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文档简介

1、1第五章 拉格朗日方程1. 动力学普遍方程2. 拉格朗日方程 3. 拉格朗日方程的首次积分 25-4、拉格朗日方程的意义二、使得我们可以直接研究系统的定性性质三、力学系统的运动可由一个函数决定四、例:运动稳定性一、将状态变量与约束力解耦3稳定性概念的来源:静止(平衡)的稳定性Torricelli(1644):重力场中物体在重心取最低时才保持稳定Lagrange(1788):当保守系统处于势能的严格极小状态时,系统处于稳定平衡。对运动稳定性的系统研究始于Lagrange。例: 质量-弹簧系统的自由振动自由振动:质量块受初始扰动,仅在恢复力的作用下产生的振动。运动方程:能量积分:能量积分:65-5

2、 第一类拉格朗日方程设:具有完整约束的非自由质点系, 取m 个描述系统位置的参数(非广义坐标):即:但:取变分, 有:7由动力学普遍方程:由于位置参数非独立,因此 也非独立. 所以 前的系数一般不为零. 8动力学方程:从后一组方程解出 s 个变分, 代入前一个方程.9拉格朗日乘子法则等价于:10第一类拉格朗日方程11例:图示机构在铅垂面内运动,均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。试用第一类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。AB2L解:1、取 作为确定系统位置的参数; 2、求系统的动能和势 能 (拉格朗日函数) 12分别取:13运动方程:从第(2), (3)方程有:14考虑杆的受力:对杆应用质心运动

3、定理:与前式比较得:15如果取:16动力学方程的建立牛顿定律动量定理动量矩定理拉格朗日方程动量定理运动规律+约束力运动规律+约束力17例:图示机构在铅垂面内运动,均质圆盘在地面上纯滚动,均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求地面的约束力。AB=2lAB解:系统的主动力均为有势力拉格朗日函数 中不显含广义坐标x和时间t系统的广义动量守恒研究整体:AB由动量定理:拉格朗日方程 + 首次积分(循环积分+能量积分) + 初始条件19题5-23:代入拉格朗日方程:20两式相加:两式相减:21方程:的通解:方程:的特解:初条件:22本章总结动力学普遍方程多用来求解系统在特殊位置时所具有的加速度拉格朗日方程建立系统在一般位

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