空间向量的运算及应用教学案含解析理

1、获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划第五节空间向量的运算及应用考纲彳真1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明 立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知识全通关1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(

2、或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共向向量平仃丁同一个平囿的向重2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(bwo), a/b的充要条件是存在实数入， 使得a=入b.(2)共面向量定理：如果两个向量a, b不共线，那么向量p与向量a, b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x, y),使p= xa+yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x, y, z,使得p=xa+yb+zc,其中，a, b, c叫做空间的一个基底.3.两个向量的数量积(1)非零向量 a, b 的数量积 a

3、 - b=|a| b|cos a, b.(2)空间向量数量积的运算律：结合律：(入a) b=入(a b);交换律：a - b= b - a；分配律：a (b+ c) = a b+ a c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a=(ai,a2,a3),b=(bi,b2,b3),向里表小坐标表小数量积a bab + a2b2+ a3 b共线a=入 b(bw0,入 C R)a1=入 t1,32=入 t)2,a3=入 t)3垂直a - b= 0(aw。，b0)a1b + a2b2 + a3b3 = 0模|a|/a2+ a2+ a2夹角a, b (aw。，bw0)a1b1+ a2b2 + a3b3cos a

4、，bga1+a2+a2 qb2+b2+b25.空间位置关系的向量表示位直大系向里表小直线l1, 12的方向向量分别为 nb n2l 1 / l 2n1 II n2?m=入n2l 1 -L l 2nn2? m . n2=0直线l的方向向量为 n,平囿a的法向量为ml / an m? n m= 0l _L an n? n=入 m平面a , (3的法向量分别为n, ma / 3n n? n=入 ma _L 3nn? n m= 0常用结论.对空间任一点 Q若OaxO/V yOBx+y=1),则P, A B三点共线.对空间任一点 O,若0exOAF yO中zOCx + y+z=1),则P, A, B,

5、C四点共面.平面的法向量的确定：设 a, b是平面a内两不共线向量，n为平面a的法向量,n , a = 0, 则求法向量的方程组为n - b = 0.基础自测.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“，”，错误的打“x”)(1)空间中任意两非零向量a, b共面.()(2)若A B, C, D是空间任意四点，则有 AB+ BO C DA= 0.()(3)设a, b, c是空间的一个基底，则 a, b, c中至多有一个零向量.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()答案(1)， (2) V (3) X (4) X.(教材改编)设u = (2,2 , t), v= (6 ,

6、-4,4)分别是平面 a , 的法向量.若a， ,A. 3C. 5D. 6C . a 3 ,贝U u v= 2X6+2X( 4) + 4t =0,，t = 5.3.（教材改编）在平行六面体 ABCDABCD中，M为AC与BD的交点.若AB= a, AD= b,AA= c,则下列向量中与A.1 i2a+ 2b + c2a+ * + c一 %gb+c112a2b+cBM= BB+ BM= AA+2(AD- AB = c + (ba) = a+,b+c.4.已知 A(1,0,0)B(0,1,0)C（0,0,1）,则下列向量是平面 ABCt向量的是（）A.(-1,1,1)B.(1 ，1,1)C.13D

7、.：3 3设n = (x, yz）为平面ABC勺法向量,AB= 0,化简得-x+y=0-x+z=0AO 0,x= y= z.故选 C.5.(教材改编)已知 a= (2,3,1) , b=(4,2,x = 2.2-J6 1 ab, a - b=0,即8 + 6 + x= 0.b=(-4,2,2),| b| =。16+4 + 4 =2/6.课堂题型全突破考点全面,方法简洁I题型1|空间向量的线性运算1.如图所示，已知空间四边形 OABC其对角线为 OB AC M N分别为OA BC的中点,点 G在线段 MN,且 MG= 2GN 若 OG= xO& yO拼zOC 则 x + y+z=56 连接 ON

8、 设 OA= a, OB= b, OC= c, TOC o 1-5 h z 11111则 MN= ON- OMk 2( OBF OC -2OA= 2b+ C 5a,/c12OG= O限 MG= -OAF -MN2312 111111= 2a+3 2b+2c_2a =6a+3b+3c. ,111又OG= xOAFyO跳 zOC 所以 x = g, y=3, z=3,1115因此 x+y+z=6+3+3=6.2.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1GD中，设AA=a, AB= b, AD= c, M N, P分别是AA, BG CD的中点，设用a, b, c表示以下各向量：(1) AR (2)

9、 AN; (3) M印 NG.解(1)因为P是GD的中点,Z ZZ1所以 A鼻 AA+ AD+ DP= a + ANDG1 一1=a+ c+ 2AB= a+ c+ 2b.(2)因为N是BC的中点，1所以 AN= AA+ AB+ BN= a+b+2BC11=a+b+AA a+b+c.22因为M是AA的中点，所以 MP= MAf AP=况 1A+ AP=-1a+ a+c+2b=%+2b+c,1八又 NC= Na CC= Ba AAA -A11 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document =A3 AA1 = -c+ a,22所以 MP NC= 1a+2b+c

10、+ a+2c=, +2b+3c.规律方法用基向量表示指定向量的方法1结合已知向量和所求向量观察图形.2将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中3利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来【例1】|题型2|共线（共面）向量定理的应用已知E, F, G H分别为空间四边形 ABCD勺边AB, BC CD DA勺中点.(1)求证:E, F, G, H四点共面；(2)求证：BD/平面EFGH证明(1)连接 BG EG 贝UEG= EB+ BG_ _ 1 一 一=E打 2 BO BD=EB+ BF+ EH=EF+ EH所以E, F, G, H四点共面. A - A - A -a

11、1111(2)因为 EH= AH- AE= 2AD-2AB= 2( AD- AB=,BD所以EH/ BD又EH?平面EFGH BD?平面EFGH所以BD/平面EFGH规律方法1证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证A, B, C三点共线，即证，竟共线，只需证通二A套(A W0)即可.2证明点共面问题，可转化为证向量共面问题.,如证P, A, B, C四点共面，只需证K=*肃+,产中或对空间任 意一点 o ,有 房二加+工而+于pc或 加一市+历7芯其中x+y+z=1即可.跟踪擦习(1)已知a=(入+1,0,2) , b=(6,2 w 1,2入)，若a/b,则入与的值 可以是()A. 2,

12、 1B. 1, 123 2C. 3,2D, 2,2(2)已知 a= (2 , 1,3) , b = ( 1,4 , 2) , c=(7,5 ,入)，若 a, b, c 三向量共面， 则实数入等于.65A (2) (1) -.-all b, .设 b=xa,x 入 +1=6, 2 1 1 = 0,2x=2 入，1fi =解得 211 =或 2 故选A.入=2,(2),.a与b不共线，故存在实数 x, y使得c=xa+yb,33、=亍2x-y= 7,-x + 4y= 5,3x 2y=入,解得1765了.故填65.【例2】 如图,|题型3|空间向量的数量积在平行六面体 ABCEA1B1CD中，以顶点

13、A为端点的三条长度都为 1,且两两夹角为60(1)求AC的长；(2)求BD与AC夹角的余弦值.解(1)设AB= a, AD= b, AA=c,则 | a| = | b| = | c| = 1,o1a, b =b, c =c, a = 60 , a b=b c=c, a= .222221 1 1| AC| =(a+b+c) =a+b+c+2(a b+b c+c a) = 1 + 1+1 + 2x 5+5+3 = 6,.I AC| = 46,即AC的长为班.BD=b+c-a, AC= a+b,. JBD|=/, |ACf, BD . AC= (b+ ca) (a+b) =b2- a2+ a c+

14、b c= 1.BD - AC.cos BD, A。=,1166 .I BD| ACAC与BD夹角的余弦值为,166 .规律方法1利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系， 通 TOC o 1-5 h z 过向量共线确定点在线段上的位置.2利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角3可以通过|a| =，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解跟踪拣习 如图，已知直三棱柱 ABCABG,在底面 ABC43, CA= CB= 1, Z BCA= 90 , 棱AA=2, M N分别是AB, AA的中点.(1)求BN勺模;(2)求 cosBA, CB 的值；(3)求证：AB

15、CiM解(1)如图，以点C作为坐标原点 Q CA CB, CC所在直线分别为x轴，y轴，z轴, 建立空间直角坐标系.由题意得 B(0,1,0), N(1,0,1),所以|BN=1-0 2+0-1 2+1-0=,3.(2)由题意得 Ai(1,0,2), B(0,1,0), q0,0,0), B(0,1,2),所以 BA= (1 , 1,2) , CB= (0,1,2),BA CB= 3, | BA| = = BA . CB =曙. I BA| CB|(3)证明：由题意得G(0,0,2),AB=( 1,1 , 2)15, 0 ，所以AB-G 岫 2 + 2+。=0,所以 AB, GM,即 AB,

16、CM|堰型4|利用向量证明平行与垂直问题【例3】 如图所示，在四棱锥 P-ABC由，PCL平面ABCD PC= 2,在四边形 ABCD/B= / C= 90 , AB= 4, CD= 1,点 M在 PB, PB= 4PM P*平面 ABC瞰 30 角，求证：(1) CM/平面 PAD(2)平面PABL平面PAD解(1)证明：由题意知,CB CD CP两两垂直，以 C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz. Pd平面 ABCDPBC PB与平面ABC所成的角, ./ PBC= 30 .PC= 2,BC= 2服 PB= 4, D(

17、0,1,0) , B(23, 0,0) , A(2小,4,0) , R0,0,2) , M喙,0, 3 , DP= (0, 1,2) , DA= (2, 3,0),CM=喙,0, 2 . 设n= (x, y, z)为平面PAD勺一个法向量,DP- n= 0, 由DA- n= 0,-y + 2z = 0,2x+3y = 0,令 y=2,彳导 n=(一小，2,1).一33n CM= 3J3X j- + 2X0+1x 2=0,nCM又 CM?平面 PADCM/ 平面 PAD4yc= 0,即23xc-2z0=0,(2)法一:由(1)知 BA= (0,4,0) , PB= (2 小，0, 2), 设平面

18、PAB的一个法向量为m (x。，yc, z。)，BA- rr 0, IPB- rr 0,令 xc= 1,得 m= (1,0 ,而.又平面PAD勺一个法向量n=(，3, 2,1),，m n = 1X(悯 +0X2+ #X1= 0,平面PABL平面PAD法二：取AP的中点E,连接BE 则 E(小，2,1) , BE= (-3, 2,1)., PB= ABBEL PA.又BE- DA=(43, 2,1) - (2 4 3,0) =0,BE! DA，BE! DA.又 PAH DA= A,BE!平面 PAD又 B巴平面PAB，平面PABL平面PAD规律方法1.利用向量法证明平行问题的类型及方法 TOC o 1-5 h z 1证明线线平行：两条直线的方向向量平行.2证明线面平行：该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示3证明面面平行：两个平面的法向量平行2.利用向量法证明垂直问题的类型及方法1证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0.2证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行3证明面面垂直：根据面面