弹性力学及有限元4

1、第四章 能量(nngling)原理及其变分法 变分法是研究泛函求极值的方法(fngf)。弹性力学问题的变分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能密切相关的，是有限元法的基础。 单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。 弹性体在单向应力状态下，单位体积的应变能为 ，其中是受力方向的正应力，是该方向的线应变。 对于平面应力状态下单位体积的应变能，根据能量守恒定律，应变能的大小与加力次序无关，只取决于应力和应变的最终值，所以 4-1 应变能的概念及其表达式共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法对于空间(kngjin)应力状态的单位体积的应变能可写成将广义虎克定律代入上式，

2、得展开为其中如果用应力表示应变的广义虎克定律，则应变能可写成共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法 一般(ybn)情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和应变分量一般(ybn)都是位置坐标的函数，因而应变能一般(ybn)也是位置坐标的函数。为了得出整个弹性体的应变能U，必须把比能U0在整个弹性体内进行积分，即共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法 4-2 虚功原理 虚位移是结构所允许的任意(rny)的微小的假想位移，在发生虚位移过程中真实力所作的功，称为虚功。 “如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力所作的总虚功必等于变形体所接受的总虚变形功 变形体的

3、虚功原理 为了简化变形体虚功原理的证明，以平面应力问题为例来说明。假设单位厚度的变形体在给定的外力（体积力X、Y和表面力 ）和给定的约束条件下处于平衡状态，用x、y和xy表示应力分量。这些应力分量满足下列平衡条件：共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法在整个变形体内(t ni)，各微元体满足在变形体边界处，各微元体满足其中，l、m表示边界处的外法线的方向余弦。给变形体以微小虚位移u、v，各微元体将有虚应变共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法首先，分析变形体内部(nib)的微元体由正应力x所作的虚功。其中为微元体的体积。同样，xy所作的虚功为体积力所作的虚功为 同样

4、地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体内微元体上所有力所作的虚功之和为共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法 其次，分析边界(binji)处的微元体，以ds表示斜边的长度，则直角边的面积分别为微元体的体积为 设斜边中点处的虚位移为u、v，应力分量为x、y和xy，直角边dy上正应力x所作的虚功为直角边dx上剪应力xy所作的虚功为斜边上表面力所作的虚功为共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法体积(tj)力所作的虚功为 同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体边界处微元体上所有力所作的虚功之和为变形体的总虚功为 W总共十三页第四章 能量(nngling)原理及其

5、变分法由于已经假设变形体在外力与约束条件下处于(chy)平衡状态，所以总虚功所有微元体上的力所作的总虚功，可以写成其中总虚功表达式写成最后，得出W总W总=W外 +W面W外W面0W总W外共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法 变形(bin xng)体在给定外力作用下，给以虚位移，如果外力所作的总虚功等于变形(bin xng)体所“接受”的总虚变形(bin xng)功，则变形(bin xng)体各处都处于平衡状态。与是恒等的。前提条件是W总W总W面共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法所以(suy)因为虚位移u、v是任意的，所以上式为零的条件必是使上式中成立，同时成立。

6、共十三页第四章 能量(nngling)原理及其变分法 虚功原理（实际是虚位移原理）与平衡条件和力的边界条件是等价(dngji)的，是以功的形式表达变形体的平衡条件。 对于空间应力状态，可以进行同样的推导，得到变形体在空间应力状态下的虚功方程式共十三页内容摘要第四章 能量原理及其变分法。第四章 能量原理及其变分法。对于空间应力(yngl)状态的单位体积的应变能可写成。如果用应力(yngl)表示应变的广义虎克定律，则应变能可写成。为了得出整个弹性体的应变能U，必须把比能U0在整个弹性体内进行积分，即。“如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力所作的总虚功必等于变形体所接受的总虚变形功。其中，l、m表示边界处的外法线的方向余弦。给变形体以微小虚位移u、v，各微元体将有虚应变。首先，分