河南省郑州市郑州2022年高三下学期联合考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是( )ABCD22019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排

2、成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为A96B84C120D3603已知ab0，c1，则下列各式成立的是（）AsinasinbBcacbCacbcD4设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为( )A60B80C90D1205在等差数列中，若，则（ ）A8B12C14D106盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则( )A，B，C，D，7已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ）AB2C4D8已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的

3、标准方程为（ ）ABCD9若集合，则（ ）ABCD10已知向量，且与的夹角为，则x=（ ）A-2B2C1D-111a为正实数，i为虚数单位，则a=（ ）A2BCD112某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A1B2C3D0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_.14若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_.15已知，则_.(填“”或“=”或“”).16给出下列等式：，请从中归纳出第个等式：_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某校

4、为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分频数624（）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？ 是否合格 性别 不合格合格总计男生女生总计（）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；（）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评

5、估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：，其中.18（12分）已知点，若点满足.（）求点的轨迹方程； （）过点的直线与（）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求面积的最大值及此时直线的方程.19（12分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；（2）若，且，求实数的值；（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.20（12分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.（1

6、）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.21（12分）已知函数（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）若方程有两个不同实根，证明：22（10分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点（1）证明：点始终在直线上且；（2）求四边形的面积的最小值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】由题可知，设函数，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值

7、范围.【详解】设函数，因为，所以，或，因为 时，或时，其图象如下：当时，至多一个整数根；当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，所以.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.2B【解析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共个，其中含有2个10的排列数共个，所以产生的不同的6位数的个数为.故选B3B【解析】根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；对B,因为ycx为增函数，且ab，所以cacb，正确对C,因为yxc为增函数,故 ，错

8、误；对D, 因为在为减函数，故 ，错误故选B【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题4B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，即，故表示直线与截距的倍，根据图像知：当时，的最大值为，故.展开式的通项为：，取得到项的系数为：.故选：.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5C【解析】将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得解得，所以故选C【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列

9、的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.6C【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，所以.表示取出两个球，其中一黑一白，表示取出两个球为黑球，表示取出两个球为白球，所以.所以，.故选：C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.7C【解析】设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.【详解】圆可化为.设，则的斜率分别为，所以的方程为，即，即，由于都过点，所以，即都在直线上，所以直线

10、的方程为，恒过定点，即直线过圆心，则直线截圆所得弦长为4.故选:C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.8B【解析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程【详解】由抛物线y22px（p0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，所以抛物线的标准方程为：y22x故选B【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题9B【解析】根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足.【详解】依题意，；而，故，则.故选：B.【点睛】本题考查了集合关系

11、的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.10B【解析】由题意，代入解方程即可得解.【详解】由题意，所以，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.11B【解析】，选B.12C【解析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中，为直角三角形.该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果.【详解】由正弦定理可知，即.故答案为

12、：.【点睛】本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题.14【解析】将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，将正四面体补形成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球，因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，设球的半径为，因为球的直径是正方体的对角线， 即，解得，所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了有关求得组合体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长，得到球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题

13、.15【解析】注意到，故只需比较与1的大小即可.【详解】由已知，故有.又由，故有.故答案为：.【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16【解析】通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第个等式即可【详解】解：因为：，等式的右边系数是2，且角是等比数列，公比为，则角满足：第个等式中的角，所以；故答案为：【点睛】本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）详见解析；（）详见解析；（）不需要调整安全教育方案.【解析】（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的

14、值，由此判断出在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.（III）由（II）中数据，计算出，进而求得的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【详解】解：（）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.性别与合格情况的列联表为： 是否合格 性别 不合格合格小计男生女生小计即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为, .的分布列为：20151050

15、所以. （）由（）知： .故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.18（）；（）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，. 因此椭圆的方程为. （）设直线的方程为与椭圆交于点， ，联立直线与椭圆的方程消去可得，即，. 面积可表示为令，则，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，此时直线的方程

16、为.【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.19（1）；（2）；（2）见解析【解析】（1）由圆的方程求出点坐标，得双曲线的，再计算出后可得渐近线方程；（2）设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可得，由先求出，回代后求得坐标，计算；（3）由已知得，设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可解得，求出，从而可得，由，可知满足要求的点不存在【详解】（1）由题意圆方程为，令得，即，渐近线方程为（2）由（1）圆方程为，设，由得，(*)，所以，即，解得，方程(*)为，即，代入双曲线方程得，在第一、四象限，

17、（3）由题意，设由得：，由得，解得，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，轴上不存在点，使得【点睛】本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标难度较大，属于困难题20 (1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】证明：证明：连接交于点，则为的中点又是的中点，连接，则因为平面，平面，所以平面（2）由，可得：，即

18、所以又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为， 同理可得平面的一个法向量为， 则 所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题21（1）（2）详见解析【解析】（1）将原不等式转化为，构造函数，求得的最大值即可；（2）首先通过求导判断的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数，将问题转化为证明，探究在区间内的最大值即可得证【详解】解：（1）由，即，即，令，则只需，令，得，在上单调递增，在上单调递减，的取值范围是；（2

19、）证明：不妨设，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，要证，即证，由在上单调递增，只需证明，由，只需证明，令，只需证明，易知，由，故，从而在上单调递增，由，故当时，故，证毕【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题22（1）见解析（2）最小值为1【解析】（1）根据抛物线的定义，判断出的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，由此求得点的坐标.写出直线的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在