【VIP专享】工程力学08扭转课件

1、工程力学 第八章扭 转中国石油大学（北京）扭转薄壁圆筒的扭转 概述传动轴外力偶矩 扭矩及扭矩图等直圆杆扭转的应力 强度分析等直圆杆扭转的变形 刚度条件等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆在扭转时的应变能非圆截面等直杆的自由扭转2概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA3概述扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。mmOBA4概述工 程 实 例5传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩作用于轴上的力偶矩往往不直接给出,

2、往往给出的是传送功率P(kW=1000Nm/s)和轴的转速n(r/min)6传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（HP） n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS7传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图3.扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图 1.扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2.截面法求扭

3、矩mmmTx8传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图4.扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT9传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图例1已知：一传动轴,n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩10传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）11传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnA B

4、C Dm2 m3 m1 m44.789.566.3712薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶m。13薄壁圆筒的扭转2.实验后：圆周线不变；纵向线变成斜直线。3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。14薄壁圆筒的扭转acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.与 的关系：微小矩形单元体如图所示：15薄壁圆筒的扭转二、薄壁圆筒剪应

5、力 大小： A0：平均半径所作圆的面积。16薄壁圆筒的扭转三、剪应力互等定理： 上式称为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdytz17薄壁圆筒的扭转四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。18薄壁圆筒的扭转T=m 剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。19薄壁圆筒的扭转 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可

6、通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。20等直圆杆在扭转时的应力 强度条件等直圆杆横截面应力变形几何方面物理关系方面静力学方面 1.横截面变形后仍为平面； 2.轴向无伸缩； 3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：21等直圆杆在扭转时的应力 强度条件二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。 扭转角沿长度方向变化率。22等直圆杆在扭

7、转时的应力 强度条件Ttmaxtmax2. 物理关系：虎克定律：代入上式得：23等直圆杆在扭转时的应力 强度条件3. 静力学关系：TOdA令代入物理关系式 得：截面对圆心的极惯性矩(截面二次极矩)24等直圆杆在扭转时的应力 强度条件横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。25等直圆杆在扭转时的应力 强度条件单位：mm4，m4。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。对于实心圆截面：Dd

8、O26等直圆杆在扭转时的应力 强度条件对于空心圆截面：dDOd27等直圆杆在扭转时的应力 强度条件 应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。28等直圆杆在扭转时的应力 强度条件 确定最大剪应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量） 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：29三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。等直圆杆在扭转时的应力 强度条件30等直圆杆在扭转时的应力 强度条件

9、1. 点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)tttt(c)2.斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：(d)tttasax31等直圆杆在扭转时的应力 强度条件(d)tttasaxnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：解得：32等直圆杆在扭转时的应力 强度条件分析：当 = 0时当 = 45时当 = 45时当 = 90时ttsmaxsmin45 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。33等直圆杆在扭转时的应力 强度条件四、圆轴扭转时的强度计算强

10、度条件：对于等截面圆轴：( 称为许用剪应力。)强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：34等直圆杆在扭转时的应力 强度条件例2功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75D1=70ABCmmx35等直圆杆在扭转时的应力 强度条件例题 汽车传动轴AB外径D=90mm，壁厚2.5mm,材料为，使用时最大扭矩T=1.5kN.m， 校核AB轴的扭转强度解由AB轴的截面尺寸计算抗扭截面系数轴的最大切应力为：AB轴满足强度条件36等直圆杆在扭转时

11、的应力 强度条件例题：将前面题目中的AB传动轴改为实心轴，要求与原来的空心轴相同，确定其直径，并比较实心轴和空心轴的重量解实心轴的扭矩为空心轴的扭矩为于是在材料相同长度相同情况下，两者重量之比等于面积之比在载荷相同情况下，空心轴重量为实心轴重量的31，空心轴大大节省材料37等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件一、扭转时的变形由公式知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为如果各段内的T不相同或者Ip不相同，应分段计算各段扭转角，然后代数迭加38等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件二、单位扭转角 ：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。39等直圆杆在

12、扭转时的变形 刚度条件刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：有时，可依据此条件进行选材。40等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件例3长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径41等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件40NmxT代入数值得：D 0.0226m。42等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件右端面转角为：40NmxT43例4 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 50

13、0 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件44由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件45 综上：全轴选同一直径时等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件46 Tx 4.21(kNm)2.814 轴上

14、的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件47等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。48例5长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件49几何方程变形协调方

15、程 综合物理方程与几何方程，得补充方程： 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件50等直圆杆在扭转时的应变能一、 应变能与能密度acddxbdydzzxy单元体微功：应变比能：51二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1. 应力的计算=+tQtTQT近似值：PQT等直圆杆在扭转时的应变能522. 弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。等直圆杆在扭转时的应变能533.位移的计算(能量法）外力功：变形能：等直圆杆在扭转时的应变能54例6 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：

16、d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？解：最大剪应力的近似值：等直圆杆在扭转时的应变能55最大剪应力的精确值：弹簧圈数：（圈）等直圆杆在扭转时的应变能56非圆截面等直杆自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。57一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。三、矩形杆横截面上的剪应力:1. 剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）非圆截面等直杆自由扭转时的应力和变形58注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。非圆截面等直杆自由扭转时的应力和变形59第八章 扭转作 业刘鸿文材料力学第四版 习题：P.102 3-7，3-9，3-11，3-2060第八章 扭转传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系薄壁圆筒剪应力等直圆杆扭转时横截面上