弹簧谐振讨论(共6页)

1、 从一道(ydo)习题看课堂(ktng)讨论的必要性摘要(zhiyo)：从有质量弹簧的振动周期的课堂讨论，分析现在学生的能力分化以及所遇到的问题，指出课堂讨论在大学物理教学中的必要性。王庆武 ：现在大学生来自各地，由于各中学教育水平以及要求不一样，虽然都通过全国统一的考试并取得不错的成绩并进入重点高校，但学生的知识水平及认知能力却并不相同，甚至有较大差异。在教学中发现，这中差异是非常普遍的。比如对于三角函数的运算，有的同学明显经过严格的训练，有的同学告诉老师他们没作要求。再比如，通过大一对微积分的学习，有的同学能进行二维积分，而有的同学却对一维积分都认识不太清楚。因此，在对变速度求路程，计算复

2、杂形状物体的转动惯量时，有的同学就表现出有点吃力。虽然俗话说“师傅领进门，修行在各人”。尤其是现在的大学，一个班少则二三十，多则上百人。作为老师，即便有助教也不可能照顾周详，但如果老师能认识到这种差异，并适当引导学生进行讨论并做适当指引，那么，只要肯用功夫，相信同学能相互促进，消除中学知识差异，尤其是学会从多角度看问题，用多种方式研究问题。本文将从医学物理的一道课后习题的课堂讨论出发，分析学生能力分化以及课堂讨论的必要性。这一道题来自医学物理学，胡新珉主编，第四章，习题4-51。在配套参考书上给出参考2。“任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将如何变化？”“由

3、于=km，所以如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变长” 虽然在课堂上，一再强调，老师说的可能有错的，书上的也不一定是对的。但从交来的作业看，大多数同学仍按照参考答案给出了结果。于是我组织同学们进行导论，讨论之前让他们再仔细研究研究参考答案是否有问题。最后在同学们表现很积极，大致表现为以下几方面：参考答案没错，从公式(gngsh)出发(chf)，质量增大，频率(pnl)变小，周期增长；如果假设质量集中在某一处，比如两个端点，或者中间某处，结果不同；如果假设质量均匀，那么可能要用微积分处理，不知怎么做；不清楚弹簧的劲度系数时候会改变，如果不变，那么弹簧看作一暗箱，周期不变；网上搜到一篇文章，

4、说是积分的结果不对，但看不懂；先说四、五方面。能够从暗箱认识问题，说明这一类学生在认识方法上有了进步。不管内部结构，只看表现出来的参数，只看他对外界的作用是否改变。这种只看输入输出的分析方法在控制论中称为黑箱方法，注重从系统整体与外部之间的练习，分析问题，解决问题。当然在这里，我们对内部结构是有一定了解的，可以称为“灰箱”。前面三个方面，是对内部完全了解，称为“白箱”。能够上网搜索问题的解决方案，也是现在学生的一个强项，不过并不是所有学生都很重视。当年的goole搜索引擎被不少人称为goole大学，也即在这上面你能得到所有你想知道的。因此有人说，网上无所不有。对于第三方面的积分处理，有同学也从

5、网上得到了答案3,4。对于网络如果不加辨识的拿来就用，认为所有的都对，将使得学生失去真正学习的能力。同学在网上收缩到的另类解法5，复杂而且看不出关键所在，这里将不仔细展开，下面对一到四方面对这一问题同学的认识作一介绍。一、 参考答案分析是否有错呢，如果有，问题又在哪里？在公式中，我们只有两个参数，劲度系数和质量。而问题中只提到质量，因此很自然的把这一质量和公式中的质量联系起来。问题是，这两个质量是否一回事？有同学说引力质量和惯性质量虽然在量上一样，但它们确实是两个不同的概念。这里，我们注意到，公式中的质量是振子的质量，而问题的质量是弹簧的质量。首先文字上不一样。又有的同学说，原来的弹簧质量为零

6、，振子质量加上弹簧质量后不变，公式仍然成立。所以答案是对的。果真如此么？要看公式是否适用，那么从推导简谐振动过程的每一步来检验，什么时候可以加入弹簧质量。有同学很快找到问题所在。仔细回顾简谐振动的推导过程，指出推导出发点是以谐振子的受力开始，以谐振子为研究对象，弹簧只是作为外力的提供者。当换用其他形式外力，比如电磁力，只要它能提供与位移成正比大小的力，振子都做简谐振动。所以公式中，弹簧的质量是进入不了的，因此答案简单的说质量变大周期变长，是错了，混淆了两个质量，混淆了研究对象。评：如果参考答案能出错，也不能怪同学出错。确实，这里的质量容易误导人。但从这里至少可以看到，引用公式时，一定要搞清楚它

7、的研究对象，适用范围。学生并不缺乏相应的知识，只是在分析思路上需要一个引导。二、假如(jir)质量集中(jzhng)在弹簧某处，得到不同结果。BAO（图1 弹簧(tnhung)简谐运动示意图 ）这种情况在理想状况下是可能的。当弹簧质量远小于振子质量，也可以近似忽略弹簧质量。于是引导同学们从如下几个方面做了分析： 如果质量集中在弹簧的固定点O点，那么这一部分质量受力平衡，将不参加谐振运动，弹簧振动周期不发生改变；如果质量集中在振子位置，则弹簧弹性力同时对两部分质量做功，其效果可以看作是在振子上附加了弹簧质量，这样振动周期将变长；如果弹簧质量集中在弹簧某处B点，（0OBL，L为弹簧固有长度）。这相

8、当于两个弹簧串联，对于最外端点处的振子的运动，将是两个运动的合成：一个是相对外端弹簧的振动，一个是随弹簧质点相对B点的来回振动。可以预测周期可能随B的不同而改变，即周期会是OB的函数。这时，如果用受力分析，按推导简谐振动的方式导出运动方程会比较复杂，也难以下手。然后有同学提议是否可以考虑机械能守恒。评：特例法是研究复杂问题的一个测试口。它能检验我们的一些推测是否合理。可以看到参考答案只是一个特例。得到不同结果，只能说明题目还需详细说明弹簧质量分布情况。通过特例分析认识到问题的复杂性，并帮我们找到了可以利用的其它方法。利用机械能守恒方法可以推广到质量分布到多个点，甚至在弹簧上连续分布的情况。通过

9、上面两方面分析发现，面对问题时有时不是缺乏知识，而是没有找到通往目的的途径。所以，从这一点看，课堂上传授方法比简单的传授知识更重要。知识可以迅速的获得，而研究方法却需要长时间的训练才能领会。正是“授之以鱼不如授之以渔”。三、假设质量均匀分布，利用守恒原理计算周期。有了上面的分析，指导学生先从多弹簧串联入手，看如何建立等式。有同学写出了12m2A2=12kA2。还是觉得无法入手。其实这反应了一部分同学分析问题还只是从公式出发。虽然我们现有的公式就这个，但如何用还是要先分析从问题的角度看用什么公式，怎么用。于是知道学生多读读问题，从问题一步一步分析思路。同学又出现了分化。一部分人关注了劲度系数，问

10、质量的改变是否对其有影响？一部分人觉得应该假定质量改变前后机械能一样。这时候，我让同学们自己互相辩论。通过指导同学对第二章应变与应力的关系回顾，通过引导对振子总能量与固有频率周期的认识，同学们都发现了自己立场上的一些问题：a: 弹簧的伸长缩短类似于线应变，劲度系数由材料的杨氏模量决定，与质量无明显关系，但与弹簧的长度有关，且总势能即便在弹簧质量为零时也不是每段弹簧势能相加。b: 振子的频率周期也由材料决定(judng)了，与总能量无关，但为方便，可以假定两个两弹簧(tnhung)(有质量(zhling)和无质量)机械能相等。弹簧的势能自然不能用12kA2得到，因为这只是每一部分的简单求和。考虑

11、空中的一个压缩的弹簧，它具有弹性势能还有重力势能。于是求和不成，有同学考虑从做功入手。为了获得势能，外力必须做功。引导学生分析以准静态过程拉动弹簧做功的比较。得到在无摩擦情况下，劲度系数相同，做功相同的结论。确定了相等的初始势能后，再解决动能求和问题。有了前面对劲度系数的分析，有同学问角频率是否相等呢？这是一个好问题。说明同学在分析上有了进步。通过分析发现至少它们在振动的关键点位是一致的，因此可以假设它们相等。同时得到在压缩伸长的极值点(振幅处)时得到分振子的振幅与弹簧整体振幅的关系。这时有的同学已经能写出积分公式了，最后得到：Ek=0A12 MA2x2dx+12 m2A2,其中M为弹簧的质量

12、，m为振子的质量。M/A为质量线密度，在计算刚体的转动惯量时已经用到。再与12kA2比较，可以得到T=2m+M3k，显示周期变长。评：这一结果是在假设有质量弹簧每段周期相等的情况下得到的结论。但不管如何，如果初始势能相同，有质量弹簧必然分掉一部分机械能。对于仍做简谐振动的振子来说，振幅不变，势能降低，由12m2A2守恒，频率一定减小，周期变长。从这一部分的分析可以看到，一道题，帮助复习了变力做功、能量守恒以及材料的应变与应力关系，用到了计算转动惯量类似的方法，也引出了准静态过程。同时通过辩论让同学认识到，立场不是绝对的，问题会越辩越明。四、弹簧劲度系数不变，对振子作用力与弹簧无质量时无异，周期

13、不变。首先，由上面分析，弹簧劲度系数由材料性质决定。同时我们得知，振子是在做一复合运动。当然，在弹簧无质量时，我们也可以看作是多个复合运动的叠加。简单的，只考虑两个弹簧串联，串联点用有质量物体连接。那么有质量无质量之间有无区别呢？首先，用一暗箱把图一AB段封闭起来。有同学注意到由于弹簧在伸长缩短，质心的位置相对B点在随时发生变化，所以运动将不同于弹簧无质量时。其次，如果振子仍然以原来周期运动，那么其受力任然满足F=-kx才行。由于k不变，似乎F就与无质量时相同，只随x变化。有同学联想到了中学习题中关于用绳连接的两个物体运动的例子，指出弹簧拉力不一定是F=-kx。 F=-kx是在一端固定时的满足

14、(mnz)的关系，而且x是相对(xingdu)平衡位置的位移，也是相对(xingdu)固定点的位移增量，它反应了弹簧的真实形变量。在变加速体系中，振子相对平衡位置的变化量与弹簧的形变量不再一致，它是每段弹簧形变量的叠加。是否可以绕过弹簧质量而把几段弹簧形变叠加就行了呢？ F=-kx，x是弹簧沿伸长方向所有形变量的叠加。作用力是否叠加呢？于是引导学生回顾应力公式推导。发现作用力并非由形变合力叠加。在静力平衡状态，弹簧有无质量，都无关系，每段弹簧相互作用力相等。但当弹簧运动起来，作用在弹簧质量上的两段弹簧作用力将不一样。合力F=F1-F2=ma。当弹簧无质量时，m=0，F1=F2。这一点差别，导致

15、在有质量弹簧上形变作用力将不再相同。为了带动弹簧以相同加速度运动，越靠近固定点的部分，作用力更大，弹簧处于非均匀形变，F=-kx对整段弹簧将不再适用，也就不能直接用于推导振子的运动方程。评： 不少同学直觉的认为，弹力是每段弹簧力的叠加，通过讨论，同学们认识到了问题所在。用暗箱法回应暗箱法，让同学更能接受。在教学中通过与同学交流发现，学生并不很在乎什么是对的答案，他们不能指出对的答案有什么错误，而更愿意认识到自己的分析哪里有问题。这正是学习物理方法的正确方式。只有知道什么是错，才能更好的认识理解什么是对。学生在遇到问题时，表现出了各自的才能。片面的以分数论成绩，并不能反应学生的真实能力。知识基础

16、以及分析问题的能力、对待问题的方式都因人而异，且对以后的研究会产生很大的影响。虽然在灵活运用知识方面有些欠缺，但敢于想象，运用所知方法论，又或积极上网搜索都反应出学生思维灵活的一面。如果只是简单的给出答案给出分析，自然学生能获得知识和一些技巧，但通过讨论，让学生自己发现问题的本质，发现自己的潜能，同时在同学之间形成讨论的氛围，为将来的研究做准备，这才是作为一个研究型大学应该具备的。学生能力的差异，也不是简单的给出答案和解法就能缩小或抹平的，通过讨论，让同学直接认识到能力的差异，而不是最后分数的差异，同时发现自己知识欠缺面以及别人思维方式的优点，可以更好的促进学生在后续课程中的学习。一道习题，通

17、过讨论推翻了对参考书的权威认识。其次，复习了已经学过了内容，并得到更进一步的加深。此外，各种分析方法得到了运用。通过讨论，更增加了学生学生之间、老师与学生之间的互相了解。因此建议大学课堂应多些讨论。参考文献：1 胡新珉. 医学物理学M. 北京: 人民卫生出版社，2010. 54.2 胡新珉. 医学(yxu)物理学学习指导与习题集M. 北京(bi jn)，人民卫生出版社，2010. 42.3 朱斌，徐学. 弹簧质量对弹簧振子(zhn z)振动周期的影响. 物理教师J. 2010,(31)1: 59.4 臧涛成. 非轻质弹簧串联系统能量分析. 大学物理J. 2005,(24)11: 2022.5

18、金彪. 也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响. 中学物理J. 2011,(29)3: 6263. From the solution of an exercise to see the necessity of class discussion Abstract: A class discussion was given. It is about how will change the natural period of simple harmonic motion as the spring having a mass. An analysis of the ability differences and troubles meeting in the classroom was given and the necessity of cari