函数连续和间断

1、关于函数的连续与间断第一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月一、函数的连续性1.函数的增量第二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月2.连续的定义第三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月第四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月例1证由定义2知第五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月3.单侧连续定理第六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月例2解右连续但不左连续 ,第七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,第八张，

2、PPT共五十八页，创作于2022年6月例3证第九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月二、函数的间断点及其分类第十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月1.跳跃间断点例4解第十一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月2.可去间断点例5第十二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.第十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点第十四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月3.第二类间断点例6解第十五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月例7解注意

3、 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第十六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.第十七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:第十八张，PPT共五十八页，创作于2022年6月例8解第十九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月三、连续函数的运算定理1例如,第二十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.第二十一张，PPT共五十八

4、页，创作于2022年6月定理3证第二十二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月将上两步合起来:第二十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月意义1.极限符号可以与函数符号互换;例9解第二十四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月例10解同理可得第二十五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,第二十六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.第二十七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续 )定理6 一切初等函数在

5、其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.第二十八张，PPT共五十八页，创作于2022年6月1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2. 初等函数求极限的方法代入法.第二十九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月例11例12解解第三十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月五、闭区间上连续函数的性质定义:例如,第三十一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间

6、内有间断点, 定理不一定成立.第三十二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证第三十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月定义:第三十四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月几何解释:第三十五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月几何解释:MBCAmab证由零点定理,第三十六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.例13证由零点定理,第三十七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月例14证由零点定理,第三十八张，PPT共五十八页，创作于2022

7、年6月六、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)第三十九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx第四十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月4.连续函数的和差积商的连续性.6.复合函数的连续性.7.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理; 两点意义.5.反函数的连续性.第四十一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月8.有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在

8、性定理.注意1闭区间； 2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立解题思路直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;第四十二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月思考题1第四十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月思考题1解答且第四十四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月但反之不成立.例但第四十五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月思考题2第四十六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月思考题2解答是它的可去间断点第四十七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月思考题3下述命题是否正确？第四十八张，PPT共五十八页，创作于2022年6月思考题3解答不正确.例函数第四十九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月练 习 题 1第五十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月第五十一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月练习题1答案第五十二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月第五十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月练 习 题 2第五十四张，PPT共五