xT 3 1 x2 1解二次型的矩阵为 A3 1(2) f (x)1 2 3xT 4 5 6 x7 8 9123解二次型的矩阵为 A45678927求一个(y )正交变换(binhun)将下列二次型化成标准形:2(1) f 2x12 3x 23x334x2x32 0 0解二次型的矩阵(j zhn)为 A0 3 2由0 2 3AlE2l0003l2023l(2l)(5l)(1 l)得 A 的特征值为l1 2 l2 5 l3 1当l1 2 时, 解方程(A

28、 2E)x 0由0000 1 2A2E012 0 0 10210 0 0得特征向量(1 0 0)T取 p1 (1 0 0)T当l2 5 时解方程(A 5E)x 0由A 5E3001 0 0022 0 110220 0 02得特征向量(0 1 1)T取 p(0, 1 ,21 )T2当l3 1 时解方程(A E)x 0由1 0 0AE0 2 2 0 2 21 0 00 1 10 0 03得特征向量(01 1)T取 p(0,1 , 1 )T22于是有正交矩阵 T (p1 p2 p3)和正交变换 x Ty使2222f 2y12 5y 2y32(2) f x12 x2x3x42x1x2 2x1x4 2x

29、2x3 2x3x41101111 001111011解二次型矩阵为 A由AlE101(l1)(l1 l10111 l1001 1 l11 l3)(l1)2得 A 的特征值为l11 l2 3 l3 l4 1当l11 时可得单位(dnwi)特征向量 p(1 ,1 ,1 , 1)T当l2 3 时可得单位(dnwi)特征向量 p1 2(1 , 1 ,22 21 ,1)T2 2 222当l3 l4 1 时可得线性无关(wgun)的单位特征向量p3(1 , 0,21 , 0)T2p4 (0,1 , 0,21 )T2于是有正交矩阵 T ( p1 p2 p3 p4)和正交变换 x Ty使2fy12 3y 2y

30、32y4228求一个正交变换把二次曲面的方程3x2 5y2 5z2 4xy 4xz 10yz 1化成标准方程解二次型的矩阵为 A322255255由| AlE |3l2225l5l(l2)(l11)得 A 的特征值2为l1 2 l2 11 l3 055l对于l1 2解方程(A 2E)x 0得特征向量(411)T单位化得 p1( 4 ,3 21 ,1 )3 2 3 2对于l2 11解方程(A 11E)x 0得特征向量(1 22)T单位1 22化得 p2( ,)3 33对于(duy)l3 0解方程 Ax 0得特征向量(011)T单位(dnwi)化得p3 (0,1 , 1 )22于是(ysh)有正交

31、矩阵 P (p1 p2 p3)使 P 1AP diag(2 11 0)从而有正交变换 4 10 x3 23uy 1 2 1 v 1 2 1 3 232z3 232w使原二次方程变为标准方程 2u2 11v2 129明二次型 f xTAx 在|x| 1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值.证明A 为实对称矩阵则有一正交矩阵 T使得TAT 1 diag(l1 l2ln)成立其中l1 l2ln 为 A 的特征值不妨设l1 最大作正交变换 y Tx即 x TTy注意到 T 1 TT有f xTAx yTTATTy yTy l1y12 l2y22lnyn2因为 y Tx 正交变换所以当|x| 1 时有n|

32、y| |x| 1即 y12 y22y 2 1因此2fl1y12 l2y 2nlny 2 l1又当 y1 1 y2 y3yn 0 时 fl1所以 f maxl130用配方法化下列二次形成规范形并写出所用变换的矩阵(1) f(x1 x2 x3) x12 3x22 5x32 2x1x2 4x1x32解f(x1 x2 x3) x12 3x22 5x32(x1 x2 2x3)2 4x2x3 2x 22x1x2 4x1x3x32(x1 x2 2x3)2 2x22 (2x2 x3)2 5 y1x1x2 2x3x1 y112 y2 2 y3令y2y32x22x2 x3即 x2x3y222 y2 y3二次型化为

33、规范(gufn)形所用的变换(binhun)矩阵为2f y12 y 2y321522C010202 1(2) f(x1 x2 x3) x12 2x32 2x1x3 2x2x3解f(x1 x2 x3) x12 2x32 2x1x3 2x2x3(x1 x3)2 x32 2x2x3(x1 x3)2 x22 (x2 x3)2y1令y2y3x1 x3x2x2 x3x1即 x2x3y1 y2 y3y2y2 y3二次型化为规范(gufn)形所用的变换矩阵为2f y12 y 2y321 11C0 10011(3) f(x1 x2 x3) 2x12 x22 4x32 2x1x2 2x2x313解f(x1 x2

34、x3) 2x 2x224x 22x1x2 2x2x32(x1 x )21 x2x2 x x12 22 2 4 32 2 32(x1 x )2 1 xx 2 x212 2y2(x2 ( 21 x2 3) 2 3x1 y1 y1 y1 1 1 2 2)1 2 122 23 2 令y2y3(x222x32x3)即 x2x32 y2 2 y3 1 y23二次型化为规范(gufn)形所用(su yn)的变换矩阵为2f y12 y 21y321131设C10222 0 0122f x12 x2为正定(zhn dn)二次型求 a5x32ax1x2 2x1x3 4x2x3解二次型的矩阵为 Aa1a1a121

35、25a12a(5a4)1 251a1其主子式为a11 111 a2a 1因为 f 为正主二次型所以必有 1 a2 0 且 a(5a 4) 0解之4得5a032判别(pnbi)下列二次型的正定性(dng xng)2(1) f2x12 6x 234x 22x1x2 2x1x3解二次型的矩阵(j zhn)为 A2211160因为1041a11 20所以 f 为负定1611 02| A|380(2) f x12 3x22 9x32 19x42x1x2 4x1x3 2x1x4 6x2x4 12x3x4解二次型的矩阵为 A11211 3032096因为136 1911 2a11 101140 ,1 31

36、3 020 960 ,A240所以 f 为正定33证明对称阵 A 为正定的充分必要条件是存在可逆矩阵U使 A U TU即 A 与单位阵 E 合同证明因为对称阵 A 为正定的所以存在正交矩阵 P 使PTAP diag(l1 l2ln)即 A PPT其中l1 l2ln 均为正数令1 diag(l1 ,l2 , ln )则11 A P11TPT再令 U1TPT则 U 可逆且 A UTU第六章线性空间与线性变换1验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间并写出各个空间的一个基(1) 2 阶矩阵的全体 S1解设 A B 分别(fnbi)为二阶矩阵则 A BS1因为(yn wi)(A B)S1

37、kAS1所以(suy) S1 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间10e10 0是 S1 的一个基.e0 12 0 0e0 03 1 0e0 04 0 1(2)主对角线上的元素之和等于 0 的 2 阶矩阵的全体 S2解设 Aa bBcad eA BS2因为fdAB(ad ) cbScaad2kAka kbSkcka2所以 S2 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间e1 0101是 S2 的一个基e0 12 0 0e0 03 1 0(3) 2 阶对称矩阵的全体 S3.解设 A BS3则 AT A BT B 因为 (A B)T AT BT A B (A B)S3 (kA)T kAT kA kAS3

38、所以 S3 对于加法和乘数运算构成线性空间.e1 010 0是 S3 的一个基.e0 12 1 0e0 03 0 12验证与向量(0 0 1)T 不平行的全体 3 维数组向量对于 数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间解设 V 与向量(001)T 不平行的全体三维向量设r1 (1 1 0)T r2 ( 1 0 1)T则 r1 r2V但 r1 r2 (0 0 1)TV即 V不是(b shi)线性空间.3设 U 是线性空间(kngjin) V 的一个(y )子空间试证若 U 与 V 的维数相等则 U V证明 设e1 e2 en 为 U 的一组基 它可扩充为整个空间 V 的一个基 由于 dim(U)

39、 dim(V) 从而e1 e2 en 也为 V 的一个基 则 对于 x V 可以表示为 x k1e1 k2e2 krer 显然 x U 故 V U 而由已知知 U V 有 U V4设 Vr 是 n 维线性空间 Vn 的一个子空间 a1 a2ar 是 Vr的一个基试证Vn 中存在元素 ar 1an使 a1 a2ar,ar 1an 成为 Vn 的一个基证明 设 r n, 则在 Vn 中必存在一向量 ar 1 Vr 它不能被 a1 a2 ar 线性表示 将 ar 1 添加进来 则 a1 a2 ar 1 是线性无关 的 若 r 1 n 则命题得证 否则存在 ar 2 L(a1 a2 ar 1) 则 a

40、1 a2 ar 2 线性无关 依此类推 可找到 n 个线性无关的向量 a1 a2 an 它们是 Vn 的一个基5在 R3 中求向量a (3 7 1)T 在基a1 (1 3 5)T a2 (6 3 2)Ta3 (3 1 0)T 下的坐标解设e1 e2 e3 是 R3 的自然基则(a1 a2 a3) (e1 e2 e3)A(e1 e2 e3) (a1 a2 a3)A 1其中 A1 6 33 3 1A 15 2 0263515892815因为(yn wi)a(e1, e32, e3) 71(a1, a332, a ) A 1 71(a1, a2, a3)(a1, a2, a3)26515928338

41、21543387151所以(suy)向量a在基a1 a2 a3 下的坐标(zubio)为(3382 154)T6在 R3 取两个基a1 (1 2 1)T a2 (2 3 3)T a3 (3 7 1)Tb1 (3 1 4)T b2 (5 2 1)T b3 (1 16)T试求坐标变换公式解设e1 e2 e3 是 R3 的自然基则(b1 b2 b1) (e1 e2 e3)B(e1 e2 e3) (b1 b2 b1)B 1(a1 a2 a1) (e1 e2 e3)A (b1 b2 b1)B 1A其中A1 2 12 3 71 3 13 51B1 214 161设任意向量a在基a1 a2 a3 下的坐标为

42、(x1 x2 x3)T则x1 a(a1, a2, a3) x2 x3x1 (b1, b2, b3)B A x2 x3故a在基b1 b2 b3 下的坐标为13191814x1 x122xB 1 A xx3 x3xx2291363171099x347在 R4 中取两个(lin )基e1 (1 0 0 0)T e2 (0 1 0 0)T e3 (0 0 1 0)T e4 (0 0 0 1)Ta1 (2 11 1)T a2 (0 3 1 0)T a3 (5 3 2 1)T a3 (6 6 1 3)T(1)求由前一个(y )基到后一个基的过渡矩阵解由题意(t y)知(a 1 , a2 , a3 , a 4 )(e1 , e 2, e 3, e 4 )2 0 5 613 3 61 1 2 110 1 3从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为2 0 5 6A13 3 61 1 2 11 0 1 3(2)求向量(x1 x2 x3 x4)T 在后一个基下的坐标解因为x1xxa(e1 , e 2 , e 3 , e 4 )23x 4x1