第八讲一致收敛函数列的性质

1、2 一致收敛函数列与函数项级数的性质数学分析第十三章函数列与函数项级数一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.第八讲一致收敛函数列的性质1数学分析 第十三章 函数列与函数项级数一致收敛函数列的性质定理13.8（极限交换定理）设函数列 fn 在(a, x0 ) ( x0 , b) 上一致收敛于f ( x),且对每个n , lim fn ( x) an，则 lim an和lim f ( x)均存在且x x0nx x0lim f ( x) lim an ,相等：x x0n即lim lim fn ( x) lim lim fn ( x

2、).x x0 nn x x0证先证an 是收敛数列. 对任意 0，由于 fn 一 致收敛,故存在正整数 N,当 nN及对任意正整数 p,对一切| fn ( x) fn p ( x) | .x (a, x0 ) ( x0 ,b)，有(1)数学分析 第十三章 函数列与函数项级数从而( x) | .| a a| lim | f ( x) fn pn pnnx x0准则可知an 是收敛数列, 设lim an A,于是由则有n lim lim fn ( x) A.lim annn x x0f ( x) lim lim fn ( x) A.下面证明 limx x0 n| f ( x) A |注意到| f

3、( x) fN 1 ( x) | | fN 1 ( x) aN 1| | aN 1 A |由于 fn ( x) 一致收敛于f ( x)，an收敛于A，因此对任意 0，存在正数 N，当n N 时，x (a, x0 ) ( x0 , b),| f ( x) f ( x) | 和 | a A | 同时成立.nn33数学分析 第十三章 函数列与函数项级数特别当n=N+1时，有( x) f ( x) | 和| a A | .| fN 1N 133fN 1 ( x) aN 1 , 故存在 0，当0 | x x0| 又因为 limx x0| f N 1 ( x) aN 1 | 3 .时,也有 时,x0于是

4、当| f ( x) A | |f ( x) f N 1 ( x) | + |fN 1 ( x) aN 1 |+ | aN 1 A |333 ,这就证明了 lim f ( x) A.x x0数学分析 第十三章 函数列与函数项级数: 在一致收敛的条件下, fn ( x) 中关于独定理立变量 x与n 的极限可以交换次序, 即lim lim fn ( x) lim lim fn ( x).(2)x x0 nn x x0类似地, 若fn ( x) 在(a, b) 上一致收敛, 且limfn ( x)xafn ( x);则有lim lim fn ( x) lim lim存在,xaxann若 fn ( x)

5、 在(a, b) 上一致收敛,且 limfn ( x) 存在,xblim lim fn ( x) lim lim fn ( x).则有xbxbnn数学分析 第十三章 函数列与函数项级数定理13.9（连续性）若函数列 fn 在区间 I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数 f 在 I 上也连续.fn ( x) 证设 x0 为 I 上任一点. 由于 limfn ( x0 ),x x0于是由定理 13.8 知limf ( x) 也存在, 且x x0f ( x) lim lim fn ( x) lim limlimfn ( x)x x0 nn x x0 lim fn ( x0 )nf ( x0 ),因此 f ( x) 在 x0 上连续.数学分析 第十三章 函数列与函数项级数推论若连续函数列 fn 在区间I上内闭一致收敛于f ，则 f 在I上连续.注定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数则此函数列在区间列在区间 I 上其极限函数不连续,I 上一定不一致收敛.函数列 xn 的各项在 (1, 1 上都是连续的,例如但其极限函数 1 x