2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.a-5>b—5B.6a>6bC.-a>-bD.CL-b>Q

3.下列命题中，逆命题是真命题的是（）

A.对顶角相等B.全等三角形的面积相等

C.两直线平行，内错角相等D.如果a=b,那么a?=炉

4.如图，要用“HL”判定RtzMBC和RMA'B'C'全等的条件是（）

A.AC=A'C,BC=B'CB.Z.A=Nd,AB=A'B'

C.AC=A'C,AB=A'B'D.乙B=NB',BC=B'C

5.不等式2x+l>3的解集在数轴上表示正确的是（）

6.如图，△ABC中，AB=AC,乙4=45。,4C的垂直平分线分别交48、

AC于。、E,若CD=1,贝等于（）

A.1

B.y/~3

c.q

D.C-1

7.如图，△4BC的两个外角的平分线相交于点P,则下列结论正

A

确的是（）

A.BP平分乙4PC

B.BP平分〃BC

C.BA=BC

D.PA=PC

8.如图，在ZkABC中，已知点。在8c上，S.BD+AD=BC,则点。

在（）

A.AC的垂直平分线上B.NB4C的平分线上

C.BC的中点D.4B的垂直平分线上

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9.等腰三角形两边长分别是3和6,则该三角形的周长为.

10.用反证法证明：“在△ABC中，已知ABK4C,则NBA4C”的逆命题，应首先假设

11.不等式组2<x-3W7的解集是

12.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,立柱4。1

BC,且顶角NB4C=120°,则NC的大小为.

BDC

13.如图，在△ABC中，AC=BC=6,AD,DC分别平分NBAC,

UCB,E为BC上一点，若4WC=105。，则CD+DE的最小值

为.

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

x—3(%—2)N4,

14.解不等式组:1+2,1

-57->%-1•

四、解答题（本大题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题8.0分）

如图，有一块三边长分别为3cm,4cm,5on的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为5cm

的等腰三角形.

在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）.

16.（本小题8.0分）

已知点l,x+y）与点N（-y,-3）关于原点对称，求点M、N两点的坐标.

17.（本小题8.0分）

如图，已知在锐角△ABC中，AB=AC,4。是△ABC的角平分线，E是4。上一点，连接EB,

EC.^Z.EBC=45°,BC=6,求△EBC的面积.

18.（本小题8.0分）

若关于X的不等式组5a无解，求a的取值范围.

19.（本小题8.0分）

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△4BC的顶点均为格点（网格线的

交点）.

（1）将△力BC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1&C1，请画出△&B1G；

(2)以边4c的中点。为旋转中心，将AABC按逆时针方向旋转180。，得到A&B2c2，请画出△

A2B2c2.

20.(本小题8.0分)

如图，△AB(^4DEF关于点。成中心对称.

B

(1)画出对称中心0；(保留作图痕迹)

(2)若8c=3,AC=4,AB=5,则AOEF的面积=

21.(本小题8.0分)

如图所示，点。在一块直角三角板4BC上(其中乙4BC=30。)，0M14B于点M,ON工BC于

点N,若0M=0N,求/AB。度数.

C

22.(本小题8.0分)

如图,一次函数%L=kx+b(kW0)的图象分别与x轴和y轴相交于C、4(0,3)两点，且与正比

例函数%=-2%的图象交于点

(1)求一次函数的解析式；

(2)当月〉丫2时，直接写出自变量x的取值范围.

y

23.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，ZC=90°,4C的垂直平分线分别交4C,AB于点D,M.求证：点M在BC的

垂直平分线上.

24.(本小题8.0分)

北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买.现有甲、乙两种型号的“冰

墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元.

(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？

(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多

少个甲种型号的“冰墩墩”？

25.(本小题8.0分)

如图，8。是A4BC的角平分线，DE//BC,交AB于点E.

(1)求证：Z.EBD=Z.EDB.

(2)当ZB=4C时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.

4B

26.(本小题8.0分)

已知，4MON=90°,点4在边OM上，点P是边ON上一动点，将线段AP绕点4逆时针旋转60。,

得到线段4B,连接OB,BP.

图I图2

(1)如图1,当4P=45。时，试判断。8与AP的位置关系：

(2)如图2,当/04P=60。，。4=2时，求线段OB的长度;

(3)如图3,将线段OB绕点。顺时针旋转60。,得到线段OC,连接PC,BC,请证明△ABO^LPBC；

(4)如图4,当N04P=a时，在(3)的条件下，作CH1ON于点儿当点P在射线ON上运动时，

用等式表示线段04与CH之间的数量关系，并证明.

答案和解析

1.【答案】D

解：A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

。.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就

叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠

后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合.

2.【答案】C

解：力、若a>b,则a-5>b-5,原变形成立，故本选项不符合题意；

B、若a>b,则6a>6b,原变形成立，故本选项不符合题意；

C,若a>b,则-a<-b,原变形不成立，故本选项符合题意；

D、若a>b,贝lJa+2>b+2,原变形成立，故本选项不符合题意；

故选：C.

根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案.

此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基本性质：（1）不等式两边

加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号

的方向不变.（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

3.【答案】C

解：4、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；

8、逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；

C、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；

D、逆命题为如果。2=炉，那么a=b,错误，为假命题，不符合题意.

故选：C.

写出原命题的逆命题后判断正误即可.

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大.

4.【答案】C

【解析】［分析］

根据直角三角形全等的判定方法(HL)即可直接得出答案.

此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握.关键是熟练的判定定理.

［详解］

解：4选项：可以证明全等，但用的判定定理是“S4S”，不符题意；

B选项：可以证明全等，但用的判定定理是“A4S”，不符题意；

C选项：△ABC^Rt△A'B'C'^,AC=A'C,AB=A'B',

•••Rt△ABC^iRt△且用的判定定理是“HL”，符合题意；

0选项：可以证明全等，但用的判定定理是“4S4”，不符题意；

故选C

5.【答案】C

解：不等式2x+1>3的解集为：x>1,

故选C.

解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析

即可.

本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是

解答此题的关键.

6.【答案】D

解：rAC的垂直平分线分别交4B、4c于。、E,

・•・AD=CD=1,

・・・ZLA=Z.ACD=45°,

・・・Z.ADC=90°,

AC=VAD2+CD2=V_2>

•••AB=AC=2,

BD=AB-AD=AT2-1;

故选：D.

根据中垂线的性质，得到AD=CD=1,乙4=4C=45°,进而得到乙4DC=90°,勾股定理求出AC

的长，进而得到4B的长，利用80=48-4。，即可得出结果.

本题考查中垂线的性质，勾股定理.熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的

关键.

7.【答案】B

解：如图，过点P作PD14B于。，作PE1BC于E,作PF-L4C于F,

•••△4BC的两个外角平分线相交于点P,

:.PD=PE=PF,

•••BP平分N4BC.

故选：B.

过点P作PD_148于0,作PE1BC于E,作PF14C于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相

等可得到P0=PE=PF,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出BP平分N4BC.

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线

上，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观.

8.【答案】4

解：•••BD+DC=BC,BD+AD=BC,

••DC-DA,

•••点。在AC的垂直平分线上，

故选：A.

根据题意得到DC=04根据线段垂直平分线的判定定理解答即可.

本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平

分线上是解题的关键

9.【答案】15

【解析】【分析】

本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明

问题.由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6,

所以其另一边只能是6,

故其周长为6+6+3=15.

故答案为15.

10.【答案】AB=AC

解：”在△力BC中，已知片AC,则4B*NC”的逆命题是“在△4BC中，已知48羊4C,则48*

4C”，

用反证法证明时，应首先假设4B=4C,

故答案为：AB=AC.

先写出原命题的逆命题，再根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可.

本题考查的是反证法的应用、逆命题的概念，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结

论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如

果有多种情况，则必须一一否定.

11.【答案】5<x<10

解：由X—3>2,得：%>5；

由X-3S7,得：x<10,

・•.不等式组的解集为：5<x<10.

故答案为：5<x<10.

分别解出两个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集.

本题考查求不等式组的解集.正确求出每一个不等式的解集是解题的关键.

12.【答案】30。

解：vAB=ACiL^BAC=120°,

•••NB=NC=i(180°-ABAQ=1x60°=30°.

故答案为：30。.

根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到NB=NC=30°.

本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键.

13.【答案】3

解：如图，连接BD,在4B上截取8E'=BE,连接DE',

"AD,DC分别平分4BAC,Z.ACB,

：./.CAD=^BAC,Z.ACD=力CB,

v4ADC=105°,

乙CAD+Z.ACD=75°,

•••^BAC+AACD=150°,

乙ABC=30°,

■■AD,DC分别平分ZB4C,^ACB,

B。平分44BC,

Z.ABD=Z.CBD,

在ABDE和△BDE'中，

BD=BD

Z.CBD=/.ABD,

BE=BE'

•••ABDE三△BDE'(SAS'),

•••DE=DE',

CD+DE=CD+DE',

••・当C,点。，点E'三点共线，BLCE'lABfH,CO+OE有最小值，

此时，CE'=.BC=3,

CO+OE的最小值为3,

故答案为3.

由角平分线的性质和内角和定理可求乙4BC=30。，由“S4S”可证△BDE三△BDE',可得DE=

DE',则当C,点D,点E'三点共线，且CE'_L4B时，CO+OE有最小值，由直角三角形的性质可

求解.

本题考查了轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运

用这些性质解决问题是本题的关键.

x-3(%-2)>4①

14.【答案】解:l+2x、

—>x一1②

解不等式①得：x<1,

解不等式②得：%<4,

故不等式组的解集为xWL

【解析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大;

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可.

15.【答案】解：作线段AB的垂直平分线MN,交BC于点D,连接AD,贝必力BD即为所求，如图

【解析】作线段4B的垂直平分线MN,交BC于点。，连接40即可得.

本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解

题关键.

16.【答案】解：+与点N(-y,-3)关于原点对称，

得鼠，

.•.点M(l,3),点N(—1,-3).

【解析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解即可.

本题考查已知关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键.

17.【答案】W："AB=AC,ZD是△力BC的角平分线，

BD=CD=^BC=3,AD1BC,

在RtAEB。中，Z.EBC=45°,

•••上BED=450=乙EBC,

ED=BD=3,

11

•*-S^EBC=QBC•ED=《x6x3=9.

【解析】根据等腰三角形三线合一，得到BD=CD=1BC=3,AD1BC,易证EO=BD,再利用

三角形的面积公式进行计算即可.

本题考查等腰三角形的判定和性质.熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键.

18.【答案】解：•••不等式组无解，

a-3>15—5a,

解得：a>3.

故a的取值范围是a>3.

【解析】先把a当作己知条件求出不等式组的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出实数a

的取值范围.

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找

不到”的原则是解答此题的关键.

19.【答案】解:(1)如图,△4/iCi即为所求;

(2)如图，A4B2c2即为所求.

【解析】本题主要考查了作图-平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键.

(1)根据平移的性质，将AABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位可得A&B1C1；

(2)根据旋转的性质，将^ABC按逆时针方向旋转180。可得△A2B2C2.

20.【答案】6

解：(1)连接4。，CF,4。与CF的交点就是对称中心。，如图所示:

(2)vBC=3,AC=4,AB=5,

BC2+AC2=25=AB2,

••.△ABC为直角三角形，

ABC与4OEF关于点0成中心对称,

SMBCS^DEF2BC-AC=6.

故答案为：6.

(1)连接AD,CF,4。与CF的交点就是对称中心0.

(2)根据成中心对称的两个图形全等，求出△ABC的面积，即为的面积，利用勾股定理逆定

理，得到△ABC为直角三角形，进而利用直角三角形的面积公式进行计算即可.

本题考查两个图形成中心对称.熟练掌握对称中心的确定方法，以及成中心对称的两个图形全等，

是解题的关键.

21.【答案】解：rOM14B,ON1BC,

乙0MB=乙ONB=90°,

^.Rt^OMB^ORt^ONB^,

(OM=ON

l08=OB'

Rt△0MB皂Rt△ONB(HL),

•••ZOBM=乙OBN,

vZ.ABC=30°,

•••乙ABO=15°.

【解析】证明RtAOMB三RtaONB(HL),得到NOBM=NOBN,即可得出结果.

本题考查全等三角形的判定和性质.熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题

的关键.

22.【答案】解：(1)把代入丫2=-2x中得m=2,

•••8(-1,2),

把4(0,3)、8(-1,2)代入％=丘+b得：g,jb=2,解得｛:]

・•・乃=x+3.

(2)观察图象知，当久＞一1时，函数yi=x+3的图象在函数丫2=-2芯的图象上方.

所以当yi＞先时，自变量生的取值范围为%＞-1.

【解析】(1)先求出B点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；

(2)利用图象法，进行求解即可.

本题考查一次函数的图象和性质.正确地求出一次函数的解析式,利用数形结合的思想进行求解,

是解题的关键.

23.【答案】证明：连接CM,

•••OM是2C的垂直平分线，

/.ADM=90°,AD=DC,AM=CM,

v/.ACB=90°,

•••Z.ACB=Z.ADM=90°,

DM//CB,

•■AM=BM,

在中，点M是48的中点，

:•CM=MB,

•••点M在8c的垂直平分线上.

【解析】连接CM,利用线段垂直平分线的性质可得乙4DM=90。，AD=DC,AM=CM,从而可

得DM〃CB,进而可得=然后在RtaACB中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得

CM=BM,即可解答.

本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形

添加适当的辅助线是解题的关键.

24.【答案】解：(1)设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是(x+20)元，

根据题意得：10(x+20)+10%=1760,

解得：%=78,

:.x4-20=784-20=98,

答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元；

（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50-a）个，

根据题意得：98a+78（50-a）<4500,

解得：CL<30,

・•.a最大值是30,

答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个.

【解析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是工元，则甲种型号的单价是。+20）元，根据“购买

甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；

（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”Q个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50-a）个，根

据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案.

本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是

本题的关键.

25.【答案】（1）证明：・・・8。是△48C的角平分线，

:.Z-CBD=乙EBD,

vDE//BC,

Z.CBD=乙EDB,

:.乙EBD=乙EDB.

（2）解：CD=ED,理由如下：

AB=AC,

••ZC=Z.ABC,

vDE//BC,

乙ADE=ZC,Z.AED=Z.ABC,

:.Z-ADE=Z-AED,

・•・AD—AE,

又AB=AC,

CD=BE,

由（1）得，Z.EBD=Z.EDB,

・•・BE=DE,

・•・CD=ED.

【解析】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；

(2)利用平行线的性质可得乙4DE=乙4ED,则4D=AE,从而有CD=BE,由(1)得，Z_EBD=乙EDB,

可知8E=DE,等量代换即可.

本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平

行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键.

26•【答案】垂直

解：••・将线段AP绕点4逆时针旋转60。，得到线段AB,

AP=AB,4BAP=60°,

・・・△48P是等边三角形，

:.AB=BP