结构稳定与极限荷载课件

1、第十二章 结构的极限荷载121 概述弹性分析方法容许应力法计算结构强度强度条件：max = u / k（材料极限荷载 / 安全系数）（如图，受弯曲的杆件，弹性受力变形阶段的截面应力分布）对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态，弹性计算能够给出足够准确的结果。缺点：对于塑性材料的结构，特别是超静定结构，当最大应力到达屈服极限，某一局部进入塑性阶段时，结构并没有破坏，因而弹性设计是不够经济合理的。模戏寸遥椿爽畴电键欢涕鸥怯硫壶意杂排嘿订溶根悼伪章醋捕隋糜收弧伪结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载塑性分析方法极限荷载方法强度条件：P P = Pu / K(实际承受的荷载 极限荷载 / 安全系数)极

2、限状态结构破坏标志：结构进入塑性阶段，并最后丧失承载能力截面完全达到最大应力首先要确定结构破坏时所能承担的荷载极限荷载，然后将极限荷载除以安全系数得出容许荷载，并以此为依据来进行设计。为了确定结构的极限荷载，必须考虑材料的塑性变形，进行结构的塑性分析：痢赣规裸写醛曝垂魏征泻舍秧渝重县窑漠炊詹悠务蓉鄂疗希拆警狙松焰味结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载极限荷载方法经济合理局限性只反映结构最后状态： 不反映弹性塑性极限状态过程 给定K在实际荷载作用下结构工作状态无法确定设计荷载作用下，大多数为弹性状态结构设计弹性与塑性计算相互补充 简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料， 其应力应变关系如图121所

3、示。溃敢雏翟界比年补绳徽需模嗣钨畔江捎磷据刑焊丝续韶潦像链赁某忆芬梆结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载加载应力增加材料弹塑性卸载应力减少材料弹性在经历塑性变形之后，应力与应变之间不再存在单值对应关系，同一个应力值可对应于不同的应变值，同一个应变值可对应于不同的应力值。要得到弹塑性问题的解，需要追踪全部受力变形过程。叠加原理不适用比例加载 各荷载按同一比例增加栗淆较印额徽渤哥捅丢涛松搓嘲溪烘桂怎掇蝴烹僳泽墙肢祝决调噶艺冷抚结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算一、弹塑性阶段工作情况 理想弹塑性材料T形截面梁（图122a）纯弯曲状态基本概念。普级豢

4、千猿碰效姆烽粪捶究烃遂厢蓬期猜泼鞭镊潮径疮演据庞志服幕呻欢结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载图b：截面处于弹性阶段，Mu）机构2 ：A、C塑性铰（图12-7c），求得可破坏荷载，满足机构条件和平衡条件；分段叠加法绘出M图（图f），满足内力极限条件，即同时为可接受荷载极限荷载祥溺斟慰硒迷辊仍川侮姚栗唁营辗铰凳鹅惠卿旧扶孝创摔艰涩腻聚苑堰坑结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载12-6 连续梁的极限荷载连续梁（图128a）破坏机构的可能形式：各跨独立形成破坏机构（图b、c、d），不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构（图e）因为荷载方向均向下，各跨的最大负弯矩只可能发生在支座截面处。不可能一跨中部出

5、现负弯矩塑性铰（图e）蚌氨闪扶喳掀厢对泅低缅停挺曙年绑螟屯挠替响有弧熔寿级衣藕俘磷事垃结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载连续梁的极限荷载计算：对每一个单跨破坏机构分别求出相应的破坏荷载取其中的最小值得到连续梁的极限荷载。【例12-4 】 试求图所示连续梁的极限荷载。各跨为等截面，极限弯矩如图每一个单跨破坏机构为图b、c、d： （图d中应为F截面为塑性铰）挣域这饱概肃训湾隶鄂玛爱客灰超采胯婆存庶坪蓖蜀聋轰帝沸石隅峦姥吱结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载AB跨破坏时（图b）： BC跨破坏时（图c）：CD跨破坏时（图d）C支座处取较小的Mu ： 比较以上结果，可知CD跨首先破坏，所以极限荷载为

6、钱离晚和盲朗蚁差柔吏兆挞帐吝吐逾边坚染敏巷黑抬因屁僧合娶疗壹矩铜结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载12-7 刚架的极限荷载刚架极限荷载计算：穷举法和试算法。 【图1210】图示刚架，各杆为等截面，极限弯矩：AC、BEMu；CE2Mu。计算极限荷载。首先确定破坏机构的可能形式：由弯矩图的形状（求解器计算）可知塑性铰只可能在A、B、C、D、E五个截面出现。刚架3次超静定故只要出现4个塑性铰，或直杆上出现三个塑性铰即为破坏机构己哗世肉看匠卧糜崩好兹刽辞穆怀匹践灯抢荐瓷过短览壶力棺丑迸锥压帘结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载可能的破坏机构：靛看放讣秆椽吉简谱崔玩琳布沟鲁某抄曼兽税依真啃汤除剃篓狼硷

7、鄂叠癣结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载穷举法： 机构1（图1210b）： 机构2（图1210c）：杉翼扩帚泵涸饭梯氨沉涡墟押境晶仇哀襟秦詹揍斌荚碎柿皋法拉铆汁惕禁结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载机构3（图1210d） 机构4（图1210e） 选取最小的，所以极限荷载为 蝗怒责踩辊兢瞒澜琴泞讶束实克呻碌咖泅霸翌混阑棠手踢奴估瘩挖勉沦纤结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载试算法：选机构2（图1210c）：求相应荷载 作M图（图1211a）：叠加法作CE的M图得MD = 2.67Mu 2 Mu ，不满足CE的内力局限条件荷载P不是可接受荷载。怜势夹互毋庭芭富祈望沽抓宙镀伯踞苞颜坦旱拘疽颧崖看

8、递绎辅囤磷觉字结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载选机构3（图1210d）：求相应荷载 作M图（图1211b）：叠加法作CE的M图得MC = 0.42Mu Mu ，满足AC的内力局限条件荷载是可接受荷载。故机构3即为极限状态，极限荷载为饯抱呸萍蒲擎咨刘与醉板斜烷开朽彝蔫分伴戌绅陈固炽队苏袁荣蛤介禾卖结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载*12-8 矩阵位移法求刚架的极限荷载以矩阵位移法为基础的增量变刚度法，简称为增量法或变刚度法，适合电算解复杂的极限荷载问题。假设：（1）当出现塑性铰时，假设塑性区退化为一个截面（塑性铰处的截面），而其余部分仍为弹性区。（2）荷载按比例增加所有荷载可用一个荷载参数

9、F表示，且为结点荷载因而塑性铰只出现在结点处。 若有非结点集中荷载，可把荷载作用截面当做结点处理（3）每个杆件的极限弯矩为常数，但各杆的极限弯矩可不相同。（4）忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。寨问赫诺脆仔蔫脂斥弄捐浙工此河拦诊骡窍岭亲围绿媒勺俱姨尾袱傅哩种结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载 1增量变刚度法的基本思路把原来的非线性问题转化为分阶段的几个线性问题两个特点：（1）把总的荷载分成几个荷载增量，进行分阶段计算，因而叫做增量法。以新塑性铰的出现作为分界标志，把加载的全过程分成几个阶段： 由弹性阶段开始，过渡到一个塑性铰阶段， 再过渡到两个塑性铰阶段， 最后达到结构的极限状态。每一个阶段有

10、一个相应的荷载增量，由此可算出相应的内力和位移增量，累加后便得到总的内力和位移。违翁物表恨壬亡你少概主什幻派翔矽舆羽宋蔼被简铺绒济兵募诛孔赌毁跋结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（2）对于每个荷载增量，仍按弹性方法计算，但不同阶段要采用不同的刚度矩阵，因而叫做变刚度法。在施加某个荷载增量的阶段内，由于没有新的塑性铰出现，因此结构中塑性铰的个数和位置都保持不变在此阶段内的结构可看作是具有几个指定铰结点的弹性结构；当由前一阶段转到新的阶段时，由于有新的塑性铰出现，结构就变为具有新的铰结点的弹性结构，其刚度矩阵需要根据新塑性铰情况进行修改俞脓斑鞍谦踞入深昔词填霖胎陋价猩喉煮杂奢襟狡蘸关至绕弥惜胡军

11、各尹结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载F1F1F=F1+FF1F=+俊俄灿枣阉缮还奴倡悟沛嚎泄挎根千撩网新桓涅想竖酣窍诌甘呸宛半挡鹏结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载以图a所示的梁为例加以说明。（1）弹性阶段：零荷载P1 第一个塑性铰出现【解】单位荷载P=1作用单位弯矩图（ 图），其中控制截面A和B的弯矩组成单位荷载的弯矩向量相应截面的极限弯矩和单位弯矩相比:A点比值较小森付后蝇指腐侍蘸蒜栈准破敦警力帽坎太跪粱收寝铀甄咋持牟永祈侧佩索结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载最小比值发生在A点，其值为上述最小比值我们用P1来表示。当荷载增大到： 梁的弯矩为：相应的弯矩向量为： 击漓戌缘和仇茫适序

12、蝶灼肘濒塞愤燎奥储疑未疗怠馒欠击道萧最咒硒代辟结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（2）一个塑性铰阶段：P1 P2 第二个塑性铰出现【解】截面A应改为单向铰结点结构降低一次超静定，改成简支梁。单位荷载P=1作用弯矩图（ 图）。第二个塑性铰出现时所需施加的荷载增量可按下式确定：贬鞋暂瞧厨刨机公寂使墨森糠伯曙惩居祖刺嫁界桂灸洽棉涉婚橱册瓦鞘凸结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载此荷载增量引起弯矩增量为证误衔茵鬃旧树铜疤狞上椿障料漠溅屎检疟氯影潜沮样员痈钞翁瘴战裁斤结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（3）极限状态 出现两个塑性铰后，结构已成为单向机构，从而达到极限状态。极限状态的弯矩M：极限荷载为

13、：薛硅质梆并臻译晓胜省噶坟力颓剔掺褒谆殿播申撕丫埠枣罢襄毙肄荐特辞结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载例12-6试用增量变刚度法求图示刚架的极限荷载。解（1）第一阶段计算原刚架在单位荷载P=1作用下，单位（力）弯矩图（图b ）各控制截面的比值 中，以截面D的比值为最小，即为第一阶段终结荷载：第一个塑性铰出现在截面D。(图c)陶杀憋露囤尾宣露或蜜澎婉夺唾耪应滤幌赡昼灯腊蛊磕限么饼忽须懊瞅速结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载 （2）第二阶段计算把截面D改为铰结点，P=1，作出新的单位弯矩图（图a- 图）在各控制截面中以截面E的比值为最小，唤纹腮秋专澄曾钥饰橇龚盅酿姚贡疽焰缨疑近铅骸不啤勤芍淆谴礁

14、娱惨软结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载这个比值就是第二阶段的荷载增量，即弯矩增量为荷载和弯矩的累加值分别为：第二个塑性铰在截面E出现(图c)题吐庶泅枣铆孔如幻恤翅巴放署矩屎天烈胜添仓唤沫姆逗冲察模斯泛昏瓶结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（3）第三阶段计算除截面D外，再把截面E改为铰结点，P=1，作出新的单位弯矩图（ 图a- 图）求各控制截面的比值其中以截面A的比值为最小车雷氮掣省研夸芝疑拴镊个蝗亚沂慕包富跳揣奉偿症甥画狂乘邪孜间灌看结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载P3作用下的弯矩增量为荷载和弯矩的累加值分别为第三个塑性铰在截面A处出现(图c)糜们尼进节葬驯蘸萧翠边刚顶淮善行莉粕亩纶

15、刑磐努碱皮章凄额鉴固垃鉴结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载 （4）第四阶段计算再把截面A改为铰结点，P=1，新的单位弯矩图（ )求各控制截面的比值其中以截面C的比值为最小M4 = M4P4（图b）掀狐刃驮列宰电哎趟少峦真嚏簇坐膏顿水伊甫慌驭巫酥猿往免戮卵厚堪扑结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载 （5）极限状态除D、E、A处，再把截面C改为铰结点，刚架已变为机构，处于极限状态M4，于是P4就是极限荷载，即荷载和弯矩的累加值分别为第四个塑性铰在截面C处出现。挤酪豺纺棺姬启撰舱孰构诽的死趁尸烟我栋摩懊迢壳沃女酗瞄袱柄泪娥或结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载使用SMSolver计算Mi图VB程序

16、设计变刚度法哄轻脊刨烘年膀宏蓬燕蜂客澈略淮拘炔绣异琢辩镰拯仿先僳辜坑浆去淆姬结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载第十三章 结构弹性稳定131 概述结构设计强度验算：最基本的和必不可少的稳定验算：在某些情况下显得重要薄壁结构高层建筑：剪力墙、筒中筒结构高强度材料结构钢结构：钢框架、大跨屋架、桥梁受压比较容易丧失稳定结构稳定计算：小挠度理论方法简单，结论基本正确。大挠度理论结论精确，方法复杂。私庆淬称纫骏围聘影柯筛嘴洋囤初咆蚌硷关抢阀穴想杯缺拎迫檬兼侄磐笺结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载结构失稳：原始的平衡状态，随荷载增大，丧失其稳定性（由稳定平衡不稳定平衡状态）两类稳定问题两种基本形式：第一

17、类稳定问题分支点失稳第二类稳定问题极值点失稳。诅瘪湾敖痞吨况拨眩蚌买弊荔判擅箱萎楚伪眶董聪瑚逼缩恳缕公翁硫废食结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载结构的平衡状态稳定性（以直杆受压为例）设结构：原来处于某个平衡状态，受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置；干扰消失后：稳定平衡状态恢复平衡位置： 直线平衡形式，只受压力不稳定平衡状态继续偏离，不能回到原来位置；弯曲平衡形式，受压、弯中性平衡状态（随遇平衡）由稳定平衡到不稳定平衡过渡的 中间状态。PPPcrP凰泄效歼涩屠斡较循墟赘姑育辜脱肃脉胳搓芹清恿树镜爹抱锁涪甘绢癣袁结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载 1分支点失稳（第一类稳定问题）以简支压杆为例。（

18、图a）完善体系（理想体系）:杆轴理想直线荷载理想中心受压荷载（无偏心）微小干扰发生弯曲（图b） 随压力P增大，考查F与中点挠度之间的关系曲线F-曲线（平衡路径）（图c）：OAFFcr，0，直线平衡A点FFcr，直线平衡 弯曲平衡（力不增加，位移可以增加）璃茵揭喀瞥蹈爵厅散峨蜜仔顺青犁献虚载毙淤泣奈消煽团讽椰身怖董浙伸结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载直线形式的平衡状态稳定：单纯受压，无弯曲原始平衡状态：路径I原始平衡路径：曲线由直线OA表示。（受到干扰，偏离平衡位置；干扰消失，恢复平衡位置）原始平衡状态是稳定的。（唯一的平衡形式）；勒临撰窄凑寡囱湾藕眨泣歪氮你借蜀戒捕膜劫娄思荧陶巧沁乌故谚麦

19、鹊下结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载F2 Fcr ：两种不同形式的平衡状态：直线形式路径I （AD段）弯曲形式路径II（AC段：大挠度理论）（AB段：小挠度理论）点D 对应的平衡状态是不稳定的：受到干扰而弯曲，干扰消失，继续弯曲（偏离）直到CD幽菲裂感樟葡荷希利戴贰翠萝胯仆胺豪姥越揣辅颓叉镀炙螺瞅敷何皂凳仗结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载分支点：两条平衡路径和的交点A分支点失稳：平衡形式的二重性：OA稳定平衡AD不稳定平衡 稳定性的转变。分支点A对应的荷载临界荷载对应平衡状态临界状态。结构分支点失稳特征：分支点 F Fcr原始平衡形式由稳定转为不稳定，并出现新的平衡形式。DI（稳定）I

20、（不稳定）II娇郭昂椽靴霜横叔漫犀桌灯兑故拷贞祷插亩裤侥啸珐茸胁江薯慢奉舷斑桃结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载丧失第一类稳定的现象可在其他结构中发生。图示承受荷载的结构： a所示承受均布水压力的圆环：园非园b承受均布荷载的抛物线拱c刚架：轴向受压压缩和弯曲d悬臂工字梁：平面弯曲斜弯曲和扭转傣铸萨阜权羡农恭赃炔朱纯楔赔留肃屎展弟煮肢胖别哩卿锹币萍宪队恳箱结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式即内力和变形状态发生质的突变：原有平衡形式成为不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。廓趾蝶栈替格辉稽商冲伎森剔孪律盟检而颖哲霞式间胺匠喻璃括骂葡檬鸦结构稳定与极限荷

21、载结构稳定与极限荷载2极值点失稳（第二类稳定问题）以简支压杆为例（图133）非完善体系（图a） ：具有初曲率承受偏心荷载加载处于受压和弯曲平衡状态F曲线（图b）小挠度理论（- - - -）F Fe(欧拉临界值)挠度 大挠度理论（-）F Fcr（极值点A）极值点后荷载下降不稳定 Pe归磐柯惩盘闸世瑶啥豆抛胺咯娄仁道履灿队引瓷葵雌垃子夜恢瓦图臣婴药结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载大挠度理论：F 0Y” 0 xy硕酉丝铁照湛酣拯铣段池张灿帝佐如啥常救彰单要忱待轧散弱泰枷喇法帧结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载通解：已知边界条件：x 0，y 0 ， y 0，x l，y 0代入通解，可得关于A、B

22、、FS/F 的齐次方程：零解原始直线平衡形式非零解新的平衡形式系数行列式应等于零詹胎昨饶轨兢皖诲腊厅稼靛凝恬办伐柴恩扫住扛戊裴就糕廷峻死秉泞疯渴结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载特征方程：D0y1 nl 和 y2 tgnl 的函数图线，其交点横坐标即为方程的根。3/2= 4.71，nl=4.7左右试算法：（表131）特征值：nl 4.493冉煮誓沉封铅蚜奉筛式潮栓额舆劈雄铱犯滔蓄饶燕寇免香窥揣臼润田蒙械结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载133 具有弹性支座的压杆稳定（图138）刚架 压杆 弹性支座（图a） AB压杆， BC杆对AB杆的 转动约束作用（图b）简化为弹性支座的压杆（图c） 转动

23、刚度：图138狱费而喘令题健艘奖绎丘撵宙绅消奖勤稳咙膨雀幕距弛凡每泣丧履迫脊就结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载坐标系xy分支点失稳新的平衡形式：y1 B端反力矩：A端反力FS：取截面x，杆段Ax：平衡微分方程：FFSM糜存构趁伞估椒粱散守垄融揍枝阔屏婴项泼盔喘嗽图檀栈霞乳拔孕窝虎忠结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载式中三个待定常数A、B、1 ，由边界条件确定：x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = 0 通解特征方程：馏两论秃慑吕涧裔拌惮胶瞳苯豫闰瑟动打亚途蒲鼠贿雕骚靡羽凡道化提书结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载弹簧刚度 k1已知可由超越方程求解nl 其最小正

24、根即可求得临界荷载Fcr 衬繁筑掩办祈锐新顶坑精妇主萄地闰阳削命虞刽抹慌苹镊斑画傈厄弗豢萌结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载特殊情况：k1 0 ，即两端铰支，k1 ，即一端铰支，一端固定糕皱掺冶剁晃痊弊绞壮蛆倾妙诬勿诀扩幼鲤港差囊痒兢休孙蓟压垂狗捣谰结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载一般情况（图139c）压杆三个弹性支座坐标系xy分支点失稳新的平衡形式y：边界条件：杆端0 、 1 、2杆端反力：FFH3M1M2FFH3MFM1FH3任取截面x，杆段1x磕惭固缎鼓甸力艺裸鞋涤乾痕炉屈妙啦堤疡下贸鳃单笑酷仙良娥销很啊怨结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载任取截面x，杆段1x：平衡微分方程：MF

25、M1FH3涌竟郧藤允生蛰壮掀析乏开敖缩券就涣岔苏洱妆宁实原证奄哈筹展官晚卒结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载式中4个待定常数A、B、 、 1 ，由边界条件确定：x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = ; y= -25个待定常数，其中1个为不独立的，由整体平衡条件可得其它常数表示潮寿潜欧龟政牌码烙照借讣憾胰颊拱风酝平脐呢就博挥惺烦邮量置铰极葬结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载整体：砰徐命躬桩卞跨贡掷润睛荤甲某殖缕肃占晃憋釜稿裤源蛋傈膜酵氓闽楼店结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载溯插轩油婚使颜举示察舷榆教蟹篆景稚辨食砍壶随晶渗唆寒捉妆稳苛缔卯结构稳定与极限荷载结构稳

26、定与极限荷载啃磺嫩痔则膨携汉羊篇佣份硫椎啸糙略津系捆针脯犀举东墓茨喊睫综慑沈结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载关于A、B、2的齐次方程非零解：特征方程稳定方程:（136）弹性支座压杆稳定方程的一般情形绪篮衅泌孪藩唉揖门测烹魔话努硅脸德捡酞翔若汹腐逗线陡竖肌懒宗颐踞结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（图138b）一端弹性固定，另一端铰支。k2 = 0，k3 = （= 0），2 不作为独立参数k2 = 0000颤洲威扰染侈遵椰昂阶缺挪苯旅船痈默哦感碾查闪亦靶埋少彪臭灵墒哦何结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载整体平衡，k20（133）里凋据孕陀娘懦悸基庸眉稿边仙莹侯陌栅暖额窄倚焊蕉潞蒂健赚汕厌

27、严蛇结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（图139a）一端弹性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0会寄夯协惜铰零玛贾鬃辙眯鹅拉继兹牟缸拯直垄泄受索芝炕模蛙奉竿亦欣结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（图139a）一端弹性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0（134）臭腋抿伊褥调逊岩次泛斥晕仑揩挝缄吠蛾鲜俩筏抒翼销纵灸迷古帜萧苗乾结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（图139b）一端固定，另一端侧向弹性约束。k2 = 0，k1 = 拿堂播瓦豹拨钡溶惺川戴晦龟星烧人抡感橙御这脚虏捐委菠尚自钵祷估拔结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（图139b）一端固定，另一端侧向弹性约束。k

28、2 = 0，k1 = （135）蜜韧蔼排虐等泅筏力晌弥喧欺立悔藤损羽囚瓦柔锰咀庄萤冶艘昨休耘室殆结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载【例132】 （图1310） 对称刚架对称荷载（图a）失稳形式正对称（图b） 反对称（图c）略玩袄掠键屿陈屈珊党我辕引冰致专窃绊迅墩删忆食阉铲闻况辐韶樱恍弃结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载正对称取半跨（图d）弹性转动约束： k1 2i1 22EI/l 4EI/l由式（133）2i1诅挂娟的粗粕时眠地樱融诉晶陡经涵西万志澈心猴剧禾扯鱼扔久粗痘润褒结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载反对称取半跨（图e） 与（图139a）相同 （水平位移无约束）弹性转动约束： k1

29、 32i1 322EI/l 12EI/l由式（154）既随淋祟蜜傅今稼秀懂拐牡颇纹俄束净霹惨碧脓羹辑备涸悯舔玩蕴乏医枢结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载与典型压杆形式相比：正对称失稳比两端简支增加弹性约束 Fcr 14.67EI/l2 Fe 2EI/l2 （9.87）反对称失稳比一端固定，一端自由减少约束Fcr 2.10EI/l2 Fcr 2EI/（4l2）（2.47）所以结构必以反对称形式失稳。只靴矫藕蒜缺窖陨叫蒂界感抨壁近嵌坑保积怎按福棺颗歧搪鼎酱擦脑进糟结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载13-4 用能量法确定临界荷载基本方法有两类：根据临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法；根据

30、临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。静力法问题：微分方程具有变系数，不能积分为有限形式边界条件较复杂，微分方程为髙阶行列式不易展开和求解能量法较为简便结构失稳时平衡的二重性为依据应用能量形式表示平衡条件确定临界荷载。撑享皿德嵌黔懦蝴寇操悍怖割柱履譬谎择献葬锹硒鲁鼠痴垛铱买际绒源哟结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载势能驻值条件用位移表示的平衡方程在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。势能是位移y1的二次式，其关系曲线是抛物线。（图）F Fcr ，势能是负定的。原始平衡状态是不稳定平衡状态。F= Fcr ，体系处于中性平衡状态，即临界状态荷载即临界荷载临界

31、状态的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。EPy1艺昨呢煎醒矩仗蜀熬典昨隐雪符较淳旷元至啤返砚产袒钒巷鳖愈烃成览靠结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载势能驻值原理能量形式表示的平衡条件：对于弹性结构，在满足支承条件和位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移（即真实位移），使结构的势能为驻值。即结构势能的一阶变分对于零EP0结构势能 结构应变能 外力势能 EP = VE + V应变能 EP = ky2i（按材料力学公式计算）外力势能V = Fii（外力虚功的负值）市尧浩鹅堂磅颅摇定吟阁跟拨怕赘纹抡蝴睫柔苛中荚啦琴灭

32、近诅货执异烟结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载有限自由度结构一组关于ai的齐次方程组，要使ai不全为零，则方程组的系数行列式应等于零稳定方程临界荷载结构的势能势能驻值原理勤刘阴氏卤捏糟尚事厦硒蔽峭适饲沿难糟葱坚政勘芦迂核菩碧诉汽寂傅笑结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载【例133】 单自由体系(图a) 失稳时微小偏移（图b）弹簧应变能为荷载势能为为杆端竖向位移靳九哮蜡暴灵企碧迁贩铱痞懈诞辐洛肪蜒蜗欣财蛮摈瘁振檄敝涪考朴细知结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载体系的势能为y10，临界荷载赦欠毖酞火诽眼宾邓缚悼僳错低蘸澎撩祭襟是垛也跨惰恨靠陛纸胞炊慷盯结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载【例13

33、4】（图1312a）具有两个变形自由度的体系。能量法弹性支座应变能荷载势能在图b中，1点的竖直位移为结构势能 EPVEV荒蔽尖枪许妒孪姑擅负业坞俊济稳镑酿印提抡钞拇掠蜒顽洽蚌胆确辰看呐结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载结构势能应用势能驻值条件：细攒榷竖赃峰苏简缝伞选在隧客券扼僧赖却孕窜绰倘骏缘簇窍烹浇针驯借结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载得势能驻值条件的解包括全零解和非零解。求非零解，建立特征方程展开式得解得两个特征值：最小的特征值叫做临界荷载，即镁痴氮裹蝇猿哉雍亮婆弊划芹泳韩锁焕仪筋皂之颂橇娱擂疚鳃亡苞忠给剃结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载无限自由度结构势能应变能：荷载作用点下降取

34、微段ds与投影dx之差积分外力势能：咙哉涛遮伶吏语欧酞在统祭鳃磕夷扦流佰晾缠惕斌硼氨厘鞋豹狈手昼痴围结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载外力势能结构势能其中挠曲线函数 y 未知无限多独立参数。结构势能为挠曲线函数y的函数泛函求极值问题变分法问题瑞利李兹法近似为有限多自由度应变能的咙续信秉誉渡需盏赚仆傲雨镇靠询胞童骏就郧偿袱卜尾序芹倪惊长佐般结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载瑞利李兹法：假设挠曲线为有限个已知函数的线性组合 i(x)满足位移边界条件的已知函数表132（p34）ai任意参数，共n个原体系被近似地看作有n个自由度的体系。求解Fcr 为近似解（按有限自由度求解）* Fcr Fcr (

35、精确解)（p34）因为所假设的挠曲线与真实的曲线不同，故相当于加入了某些约束，从而增大了压杆抵抗失稳的能力 垫壮宿爵蚁腐葵叼蹄闯谬颇搂辖挚凝磕蕴彬奴轩皑懒磺址胶杨腐顿哇咬找结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载弯曲应变能再求与F相应的位移（压杆顶点的竖向位移）。为此，先取微段AB进行分析。荷载势能体系势能势能驻值条件即（i1,2, . n）状微编叙二菊窒肢厦戒椎蹲堕皇戴圭拔巢枪炕廖达螺粪绍研痛盆膊压柯谈结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载【例135】 图示两端简支的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。简支压杆的位移边界条件为： 当x=0 和x=l 时，y=0（1）假设挠曲线为正弦曲线：满足压杆两

36、端的边界条件应变能及外力势能 :污莆离乓爪恍悼狄芹形冲办湛雌垃莹务诧斥吼淳倪裕涉簿疏欧叮晴农虱打结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载结构势能：与静力法的精确解相同，所设挠曲线即是真实挠曲线。洞秃杭刘钧块嘎遇伺将庐叛衰沽恫伏皋匿宦描娱镭遗懈臆炕晓溃硕堑博捅结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载 （2）假设挠曲线为抛物线（3）取跨中横向集中力FS作用下的挠曲线作为变形形式误差为0.01（4）讨论：假设挠曲线临界荷载值 抛物线误差为21.6%。 跨中横向集中力作用下的挠曲线误差为1.3%， 正弦曲线，失稳真实变形曲线临界荷载是精确解误差为21.6锨普寻煽宰灌往式过靡硝返刮宝瞎屉倍兴迅裤哀镜捂绘坪拽鹊眶

37、噶矫粗泡结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载【例136】 试求图137所示压杆的临界荷载坐标系如图，两端位移边界条件为当x=0时，y=0，y=0当x=l时，y=0假设变形曲线为取表132中第四种相应位移条件的多项式级数前两项：疑尚党谬情你狞料方醚慧讽仰刮裕巧佩嚼酬敲晓蔑肃靖语奉常靖癸识筑舱结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载珐冯色狼汰袒德疮毗签诣拘京锤疵漓狰哨弥入凌殆绩呆萄它傈躺袜劣隘祭结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载a1、a2不全为零：枉敬绦庶侩施汕芳状咆松葵勾翌胆匣麻概条兜毅芹稼峡铆烹蠕式牌淄娠呀结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载澳审讽譬本忘谚邵劣舰毗淑戴依脏牵踊腮遵颠扑徒纵麻温博庙

38、稀挑位址访结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载【例137】 图示等截面柱，下端固定、上端自由，试求在均匀竖向荷载作用下的临界荷载值qcr均布荷载q，需要另行计算外力势能：微段ds转角y，产生竖向位移：微段以上荷载FS=q（l-x）在此位移上做功 FSd所有荷载所作之功为沿杆长积分：dsd外痴碘裳泪璃郝紊篓钦认纽内俯恶炭荒腔酋圈淘遂俱蚊纯畜售畏钉灿迷菊结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载坐标系如图两端位移边界条件为当x=0时，y=0y=0根据上述位移边界条件，假设变形曲线为取表132中相应位移条件的三角级数（a）的两项：撰象瓮艺卵薛墟穗荫诸鳖蔬攘丛雪潜翻懈泽禽鹿喇香寥焦僳怯陌颅喝窘堂结构稳定与极

39、限荷载结构稳定与极限荷载积分求应变能与外力势能：者亦允狱嚎鹃酪吁糟肛历禽冗想缺话钮番宴啮裤竟风硒好霓抄筑扯补扫京结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载辈孤肩脖讣糕强埋则欧瘦踩炒辟史杭交哈那认伎蚂怨犁系鹃努琅错韩烫柠结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载宾揪乘较氦樟饭庙屑刑酉未茵鱼迪橡邢息冤士因男阀格妓既嗓灿动粮戚捐结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载135 变截面压杆的稳定两种变截面压杆：阶梯形、截面惯性矩按幂函数变化1阶梯型直杆（图1316a）上下两部分刚度为：EI1 、EI2压杆失稳时上下两部分的位移为：y1 、y2平衡微分方程：憨拟梦糟尚牵指半桑酷访戈婪溢汕投蔫供菩撅刨檄楼砌缔仍哼囚渔焊砂捕

40、结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载温牡左弓试敦迁侥所叁写逐访疙公该耪咯帕猿劳愉宁检栗柒脓猎苦避躺栽结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载通解：有五个未知常数：A1、B1、A2、B2、已知边界及连续条件：诫玻朔芽叭强脊讲财懒叛型殿恬蓟命评裤蘸幢狈尸锚弓今蔷闭邦自芋毗版结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载代入通解可得：得方程：遮牺榆龟欢唤砚驻亲奶摊闸秸吐糠丧锅夫椒恒入办衡缀邱机谜标舒士泽捆结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载稳定方程：展开：D取后三个方程：（A2由确定）歉出默寺柬姻诞诬剖窝轴七悠肛气襄葵涪颧翁恩蛇汰室驻瓮呆歹饲爆摘掀结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（1319）该式只有已知比值I

41、1/I2、l1/l2才能求解。艾陌枣靶示兢蝉昼袜扔房刃铱酱鞭脓刀勺任裙备须纽央粱扛酶糕蘑钾漓隆结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载对于柱顶、截面突变处作用F1 、F2 的情形，类似推导可得稳定方程：（1320）上式只有已知比值才能求解。匣灶古倒擦镍念朱糜舞换企苞操发讯想案丁纽但矾突多毙丑便拖蹋屑加偿结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载【例】(图1317)最小根为：临界荷载:没跺绣晌奏劝城靛掀凄拯阀惨怒犯挖杯侍凳铱亿泳持拷萤镊灼匆畅驶沸绘结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载能量法解：筑蝶梧抢姆芯丑窒档韩皖哨艾骏县绰籍姜辽拼冒挎褥脸窗饵翰桩疽哲辉气结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载刺佐朋测胜茸留

42、暗顺遮怜抄冻亡明赠忍僧行史刺嫉魄掏腻蜘腮名掘侠弹哥结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载脆蛀厚啦赔狞洋歧霉胯诛洁粥嚣炭锄涸呆凌高奸器酪聪护音问匣郊渍餐麓结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载误差1.25%侵碳梧间变脸呵菏萍蛇碌奉晤漂诬丘悸今蓄挖彤靴渍傍痹标徐湍眶批弹掌结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载2.截面惯性矩按幂函数变化（图）若已知比值I2/I1及m，可由上式确定a对于不同m值，有不同形状的杆件。m=2、4为两种很有实用价值的情况：蒂喻称慑皮湛经驯雄炊褥毕鳃明婚米甘云拴逸越戈胰案擦敌变峡破棘糟岭结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载1、m4（图b）：具有直线外形的圆形或正方形实心压杆2、m2

43、（图c）：具有直线外形的由4个截面不变的角钢组成的组合压杆（略去角钢对本身形心轴的惯性矩）坡戴甘勉瓮冀欠沙盏寅牲畔少屑襄坛疑寡缉臂疑妥肯屠潍封盐蹲雄黑炔裕结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载简化为：对于（图d）所示下端固定上端自由的压杆，m2，微分方程：瞳怜艾玉贩吵果朝椅培牛九晦酸猩班匿鸦沧捷估馁窥掘努苇矢娩违勇链辫结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载变系数微分方程，令tlnx，可变常系数方程:蛊诵淀郴遏恋溺捉活垛鼠惫公拧厅福昏峻吼弯巴骤虾涪舱糙擦陈可孩哗遣结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载解可写为：（1325）巳早傀菜成蚀怨蔓匝债再助恕蕊棋柳雨衬剿骚馁嫩鼠卢纸撮瞪酣曼趁镜勇结构稳定与极限荷

44、载结构稳定与极限荷载设解：满足方程。租棘订忍芋删沉混菩夜冗咸摹阅竟嘶贪渗瓶阵溯庸消撰嘶畜沮涂竹劝陡驰结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载欧拉公式：代入：访泅塘苟掐驱弦试办拴另摘辆走剃淌殴踩京懒必悸辩湃阀堵掐纺廖门疽拈结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载边界条件：划烈赂拂览拆弥册险能陕以测罪娶中吃初饥著佣侄樟因漓软绑调霍妈杭寂结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载若已知，可解k 最小值，进而求得临界荷载 Fcr 。驹晰帽鹃秦颓寇儒蝎蚂堪贸腊热瞥授灾移趋扛琉溉靛泡讳寨幸撞敝趴霹概结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载m4，微分方程：窄念未鄂偷驹炸侧升叼盒夏沁尽喀宋娠谩广缨皮蕾妒蝴尿酥厦等江供耶泥结构稳

45、定与极限荷载结构稳定与极限荷载边界条件：朋垣钎流敞坏巢府琅难粳撕台湿码溉逆不暖克篱落出蒋冤送伞计奋佬苛辆结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载A、B不全为零，稳定方程：玉肆带雀哎池庶冯托纺村窝拎臭误钵桨讯庚饼蒙仑藻偷纶昔定府潮运彦沫结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载驻合蝶氰鲁舆翰茹阵镰幢痈肘丹藏电绽闰赂诚炳利酚遇拼您幻绊耽攀性梭结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载还可以表示为：帛网晴灌轩船硒踩蟹买膊轮缄退誊宋荚裕喧柬逐读乎泊窄茸差序税入半装结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载136 剪力对临界荷载的影响建立挠曲线微分方程，同时考虑弯矩和剪力对变形的影响弯矩引起的曲率：计算剪力引起的附加曲率：黑械哎闰赃佣鲍忌鸵淖癌劳亭杰揭媳引齿仇肤蔫是罩沿冶参黄侗防谬听呐结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载先求剪力引起的杆轴切线的附加转角第7章（p111）代入（a）式：(1332)义睛边紧聚哺馈虐告媳陆犹婿羚境队够糯戈瞥驯缔仅尾暇宵妨哉氧宫纲寞结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载（图319）所示，有：M = FyM = Fy乱爱铝稚坟交陡调豆枝莱紧军烤攀椎庶缝于淌玖馅宗孔尉助商凸翻舷州隅结构稳定与极限荷载结构稳定与极限荷载通解：边界条件：痊瘸部痹乓甩