专题最短路径求最值问题

1、专题最短路径求最值问题最短路径，求最值问题，已知都是考试的高频考点，而且求最值问题的各种变式题型特 别多，但是不管怎么变，不外乎两个常用的性质定理 ：一个是，两点之间线段最短。 二个是, 垂线段最短。其实大多数求最值的问题，都是把看似复杂的问题， 通过转化成简单的常见问题，在用这两个定理来解决。今天总结了这么13个模型，大家可以保存，转发，打印下来。 我们可以一起探讨，相互学习。比如将军饮马问题，比如造桥选址问题，比如费马点，比如 圆外任意一点到圆的最近和最远问题。在这13个模型之后详解之后，还附有 30到常见考试题型，最后有参考答案。求最值（最短路径问题）13个模型30道培优考题.如图，在直

2、线上取一点 P使得PA+PB最小施接AB与直线交于点P即可.两点异侧：.将军饮马问题：如图，在直线上取一点 P使得PA+PB最小？作点B关于直线的对称点 B,连 接AB与直线交于点P即可.两点同侧：.如图，在直线上取一点 P使得|PA-PB|最大？连接AB并与直线交于点 P即可。两点同侧： TOC o 1-5 h z AA*、*、3、/ *1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document /P.如图，在直线上取一点 P使得|PA-PB|最大？作点B关于直线的对称点 B连接AB并与直线 交于点P即可。两点异侧：AA*/ .B*.点A在/ 0的内部，在角的两边

3、上分别取两个点M、N使得AAMN的周长最小？分别作点A关于角两边的对称点 A, A。连接AA,并与角的两边分别交于点M,N即可.点A, B如图所示，在两条直线上分别取两个点P Q使得AP+PQ+QB最小？连接AB并与两条直线分别交于点 P Q即可.点A, B如图所示，在两条直线上分别取两个点P, Q使得AP+PQ+QB最小？作点A的对称点A,连接AB并与两条直线分别交于点P, Q即可.AP _LVA Q一一 一X.点A, B如图，在两条直线上分别取两个点P, Q使得AP+PQ+QB最小？分别作点A, B的对称点A, B,连接AB并与两条直线分别交于点P, Q即可.4 方老 i然K ! z彳8(

4、4* / I犷第8种情况常见的变形.点A的位置如图所示，点B是水平直线上的一个动点，点 P在另外一条直线上，如何确定点P与B的位置，使得 AP+PB最小？过点A作垂线段 AB垂直于水平的直线，垂足为 B, AB 与另一直线的交点 P即为所求。第9种情况常见变形：还有如下图的变形.当点A位于两直线之间时，先作点 A的对称点，再作垂线段即可.如图，点A、B位于直线的上方， 点C D在直线上且 CD长度等于定值a,如何确定点C、D的位置使得 AC+BD最小？以A、C、D为边构造平行四边形 ACDA；并作点B的对称点B,连接AB,与直线交于点D即可确定CD的位置。.造桥选址问题：分别以两条平行的直线代

5、表一条河的两岸，河两岸分别是 A村和B村，现 在准备在河上修座桥 MN （桥垂直河岸），问修在哪个位置， 从A村到B村的路程最短？做平行四边形AMNC,连接NG交直线于N,点N就是修桥的位置.如图，/ BOC=90 , ABC的两个顶点 B, C分别在 OB和0c上，求 OA的最大值？ 取BC的中点M,分别连接 0M, AM。当A, M, 0三点共线?连接OP,交00于点A,此时时，OA最大。.在O0外有一点P分别求出P点到00上距离最近和最远的点PA是最小值;（反向延长PO,交00于点B此时PB就是最大值.）2. （2015绥化中考）如图，在矩形 ABCD中，AB=10, BC=5若点M,

6、N分别是线段 AC, AB.上的两个动点，求BM+MN的最小值.“4.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点 M, N分别是AB, BC边上的中点，PM+PN的最小值是5.已知，矩形 ABCD, AB=3,AD=4点P在AD边上移动，点 Q在BC边上移动，求BP+PQ+QD的最小值是 课后巩固练习20题（常见考题）1.如图，在 RtABC中，/ACB=90 ,AC=6, BC=8, AD/ BAC的平分线，若P,Q分别是AD和AC上的动点，求 PC+PQ的最小值.6.如图，RtABC中，AB_ LBC, AB=6, BC=4,谑 ABC内部的一动点，且满足/ PAB=/ P

7、BC, 求线段CP长的最小值.7.如图，在矩形 ABCD中，AB=3, AD=4,点E是边BC的中点，连接 AE,与对角线 BD交于点F点M是AD边上的一个动点，连接 MF、MC,则MF+MC的最小值为 3. （2016贵阳）如图，正方形 ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1, N为对角线 AC上任意-一点，求DN+MN的最小值.j11.在 RtMBC 中,Z ACB=90 , / A=22.5BC=4, D为AB垂直平分线与 AC的交点，P为.如图，正方形 ABCD的边长为15,点E在CD上，CE=3点F是直线 AD.上不与 A、D 重合的一个动点，将 DEF沿EF折叠，使点D落在

8、点G处，则线段BG的最小值为.如图，菱形 ABCD的边长为3, / BAD=60 ,点E、F在对角线 AC .上，点E在F 的左侧，且 EF=1求DE+BF的最小值是_. （2018广东深圳期末）如图，直线y=x+2与两坐标轴分别交于 A、B两点，点C 是0B的中点，D、E分别是直线 AB和y轴上的动点，则ACDE周长的最小值是 _.AB上的动点，连接 PD PC求PD+PC的最小值.如图，RtABC中，Z ACB=90 ,AC=3, BC=4, D是斜边 AB的中点，E、F分别是直线AC、BC上的动点，/ EDF=90 ,则线段EF长度的最小值是3.如图，在菱形 ABCD中，AB=6,/B=

9、60 ,点 G是边CD边的中点，点 E、F分别是 AG、AD上的两个动点，则 EF+ED的最小值是 .如图，在菱形 ABCD中，/ ABC=60 , AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点， 若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则 P、D （P、D两点不重合）两点间的最 短距离为.如图，四边形 ABCD中，Z 0=50，/B=/D=90 , E、F分别是 BC DC上的点,当4AEF的周长最小时，/ EAF的度数为.如图，在菱形 ABCD中，Z BAD=120 , E、F分别是边 AB和BC的中点，AC=4, 点P为对角线AC上一动点，则PE+EF的最小值为.如图，在等腰梯形 ABC

10、D中，上底 AD=2,Z BCD=6（J ,对角线 AC平分/ BCD, E、F分别是底边 AD、BC的中点，连接 EF点P是EF上的任意一 点，连接PA PB则PA+PB的最小值为. （2018山东滨州）如图，/ AOB=60 ,点P是/ AOB内的定点，且 0P= 43 ,若点M、N分别是射线0A、0B上异于点0的动点，则 PMN周长的最小值是.如图，在矩形 ABCD中，AB=4, AD=6, E是AB边的中点，F是线段BC边上的动 点，将 EBF沿EF所在直线折叠得到 EBF连接BD,则BD的最小值是 .如图，边长为10的等边 ABC的顶点A、B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运 动，则动

11、点C到原点0的距离m的取值范围是 .如图,四边形ABCD四个顶点的坐标分别为 A(1,3), B(m, 0), C(m+2, 0), D(5, 1), 当四边形ABCD的周长最小时，m的值为.如图，/MON=20 ,A、B分别为射线 OM、ON上两定点，且0A=2, 0B=4,点P、Q分别为射线0M、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是().如图，点P是等腰直角三角形 ABC内一动点，AB=243，求PA+PB+P必最小值.如图，在4ABC中，/ACB=90 , AC=8, BC=6,P是直线AB.上的动点(不与点B 重合)，将 BCP沿CP所在的直线翻折，得到 BC选接

12、B A,B A长度的最小值是 m,B A长度的最大值是n,则m+n的值等于上.如图，矩形 ABCD边AD上有一动点 F在矩形内部有一动点 E, AB=6, BC=10求 BE+CE+EF勺最小值.P.如图，矩形 ABCD中，AB=2, BC=3以A为圆心，1为半径画 A,E 上-一动点，P是BC上一动点，求 PE+PD的最小值.如图，点P是/ AOB内任意-一点，0P=5cm,点M和点N分别是射线 OA和射线OB上的动点，若 PMN周长的最小值是 5cm,则/AOB的度数是.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足 AE=DF连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为 2,则线段DH长度的最小值是.如图，在 RtAOB中，0A=0B=2r2,0的半径为1,点P是AB边上的动点，过点作0的一条切线PQ（Q点为切点），则切线长PQ的最小值为.如图，在正方形 ABCD中，AB=4, E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且 DF=1若M、 N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值