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1、1.定义7.3.1 设（X，）是一个度量空间，AX如果存在实数M0使得 (x，y)M对于所有x，yA，则称A是X的一个；如果X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，）是一个有界度量空间 7.3 n维欧氏空间Rn中的紧致子集1 令Mmax(xi，xj）| 1i，jn+2如果 x，y X，则存在 i，j， 1i，jn，使得 x B（xi， l）和 yB（xj，l）于是（x，y）（x，xi）+（xi，xj）+（xj，y）M 2.定理7.3.1 紧致度量空间是有界的. 证明设（X，）是一个紧致度量空间由球形邻域构成的集族B（x，1）| xX是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为B（x1，1），B（

2、x2，1），B（xn，1）2因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集特别n维欧氏空间的每一个紧致子集都是有界的 引理 7.3.2 单位闭区间 0,1 是一个紧致空间证明：（略）33.定理7.3.3 设A是n维欧氏空间 中的一个子集则A是一个紧致子集当且仅当A是一个有界闭集任何一个闭区间a，b（ab），由于它和单位闭区间0，1同胚，所以是紧致的并且作为紧致空间 的积空间，可见n维欧氏空间 中任何一个闭方体 （ab）也是紧致空间证明 设是n维欧氏空间 的通常度量4“”: 如果A是一个紧致子集， 由于是一个 Hausdorff空间，根据推论 7.2.2，它是一个闭集 则根据定理7.3.1，它是有界

3、的；“”: 设A是一个有界闭集如果A=，则A是紧致的下设A容易验证（根据三角不等式）A 因此A作为紧致空间中的一个闭子集必定是紧致的 5定理7.3.4 设X是一个非空的紧致空间，f: XR是一个连续映射则存在x0，x1X使得对于任意xX有f（x0）f (x) f (x1) . 证明 由于X紧致，故根据定理7.1.4可见 f（X）是实数空间R中的一个紧致子集因此存在x0，x1X使得f(x0)m和f(x1)=M由于R是一个Hausdorff空间，所以f (X)是一个闭集 设m和M分别为集合f（X）的下，上确界，则m，M f(X) 根据上，下确界的定义立即可见，对于任何xX有 f（x0）f (x) f (x1).6 定理7.3.5 设m，nZ+则m维单位球面 与n维欧氏空间 不同胚 由于m维单位球面 是一个有界闭集，所以是紧致的，n维欧氏空间 不

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